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Theorem ltsonq 7107
Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltsonq <Q Or Q

Proof of Theorem ltsonq
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7057 . . . . . 6 Q = ((N × N) / ~Q )
2 id 19 . . . . . . . 8 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥)
32, 2breq12d 3888 . . . . . . 7 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝑥 <Q 𝑥))
43notbid 633 . . . . . 6 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → (¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ¬ 𝑥 <Q 𝑥))
5 ltsopi 7029 . . . . . . . 8 <N Or N
6 ltrelpi 7033 . . . . . . . 8 <N ⊆ (N × N)
75, 6soirri 4869 . . . . . . 7 ¬ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)
8 ordpipqqs 7083 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
98anidms 392 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
10 mulcompig 7040 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑧))
1110breq1d 3885 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧) ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
129, 11bitrd 187 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
137, 12mtbiri 641 . . . . . 6 ((𝑧N𝑤N) → ¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
141, 4, 13ecoptocl 6446 . . . . 5 (𝑥Q → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
1514adantl 273 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥Q) → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
16 breq1 3878 . . . . . . . 8 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ))
1716anbi1d 456 . . . . . . 7 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
18 breq1 3878 . . . . . . 7 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
1917, 18imbi12d 233 . . . . . 6 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ((([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
20 breq2 3879 . . . . . . . 8 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q𝑥 <Q 𝑦))
21 breq1 3878 . . . . . . . 8 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
2220, 21anbi12d 460 . . . . . . 7 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
2322imbi1d 230 . . . . . 6 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
24 breq2 3879 . . . . . . . 8 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑦 <Q 𝑧))
2524anbi2d 455 . . . . . . 7 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧)))
26 breq2 3879 . . . . . . 7 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑥 <Q 𝑧))
2725, 26imbi12d 233 . . . . . 6 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)))
28 ordpipqqs 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
29283adant3 969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
30 simp1l 973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑎N)
31 simp2r 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑑N)
32 mulclpi 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎N𝑑N) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
3330, 31, 32syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
34 simp1r 974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑏N)
35 simp2l 975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑐N)
36 mulclpi 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏N𝑐N) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
3734, 35, 36syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
38 simp3r 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑓N)
39 mulclpi 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐N𝑓N) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
4035, 38, 39syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
41 ltmpig 7048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ·N 𝑑) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
4233, 37, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
4329, 42bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
4443biimpa 292 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
4544adantrr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
46 mulcompig 7040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
4740, 37, 46syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
4847adantr 272 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
4945, 48breqtrd 3899 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
50 ordpipqqs 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
51503adant1 967 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
52 simp3l 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑒N)
53 mulclpi 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑N𝑒N) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
5431, 52, 53syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
55 ltmpig 7048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
5640, 54, 37, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
5751, 56bitrd 187 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
5857biimpa 292 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
5958adantrl 465 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
605, 6sotri 4870 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) ∧ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
6149, 59, 60syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
62 mulcompig 7040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
6362adantl 273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
64 mulasspig 7041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥N𝑦N𝑧N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
6564adantl 273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ (𝑥N𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
66 mulclpi 7037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
6766adantl 273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
6835, 31, 30, 63, 65, 38, 67caov411d 5888 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
6963, 33, 40caovcomd 5859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
7068, 69eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
7135, 31, 34, 63, 65, 52, 67caov4d 5887 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
7263, 35, 34caovcomd 5859 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑐 ·N 𝑏) = (𝑏 ·N 𝑐))
7372oveq1d 5721 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
7471, 73eqtrd 2132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
7570, 74breq12d 3888 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
7675adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
7761, 76mpbird 166 . . . . . . . . 9 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)))
78 mulclpi 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎N𝑓N) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
7930, 38, 78syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
80 mulclpi 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏N𝑒N) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
8134, 52, 80syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
82 mulclpi 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐N𝑑N) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
8335, 31, 82syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
84 ltmpig 7048 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
8579, 81, 83, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
8685adantr 272 . . . . . . . . 9 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
8777, 86mpbird 166 . . . . . . . 8 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒))
88 ordpipqqs 7083 . . . . . . . . . 10 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
89883adant2 968 . . . . . . . . 9 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
9089adantr 272 . . . . . . . 8 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
9187, 90mpbird 166 . . . . . . 7 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )
9291ex 114 . . . . . 6 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
931, 19, 23, 27, 923ecoptocl 6448 . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
9493adantl 273 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥Q𝑦Q𝑧Q)) → ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
9515, 94ispod 4164 . . 3 (⊤ → <Q Po Q)
96 nqtri3or 7105 . . . 4 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥 <Q 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 <Q 𝑥))
9796adantl 273 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥Q𝑦Q)) → (𝑥 <Q 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 <Q 𝑥))
9895, 97issod 4179 . 2 (⊤ → <Q Or Q)
9998mptru 1308 1 <Q Or Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 929  w3a 930   = wceq 1299  wtru 1300  wcel 1448  cop 3477   class class class wbr 3875   Or wor 4155  (class class class)co 5706  [cec 6357  Ncnpi 6981   ·N cmi 6983   <N clti 6984   ~Q ceq 6988  Qcnq 6989   <Q cltq 6994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-mi 7015  df-lti 7016  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-ltnqqs 7062
This theorem is referenced by:  nqtric  7108  lt2addnq  7113  lt2mulnq  7114  ltbtwnnqq  7124  prarloclemarch2  7128  genplt2i  7219  genpdisj  7232  addlocprlemgt  7243  nqprdisj  7253  nqprloc  7254  addnqprlemfl  7268  addnqprlemfu  7269  prmuloclemcalc  7274  mulnqprlemfl  7284  mulnqprlemfu  7285  distrlem4prl  7293  distrlem4pru  7294  ltsopr  7305  ltexprlemopl  7310  ltexprlemopu  7312  ltexprlemdisj  7315  ltexprlemru  7321  recexprlemlol  7335  recexprlemupu  7337  recexprlemdisj  7339  recexprlemss1l  7344  recexprlemss1u  7345  cauappcvgprlemopl  7355  cauappcvgprlemlol  7356  cauappcvgprlemupu  7358  cauappcvgprlemdisj  7360  cauappcvgprlemloc  7361  cauappcvgprlemladdfu  7363  cauappcvgprlemladdru  7365  cauappcvgprlemladdrl  7366  caucvgprlemk  7374  caucvgprlemnkj  7375  caucvgprlemnbj  7376  caucvgprlemm  7377  caucvgprlemopl  7378  caucvgprlemlol  7379  caucvgprlemupu  7381  caucvgprlemloc  7384  caucvgprlemladdfu  7386  caucvgprprlemloccalc  7393  caucvgprprlemml  7403  caucvgprprlemopl  7406
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