Theorem sotri 5163

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sotri	⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
2	1	brel 4807	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1	brel 4807	. . 3 ⊢ (𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
5	3, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)))
6		soi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
7		sotr 4444	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
8	6, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
9	8	3expb 1231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
10	5, 9	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114   Or wor 4421   × cxp 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760

This theorem is referenced by:  son2lpi  5164  ltsonq  7729  lt2addnq  7735  lt2mulnq  7736  ltbtwnnqq  7746  prarloclemarch2  7750  genplt2i  7841  addlocprlemgt  7865  nqprloc  7876  prmuloclemcalc  7896  ltsopr  7927  ltexprlemopl  7932  ltexprlemopu  7934  ltexprlemru  7943  prplnqu  7951  recexprlemlol  7957  recexprlemupu  7959  recexprlemdisj  7961  recexprlemss1l  7966  recexprlemss1u  7967  cauappcvgprlemopl  7977  cauappcvgprlemlol  7978  cauappcvgprlemupu  7980  cauappcvgprlemladdfu  7985  caucvgprlemk  7996  caucvgprlemnkj  7997  caucvgprlemnbj  7998  caucvgprlemm  7999  caucvgprlemopl  8000  caucvgprlemlol  8001  caucvgprlemupu  8003  caucvgprlemloc  8006  caucvgprlemladdfu  8008  caucvgprprlemk  8014  caucvgprprlemloccalc  8015  caucvgprprlemnkltj  8020  caucvgprprlemnkeqj  8021  caucvgprprlemnjltk  8022  caucvgprprlemnbj  8024  caucvgprprlemml  8025  caucvgprprlemopl  8028  caucvgprprlemlol  8029  caucvgprprlemupu  8031  lttrsr  8093  addgt0sr  8106  archsr  8113  caucvgsrlemcl  8120  caucvgsrlemfv  8122  suplocsrlemb  8137  suplocsrlempr  8138  suplocsrlem  8139  axpre-lttrn  8215