Theorem ltposr 8078

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	⊢ <R Po R

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 8042	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓)
3	2, 2	breq12d 4122	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ 𝑓 <R 𝑓))
4	3	notbid 673	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → (¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ ¬ 𝑓 <R 𝑓))
5		ltsopr 7911	. . . . . . . 8 ⊢ <P Or P
6		ltrelpr 7820	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
7	5, 6	soirri 5157	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦)
8		addcomprg 7893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑦) = (𝑦 +P 𝑥))
9	8	breq2d 4121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
10	7, 9	mtbii 681	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥))
11		ltsrprg 8062	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
12	11	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
13	10, 12	mtbird 680	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6856	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ R → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ R) → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
16		lttrsr 8077	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
17	16	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
18	15, 17	ispod 4425	. 2 ⊢ (⊤ → <R Po R)
19	18	mptru 1407	1 ⊢ <R Po R

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109   Po wpo 4415  (class class class)co 6050  [cec 6765  Pcnp 7606   +_P cpp 7608  <_P cltp 7610   ~_R cer 7611  Rcnr 7612   <_R cltr 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-iplp 7783  df-iltp 7785  df-enr 8041  df-nr 8042  df-ltr 8045

This theorem is referenced by:  ltsosr  8079