Theorem sotri 5139

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sotri	⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
2	1	brel 4784	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1	brel 4784	. . 3 ⊢ (𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
5	3, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)))
6		soi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
7		sotr 4421	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
8	6, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
9	8	3expb 1231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
10	5, 9	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201   class class class wbr 4093   Or wor 4398   × cxp 4729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737

This theorem is referenced by:  son2lpi  5140  ltsonq  7661  lt2addnq  7667  lt2mulnq  7668  ltbtwnnqq  7678  prarloclemarch2  7682  genplt2i  7773  addlocprlemgt  7797  nqprloc  7808  prmuloclemcalc  7828  ltsopr  7859  ltexprlemopl  7864  ltexprlemopu  7866  ltexprlemru  7875  prplnqu  7883  recexprlemlol  7889  recexprlemupu  7891  recexprlemdisj  7893  recexprlemss1l  7898  recexprlemss1u  7899  cauappcvgprlemopl  7909  cauappcvgprlemlol  7910  cauappcvgprlemupu  7912  cauappcvgprlemladdfu  7917  caucvgprlemk  7928  caucvgprlemnkj  7929  caucvgprlemnbj  7930  caucvgprlemm  7931  caucvgprlemopl  7932  caucvgprlemlol  7933  caucvgprlemupu  7935  caucvgprlemloc  7938  caucvgprlemladdfu  7940  caucvgprprlemk  7946  caucvgprprlemloccalc  7947  caucvgprprlemnkltj  7952  caucvgprprlemnkeqj  7953  caucvgprprlemnjltk  7954  caucvgprprlemnbj  7956  caucvgprprlemml  7957  caucvgprprlemopl  7960  caucvgprprlemlol  7961  caucvgprprlemupu  7963  lttrsr  8025  addgt0sr  8038  archsr  8045  caucvgsrlemcl  8052  caucvgsrlemfv  8054  suplocsrlemb  8069  suplocsrlempr  8070  suplocsrlem  8071  axpre-lttrn  8147