Theorem sotri 5186

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sotri	⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
2	1	brel 4829	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1	brel 4829	. . 3 ⊢ (𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
5	3, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)))
6		soi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
7		sotr 4465	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
8	6, 7	mpan 428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
9	8	3expb 1235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
10	5, 9	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   Or wor 4442   × cxp 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782

This theorem is used by:  son2lpi  5187  ltsonq  7771  lt2addnq  7777  lt2mulnq  7778  ltbtwnnqq  7788  prarloclemarch2  7792  genplt2i  7883  addlocprlemgt  7907  nqprloc  7918  prmuloclemcalc  7938  ltsopr  7969  ltexprlemopl  7974  ltexprlemopu  7976  ltexprlemru  7985  prplnqu  7993  recexprlemlol  7999  recexprlemupu  8001  recexprlemdisj  8003  recexprlemss1l  8008  recexprlemss1u  8009  cauappcvgprlemopl  8019  cauappcvgprlemlol  8020  cauappcvgprlemupu  8022  cauappcvgprlemladdfu  8027  caucvgprlemk  8038  caucvgprlemnkj  8039  caucvgprlemnbj  8040  caucvgprlemm  8041  caucvgprlemopl  8042  caucvgprlemlol  8043  caucvgprlemupu  8045  caucvgprlemloc  8048  caucvgprlemladdfu  8050  caucvgprprlemk  8056  caucvgprprlemloccalc  8057  caucvgprprlemnkltj  8062  caucvgprprlemnkeqj  8063  caucvgprprlemnjltk  8064  caucvgprprlemnbj  8066  caucvgprprlemml  8067  caucvgprprlemopl  8070  caucvgprprlemlol  8071  caucvgprprlemupu  8073  lttrsr  8135  addgt0sr  8148  archsr  8155  caucvgsrlemcl  8162  caucvgsrlemfv  8164  suplocsrlemb  8179  suplocsrlempr  8180  suplocsrlem  8181  axpre-lttrn  8257