Theorem sotri 5066

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sotri	⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
2	1	brel 4716	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆))
3	2	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑆)
4	1	brel 4716	. . 3 ⊢ (𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆))
5	3, 4	anim12i 338	. 2 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)))
6		soi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
7		sotr 4354	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
8	6, 7	mpan 424	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
9	8	3expb 1206	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
10	5, 9	mpcom 36	1 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4034   Or wor 4331   × cxp 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670

This theorem is referenced by:  son2lpi  5067  ltsonq  7482  lt2addnq  7488  lt2mulnq  7489  ltbtwnnqq  7499  prarloclemarch2  7503  genplt2i  7594  addlocprlemgt  7618  nqprloc  7629  prmuloclemcalc  7649  ltsopr  7680  ltexprlemopl  7685  ltexprlemopu  7687  ltexprlemru  7696  prplnqu  7704  recexprlemlol  7710  recexprlemupu  7712  recexprlemdisj  7714  recexprlemss1l  7719  recexprlemss1u  7720  cauappcvgprlemopl  7730  cauappcvgprlemlol  7731  cauappcvgprlemupu  7733  cauappcvgprlemladdfu  7738  caucvgprlemk  7749  caucvgprlemnkj  7750  caucvgprlemnbj  7751  caucvgprlemm  7752  caucvgprlemopl  7753  caucvgprlemlol  7754  caucvgprlemupu  7756  caucvgprlemloc  7759  caucvgprlemladdfu  7761  caucvgprprlemk  7767  caucvgprprlemloccalc  7768  caucvgprprlemnkltj  7773  caucvgprprlemnkeqj  7774  caucvgprprlemnjltk  7775  caucvgprprlemnbj  7777  caucvgprprlemml  7778  caucvgprprlemopl  7781  caucvgprprlemlol  7782  caucvgprprlemupu  7784  lttrsr  7846  addgt0sr  7859  archsr  7866  caucvgsrlemcl  7873  caucvgsrlemfv  7875  suplocsrlemb  7890  suplocsrlempr  7891  suplocsrlem  7892  axpre-lttrn  7968