Theorem ltsonq 7729

Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltsonq	⊢ <Q Or Q

Proof of Theorem ltsonq

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7679	. . . . . 6 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥)
3	2, 2	breq12d 4127	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q 𝑥))
4	3	notbid 673	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → (¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ¬ 𝑥 <Q 𝑥))
5		ltsopi 7651	. . . . . . . 8 ⊢ <N Or N
6		ltrelpi 7655	. . . . . . . 8 ⊢ <N ⊆ (N × N)
7	5, 6	soirri 5162	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)
8		ordpipqqs 7705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
9	8	anidms 397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
10		mulcompig 7662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑧))
11	10	breq1d 4124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧) ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
12	9, 11	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
13	7, 12	mtbiri 682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6869	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Q) → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
16		breq1 4117	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ))
17	16	anbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
18		breq1 4117	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ((([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
20		breq2 4118	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q 𝑦))
21		breq1 4117	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
22	20, 21	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
24		breq2 4118	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑦 <Q 𝑧))
25	24	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧)))
26		breq2 4118	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q 𝑧))
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)))
28		ordpipqqs 7705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
29	28	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
30		simp1l 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑎 ∈ N)
31		simp2r 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑑 ∈ N)
32		mulclpi 7659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
34		simp1r 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑏 ∈ N)
35		simp2l 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑐 ∈ N)
36		mulclpi 7659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑐 ∈ N) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
38		simp3r 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑓 ∈ N)
39		mulclpi 7659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
40	35, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
41		ltmpig 7670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ·N 𝑑) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
43	29, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
44	43	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
45	44	adantrr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
46		mulcompig 7662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
47	40, 37, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
49	45, 48	breqtrd 4140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
50		ordpipqqs 7705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
51	50	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
52		simp3l 1052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑒 ∈ N)
53		mulclpi 7659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ N ∧ 𝑒 ∈ N) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
54	31, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
55		ltmpig 7670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
56	40, 54, 37, 55	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
57	51, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
58	57	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
59	58	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
60	5, 6	sotri 5163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) ∧ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
61	49, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
62		mulcompig 7662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
64		mulasspig 7663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
66		mulclpi 7659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
68	35, 31, 30, 63, 65, 38, 67	caov411d 6248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
69	63, 33, 40	caovcomd 6219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
70	68, 69	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
71	35, 31, 34, 63, 65, 52, 67	caov4d 6247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
72	63, 35, 34	caovcomd 6219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑏) = (𝑏 ·N 𝑐))
73	72	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
74	71, 73	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
75	70, 74	breq12d 4127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
77	61, 76	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)))
78		mulclpi 7659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
79	30, 38, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
80		mulclpi 7659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑒 ∈ N) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
81	34, 52, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
82		mulclpi 7659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
83	35, 31, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
84		ltmpig 7670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
86	85	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
87	77, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒))
88		ordpipqqs 7705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
89	88	3adant2 1043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
91	87, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )
92	91	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
93	1, 19, 23, 27, 92	3ecoptocl 6871	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
94	93	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
95	15, 94	ispod 4430	. . 3 ⊢ (⊤ → <Q Po Q)
96		nqtri3or 7727	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <Q 𝑥))
97	96	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <Q 𝑥))
98	95, 97	issod 4445	. 2 ⊢ (⊤ → <Q Or Q)
99	98	mptru 1407	1 ⊢ <Q Or Q

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1004   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114   Or wor 4421  (class class class)co 6058  [cec 6778  Ncnpi 7603   ·_N cmi 7605   <_N clti 7606   ~_Q ceq 7610  Qcnq 7611   <_Q cltq 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-mi 7637  df-lti 7638  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-ltnqqs 7684

This theorem is referenced by:  nqtric  7730  lt2addnq  7735  lt2mulnq  7736  ltbtwnnqq  7746  prarloclemarch2  7750  genplt2i  7841  genpdisj  7854  addlocprlemgt  7865  nqprdisj  7875  nqprloc  7876  addnqprlemfl  7890  addnqprlemfu  7891  prmuloclemcalc  7896  mulnqprlemfl  7906  mulnqprlemfu  7907  distrlem4prl  7915  distrlem4pru  7916  ltsopr  7927  ltexprlemopl  7932  ltexprlemopu  7934  ltexprlemdisj  7937  ltexprlemru  7943  recexprlemlol  7957  recexprlemupu  7959  recexprlemdisj  7961  recexprlemss1l  7966  recexprlemss1u  7967  cauappcvgprlemopl  7977  cauappcvgprlemlol  7978  cauappcvgprlemupu  7980  cauappcvgprlemdisj  7982  cauappcvgprlemloc  7983  cauappcvgprlemladdfu  7985  cauappcvgprlemladdru  7987  cauappcvgprlemladdrl  7988  caucvgprlemk  7996  caucvgprlemnkj  7997  caucvgprlemnbj  7998  caucvgprlemm  7999  caucvgprlemopl  8000  caucvgprlemlol  8001  caucvgprlemupu  8003  caucvgprlemloc  8006  caucvgprlemladdfu  8008  caucvgprprlemloccalc  8015  caucvgprprlemml  8025  caucvgprprlemopl  8028  suplocexprlemru  8050