Theorem ltposr 7830

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	⊢ <R Po R

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7794	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓)
3	2, 2	breq12d 4046	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ 𝑓 <R 𝑓))
4	3	notbid 668	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝑓 → (¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ ¬ 𝑓 <R 𝑓))
5		ltsopr 7663	. . . . . . . 8 ⊢ <P Or P
6		ltrelpr 7572	. . . . . . . 8 ⊢ <P ⊆ (P × P)
7	5, 6	soirri 5064	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦)
8		addcomprg 7645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑦) = (𝑦 +P 𝑥))
9	8	breq2d 4045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 +P 𝑦)<P (𝑥 +P 𝑦) ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
10	7, 9	mtbii 675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥))
11		ltsrprg 7814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
12	11	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ↔ (𝑥 +P 𝑦)<P (𝑦 +P 𝑥)))
13	10, 12	mtbird 674	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ¬ [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R <R [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6681	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ R → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
15	14	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑓 ∈ R) → ¬ 𝑓 <R 𝑓)
16		lttrsr 7829	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
17	16	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑓 ∈ R ∧ 𝑔 ∈ R ∧ ℎ ∈ R)) → ((𝑓 <R 𝑔 ∧ 𝑔 <R ℎ) → 𝑓 <R ℎ))
18	15, 17	ispod 4339	. 2 ⊢ (⊤ → <R Po R)
19	18	mptru 1373	1 ⊢ <R Po R

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033   Po wpo 4329  (class class class)co 5922  [cec 6590  Pcnp 7358   +_P cpp 7360  <_P cltp 7362   ~_R cer 7363  Rcnr 7364   <_R cltr 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-iplp 7535  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-ltr 7797

This theorem is referenced by:  ltsosr  7831