Theorem sotri 5097

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sotri	⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
2	1	brel 4745	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1	brel 4745	. . 3 ⊢ (𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
5	3, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)))
6		soi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
7		sotr 4383	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
8	6, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
9	8	3expb 1207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
10	5, 9	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3174   class class class wbr 4059   Or wor 4360   × cxp 4691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699

This theorem is referenced by:  son2lpi  5098  ltsonq  7546  lt2addnq  7552  lt2mulnq  7553  ltbtwnnqq  7563  prarloclemarch2  7567  genplt2i  7658  addlocprlemgt  7682  nqprloc  7693  prmuloclemcalc  7713  ltsopr  7744  ltexprlemopl  7749  ltexprlemopu  7751  ltexprlemru  7760  prplnqu  7768  recexprlemlol  7774  recexprlemupu  7776  recexprlemdisj  7778  recexprlemss1l  7783  recexprlemss1u  7784  cauappcvgprlemopl  7794  cauappcvgprlemlol  7795  cauappcvgprlemupu  7797  cauappcvgprlemladdfu  7802  caucvgprlemk  7813  caucvgprlemnkj  7814  caucvgprlemnbj  7815  caucvgprlemm  7816  caucvgprlemopl  7817  caucvgprlemlol  7818  caucvgprlemupu  7820  caucvgprlemloc  7823  caucvgprlemladdfu  7825  caucvgprprlemk  7831  caucvgprprlemloccalc  7832  caucvgprprlemnkltj  7837  caucvgprprlemnkeqj  7838  caucvgprprlemnjltk  7839  caucvgprprlemnbj  7841  caucvgprprlemml  7842  caucvgprprlemopl  7845  caucvgprprlemlol  7846  caucvgprprlemupu  7848  lttrsr  7910  addgt0sr  7923  archsr  7930  caucvgsrlemcl  7937  caucvgsrlemfv  7939  suplocsrlemb  7954  suplocsrlempr  7955  suplocsrlem  7956  axpre-lttrn  8032