Theorem ltposr 7983

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	⊢ <R Po R

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7947	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓)
3	2, 2	breq12d 4101	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ 𝑓 <R 𝑓))
4	3	notbid 673	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → (¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ ¬ 𝑓 <R 𝑓))
5		ltsopr 7816	. . . . . . . 8 ⊢ <P Or P
6		ltrelpr 7725	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
7	5, 6	soirri 5131	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦)
8		addcomprg 7798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑦) = (𝑦 +P 𝑥))
9	8	breq2d 4100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
10	7, 9	mtbii 680	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥))
11		ltsrprg 7967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
12	11	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
13	10, 12	mtbird 679	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6791	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ R → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ R) → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
16		lttrsr 7982	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
17	16	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
18	15, 17	ispod 4401	. 2 ⊢ (⊤ → <R Po R)
19	18	mptru 1406	1 ⊢ <R Po R

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ⊤wtru 1398   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   Po wpo 4391  (class class class)co 6018  [cec 6700  Pcnp 7511   +_P cpp 7513  <_P cltp 7515   ~_R cer 7516  Rcnr 7517   <_R cltr 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-iplp 7688  df-iltp 7690  df-enr 7946  df-nr 7947  df-ltr 7950

This theorem is referenced by:  ltsosr  7984