Theorem sotri 5183

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sotri	⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
2	1	brel 4827	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1	brel 4827	. . 3 ⊢ (𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
5	3, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)))
6		soi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
7		sotr 4463	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
8	6, 7	mpan 428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
9	8	3expb 1235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
10	5, 9	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130   Or wor 4440   × cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780

This theorem is used by:  son2lpi  5184  ltsonq  7765  lt2addnq  7771  lt2mulnq  7772  ltbtwnnqq  7782  prarloclemarch2  7786  genplt2i  7877  addlocprlemgt  7901  nqprloc  7912  prmuloclemcalc  7932  ltsopr  7963  ltexprlemopl  7968  ltexprlemopu  7970  ltexprlemru  7979  prplnqu  7987  recexprlemlol  7993  recexprlemupu  7995  recexprlemdisj  7997  recexprlemss1l  8002  recexprlemss1u  8003  cauappcvgprlemopl  8013  cauappcvgprlemlol  8014  cauappcvgprlemupu  8016  cauappcvgprlemladdfu  8021  caucvgprlemk  8032  caucvgprlemnkj  8033  caucvgprlemnbj  8034  caucvgprlemm  8035  caucvgprlemopl  8036  caucvgprlemlol  8037  caucvgprlemupu  8039  caucvgprlemloc  8042  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprprlemk  8050  caucvgprprlemloccalc  8051  caucvgprprlemnkltj  8056  caucvgprprlemnkeqj  8057  caucvgprprlemnjltk  8058  caucvgprprlemnbj  8060  caucvgprprlemml  8061  caucvgprprlemopl  8064  caucvgprprlemlol  8065  caucvgprprlemupu  8067  lttrsr  8129  addgt0sr  8142  archsr  8149  caucvgsrlemcl  8156  caucvgsrlemfv  8158  suplocsrlemb  8173  suplocsrlempr  8174  suplocsrlem  8175  axpre-lttrn  8251