Theorem ltsonq 7388

Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltsonq	⊢ <Q Or Q

Proof of Theorem ltsonq

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7338	. . . . . 6 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥)
3	2, 2	breq12d 4013	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q 𝑥))
4	3	notbid 667	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → (¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ¬ 𝑥 <Q 𝑥))
5		ltsopi 7310	. . . . . . . 8 ⊢ <N Or N
6		ltrelpi 7314	. . . . . . . 8 ⊢ <N ⊆ (N × N)
7	5, 6	soirri 5019	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)
8		ordpipqqs 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
9	8	anidms 397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
10		mulcompig 7321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑧))
11	10	breq1d 4010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧) ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
12	9, 11	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
13	7, 12	mtbiri 675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6616	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Q) → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
16		breq1 4003	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ))
17	16	anbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
18		breq1 4003	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ((([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
20		breq2 4004	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q 𝑦))
21		breq1 4003	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
22	20, 21	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
24		breq2 4004	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑦 <Q 𝑧))
25	24	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧)))
26		breq2 4004	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q 𝑧))
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)))
28		ordpipqqs 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
29	28	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
30		simp1l 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑎 ∈ N)
31		simp2r 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑑 ∈ N)
32		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
34		simp1r 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑏 ∈ N)
35		simp2l 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑐 ∈ N)
36		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑐 ∈ N) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
38		simp3r 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑓 ∈ N)
39		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
40	35, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
41		ltmpig 7329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ·N 𝑑) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
43	29, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
44	43	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
45	44	adantrr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
46		mulcompig 7321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
47	40, 37, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
49	45, 48	breqtrd 4026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
50		ordpipqqs 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
51	50	3adant1 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
52		simp3l 1025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑒 ∈ N)
53		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ N ∧ 𝑒 ∈ N) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
54	31, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
55		ltmpig 7329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
56	40, 54, 37, 55	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
57	51, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
58	57	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
59	58	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
60	5, 6	sotri 5020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) ∧ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
61	49, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
62		mulcompig 7321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
64		mulasspig 7322	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
66		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
68	35, 31, 30, 63, 65, 38, 67	caov411d 6054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
69	63, 33, 40	caovcomd 6025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
70	68, 69	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
71	35, 31, 34, 63, 65, 52, 67	caov4d 6053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
72	63, 35, 34	caovcomd 6025	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑏) = (𝑏 ·N 𝑐))
73	72	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
74	71, 73	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
75	70, 74	breq12d 4013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
77	61, 76	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)))
78		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
79	30, 38, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
80		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑒 ∈ N) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
81	34, 52, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
82		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
83	35, 31, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
84		ltmpig 7329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
86	85	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
87	77, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒))
88		ordpipqqs 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
89	88	3adant2 1016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
91	87, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )
92	91	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
93	1, 19, 23, 27, 92	3ecoptocl 6618	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
94	93	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
95	15, 94	ispod 4301	. . 3 ⊢ (⊤ → <Q Po Q)
96		nqtri3or 7386	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <Q 𝑥))
97	96	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <Q 𝑥))
98	95, 97	issod 4316	. 2 ⊢ (⊤ → <Q Or Q)
99	98	mptru 1362	1 ⊢ <Q Or Q

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 977   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ⊤wtru 1354   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3594   class class class wbr 4000   Or wor 4292  (class class class)co 5869  [cec 6527  Ncnpi 7262   ·_N cmi 7264   <_N clti 7265   ~_Q ceq 7269  Qcnq 7270   <_Q cltq 7275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-mi 7296  df-lti 7297  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-ltnqqs 7343

This theorem is referenced by:  nqtric  7389  lt2addnq  7394  lt2mulnq  7395  ltbtwnnqq  7405  prarloclemarch2  7409  genplt2i  7500  genpdisj  7513  addlocprlemgt  7524  nqprdisj  7534  nqprloc  7535  addnqprlemfl  7549  addnqprlemfu  7550  prmuloclemcalc  7555  mulnqprlemfl  7565  mulnqprlemfu  7566  distrlem4prl  7574  distrlem4pru  7575  ltsopr  7586  ltexprlemopl  7591  ltexprlemopu  7593  ltexprlemdisj  7596  ltexprlemru  7602  recexprlemlol  7616  recexprlemupu  7618  recexprlemdisj  7620  recexprlemss1l  7625  recexprlemss1u  7626  cauappcvgprlemopl  7636  cauappcvgprlemlol  7637  cauappcvgprlemupu  7639  cauappcvgprlemdisj  7641  cauappcvgprlemloc  7642  cauappcvgprlemladdfu  7644  cauappcvgprlemladdru  7646  cauappcvgprlemladdrl  7647  caucvgprlemk  7655  caucvgprlemnkj  7656  caucvgprlemnbj  7657  caucvgprlemm  7658  caucvgprlemopl  7659  caucvgprlemlol  7660  caucvgprlemupu  7662  caucvgprlemloc  7665  caucvgprlemladdfu  7667  caucvgprprlemloccalc  7674  caucvgprprlemml  7684  caucvgprprlemopl  7687  suplocexprlemru  7709