Theorem ltposr 7973

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	⊢ <R Po R

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7937	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓)
3	2, 2	breq12d 4099	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ 𝑓 <R 𝑓))
4	3	notbid 671	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → (¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ ¬ 𝑓 <R 𝑓))
5		ltsopr 7806	. . . . . . . 8 ⊢ <P Or P
6		ltrelpr 7715	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
7	5, 6	soirri 5129	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦)
8		addcomprg 7788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑦) = (𝑦 +P 𝑥))
9	8	breq2d 4098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
10	7, 9	mtbii 678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥))
11		ltsrprg 7957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
12	11	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
13	10, 12	mtbird 677	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6786	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ R → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ R) → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
16		lttrsr 7972	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
17	16	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
18	15, 17	ispod 4399	. 2 ⊢ (⊤ → <R Po R)
19	18	mptru 1404	1 ⊢ <R Po R

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086   Po wpo 4389  (class class class)co 6013  [cec 6695  Pcnp 7501   +_P cpp 7503  <_P cltp 7505   ~_R cer 7506  Rcnr 7507   <_R cltr 7513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-pli 7515  df-mi 7516  df-lti 7517  df-plpq 7554  df-mpq 7555  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-plqqs 7559  df-mqqs 7560  df-1nqqs 7561  df-rq 7562  df-ltnqqs 7563  df-enq0 7634  df-nq0 7635  df-0nq0 7636  df-plq0 7637  df-mq0 7638  df-inp 7676  df-iplp 7678  df-iltp 7680  df-enr 7936  df-nr 7937  df-ltr 7940

This theorem is referenced by:  ltsosr  7974