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Theorem ltsonq 6904
Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltsonq <Q Or Q

Proof of Theorem ltsonq
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6854 . . . . . 6 Q = ((N × N) / ~Q )
2 id 19 . . . . . . . 8 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥)
32, 2breq12d 3835 . . . . . . 7 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝑥 <Q 𝑥))
43notbid 625 . . . . . 6 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → (¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ¬ 𝑥 <Q 𝑥))
5 ltsopi 6826 . . . . . . . 8 <N Or N
6 ltrelpi 6830 . . . . . . . 8 <N ⊆ (N × N)
75, 6soirri 4795 . . . . . . 7 ¬ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)
8 ordpipqqs 6880 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
98anidms 389 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
10 mulcompig 6837 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑧))
1110breq1d 3832 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧) ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
129, 11bitrd 186 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
137, 12mtbiri 633 . . . . . 6 ((𝑧N𝑤N) → ¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
141, 4, 13ecoptocl 6333 . . . . 5 (𝑥Q → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
1514adantl 271 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥Q) → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
16 breq1 3825 . . . . . . . 8 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ))
1716anbi1d 453 . . . . . . 7 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
18 breq1 3825 . . . . . . 7 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
1917, 18imbi12d 232 . . . . . 6 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ((([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
20 breq2 3826 . . . . . . . 8 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q𝑥 <Q 𝑦))
21 breq1 3825 . . . . . . . 8 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
2220, 21anbi12d 457 . . . . . . 7 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
2322imbi1d 229 . . . . . 6 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
24 breq2 3826 . . . . . . . 8 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑦 <Q 𝑧))
2524anbi2d 452 . . . . . . 7 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧)))
26 breq2 3826 . . . . . . 7 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑥 <Q 𝑧))
2725, 26imbi12d 232 . . . . . 6 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)))
28 ordpipqqs 6880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
29283adant3 961 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
30 simp1l 965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑎N)
31 simp2r 968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑑N)
32 mulclpi 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎N𝑑N) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
3330, 31, 32syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
34 simp1r 966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑏N)
35 simp2l 967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑐N)
36 mulclpi 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏N𝑐N) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
3734, 35, 36syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
38 simp3r 970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑓N)
39 mulclpi 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐N𝑓N) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
4035, 38, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
41 ltmpig 6845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ·N 𝑑) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
4233, 37, 40, 41syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
4329, 42bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
4443biimpa 290 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
4544adantrr 463 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
46 mulcompig 6837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
4740, 37, 46syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
4847adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
4945, 48breqtrd 3846 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
50 ordpipqqs 6880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
51503adant1 959 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
52 simp3l 969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑒N)
53 mulclpi 6834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑N𝑒N) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
5431, 52, 53syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
55 ltmpig 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
5640, 54, 37, 55syl3anc 1172 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
5751, 56bitrd 186 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
5857biimpa 290 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
5958adantrl 462 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
605, 6sotri 4796 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) ∧ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
6149, 59, 60syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
62 mulcompig 6837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
6362adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
64 mulasspig 6838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥N𝑦N𝑧N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
6564adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ (𝑥N𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
66 mulclpi 6834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
6766adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
6835, 31, 30, 63, 65, 38, 67caov411d 5789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
6963, 33, 40caovcomd 5760 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
7068, 69eqtrd 2117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
7135, 31, 34, 63, 65, 52, 67caov4d 5788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
7263, 35, 34caovcomd 5760 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑐 ·N 𝑏) = (𝑏 ·N 𝑐))
7372oveq1d 5630 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
7471, 73eqtrd 2117 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
7570, 74breq12d 3835 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
7675adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
7761, 76mpbird 165 . . . . . . . . 9 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)))
78 mulclpi 6834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎N𝑓N) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
7930, 38, 78syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
80 mulclpi 6834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏N𝑒N) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
8134, 52, 80syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
82 mulclpi 6834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐N𝑑N) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
8335, 31, 82syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
84 ltmpig 6845 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
8579, 81, 83, 84syl3anc 1172 . . . . . . . . . 10 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
8685adantr 270 . . . . . . . . 9 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
8777, 86mpbird 165 . . . . . . . 8 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒))
88 ordpipqqs 6880 . . . . . . . . . 10 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
89883adant2 960 . . . . . . . . 9 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
9089adantr 270 . . . . . . . 8 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
9187, 90mpbird 165 . . . . . . 7 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )
9291ex 113 . . . . . 6 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
931, 19, 23, 27, 923ecoptocl 6335 . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
9493adantl 271 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥Q𝑦Q𝑧Q)) → ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
9515, 94ispod 4107 . . 3 (⊤ → <Q Po Q)
96 nqtri3or 6902 . . . 4 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥 <Q 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 <Q 𝑥))
9796adantl 271 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥Q𝑦Q)) → (𝑥 <Q 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 <Q 𝑥))
9895, 97issod 4122 . 2 (⊤ → <Q Or Q)
9998trud 1296 1 <Q Or Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3o 921  w3a 922   = wceq 1287  wtru 1288  wcel 1436  cop 3434   class class class wbr 3822   Or wor 4098  (class class class)co 5615  [cec 6244  Ncnpi 6778   ·N cmi 6780   <N clti 6781   ~Q ceq 6785  Qcnq 6786   <Q cltq 6791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-eprel 4092  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-irdg 6091  df-oadd 6141  df-omul 6142  df-er 6246  df-ec 6248  df-qs 6252  df-ni 6810  df-mi 6812  df-lti 6813  df-enq 6853  df-nqqs 6854  df-ltnqqs 6859
This theorem is referenced by:  nqtric  6905  lt2addnq  6910  lt2mulnq  6911  ltbtwnnqq  6921  prarloclemarch2  6925  genplt2i  7016  genpdisj  7029  addlocprlemgt  7040  nqprdisj  7050  nqprloc  7051  addnqprlemfl  7065  addnqprlemfu  7066  prmuloclemcalc  7071  mulnqprlemfl  7081  mulnqprlemfu  7082  distrlem4prl  7090  distrlem4pru  7091  ltsopr  7102  ltexprlemopl  7107  ltexprlemopu  7109  ltexprlemdisj  7112  ltexprlemru  7118  recexprlemlol  7132  recexprlemupu  7134  recexprlemdisj  7136  recexprlemss1l  7141  recexprlemss1u  7142  cauappcvgprlemopl  7152  cauappcvgprlemlol  7153  cauappcvgprlemupu  7155  cauappcvgprlemdisj  7157  cauappcvgprlemloc  7158  cauappcvgprlemladdfu  7160  cauappcvgprlemladdru  7162  cauappcvgprlemladdrl  7163  caucvgprlemk  7171  caucvgprlemnkj  7172  caucvgprlemnbj  7173  caucvgprlemm  7174  caucvgprlemopl  7175  caucvgprlemlol  7176  caucvgprlemupu  7178  caucvgprlemloc  7181  caucvgprlemladdfu  7183  caucvgprprlemloccalc  7190  caucvgprprlemml  7200  caucvgprprlemopl  7203
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