Theorem sotri 5123

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sotri	⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
2	1	brel 4770	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1	brel 4770	. . 3 ⊢ (𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
5	3, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)))
6		soi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
7		sotr 4408	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
8	6, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
9	8	3expb 1228	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
10	5, 9	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082   Or wor 4385   × cxp 4716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724

This theorem is referenced by:  son2lpi  5124  ltsonq  7581  lt2addnq  7587  lt2mulnq  7588  ltbtwnnqq  7598  prarloclemarch2  7602  genplt2i  7693  addlocprlemgt  7717  nqprloc  7728  prmuloclemcalc  7748  ltsopr  7779  ltexprlemopl  7784  ltexprlemopu  7786  ltexprlemru  7795  prplnqu  7803  recexprlemlol  7809  recexprlemupu  7811  recexprlemdisj  7813  recexprlemss1l  7818  recexprlemss1u  7819  cauappcvgprlemopl  7829  cauappcvgprlemlol  7830  cauappcvgprlemupu  7832  cauappcvgprlemladdfu  7837  caucvgprlemk  7848  caucvgprlemnkj  7849  caucvgprlemnbj  7850  caucvgprlemm  7851  caucvgprlemopl  7852  caucvgprlemlol  7853  caucvgprlemupu  7855  caucvgprlemloc  7858  caucvgprlemladdfu  7860  caucvgprprlemk  7866  caucvgprprlemloccalc  7867  caucvgprprlemnkltj  7872  caucvgprprlemnkeqj  7873  caucvgprprlemnjltk  7874  caucvgprprlemnbj  7876  caucvgprprlemml  7877  caucvgprprlemopl  7880  caucvgprprlemlol  7881  caucvgprprlemupu  7883  lttrsr  7945  addgt0sr  7958  archsr  7965  caucvgsrlemcl  7972  caucvgsrlemfv  7974  suplocsrlemb  7989  suplocsrlempr  7990  suplocsrlem  7991  axpre-lttrn  8067