Theorem ltsonq 7601

Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltsonq	⊢ <Q Or Q

Proof of Theorem ltsonq

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7551	. . . . . 6 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥)
3	2, 2	breq12d 4096	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q 𝑥))
4	3	notbid 671	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → (¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ¬ 𝑥 <Q 𝑥))
5		ltsopi 7523	. . . . . . . 8 ⊢ <N Or N
6		ltrelpi 7527	. . . . . . . 8 ⊢ <N ⊆ (N × N)
7	5, 6	soirri 5126	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)
8		ordpipqqs 7577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
9	8	anidms 397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
10		mulcompig 7534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑧))
11	10	breq1d 4093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧) ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
12	9, 11	bitrd 188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
13	7, 12	mtbiri 679	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → ¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6782	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Q → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ Q) → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
16		breq1 4086	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ))
17	16	anbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
18		breq1 4086	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ((([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
20		breq2 4087	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q 𝑦))
21		breq1 4086	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
22	20, 21	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
24		breq2 4087	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑦 <Q 𝑧))
25	24	anbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧)))
26		breq2 4087	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ 𝑥 <Q 𝑧))
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)))
28		ordpipqqs 7577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
29	28	3adant3 1041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
30		simp1l 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑎 ∈ N)
31		simp2r 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑑 ∈ N)
32		mulclpi 7531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
34		simp1r 1046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑏 ∈ N)
35		simp2l 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑐 ∈ N)
36		mulclpi 7531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑐 ∈ N) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
38		simp3r 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑓 ∈ N)
39		mulclpi 7531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
40	35, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
41		ltmpig 7542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ·N 𝑑) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
43	29, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
44	43	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
45	44	adantrr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
46		mulcompig 7534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
47	40, 37, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
49	45, 48	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
50		ordpipqqs 7577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
51	50	3adant1 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
52		simp3l 1049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → 𝑒 ∈ N)
53		mulclpi 7531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ N ∧ 𝑒 ∈ N) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
54	31, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
55		ltmpig 7542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
56	40, 54, 37, 55	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
57	51, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
58	57	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
59	58	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
60	5, 6	sotri 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) ∧ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
61	49, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
62		mulcompig 7534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
64		mulasspig 7535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
66		mulclpi 7531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
68	35, 31, 30, 63, 65, 38, 67	caov411d 6200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
69	63, 33, 40	caovcomd 6171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
70	68, 69	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
71	35, 31, 34, 63, 65, 52, 67	caov4d 6199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
72	63, 35, 34	caovcomd 6171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑏) = (𝑏 ·N 𝑐))
73	72	oveq1d 6025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
74	71, 73	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
75	70, 74	breq12d 4096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
77	61, 76	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)))
78		mulclpi 7531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
79	30, 38, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
80		mulclpi 7531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ N ∧ 𝑒 ∈ N) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
81	34, 52, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
82		mulclpi 7531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
83	35, 31, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
84		ltmpig 7542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
86	85	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
87	77, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒))
88		ordpipqqs 7577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
89	88	3adant2 1040	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
91	87, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )
92	91	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ N ∧ 𝑏 ∈ N) ∧ (𝑐 ∈ N ∧ 𝑑 ∈ N) ∧ (𝑒 ∈ N ∧ 𝑓 ∈ N)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
93	1, 19, 23, 27, 92	3ecoptocl 6784	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
94	93	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q)) → ((𝑥 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
95	15, 94	ispod 4396	. . 3 ⊢ (⊤ → <Q Po Q)
96		nqtri3or 7599	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 <Q 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <Q 𝑥))
97	96	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q)) → (𝑥 <Q 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <Q 𝑥))
98	95, 97	issod 4411	. 2 ⊢ (⊤ → <Q Or Q)
99	98	mptru 1404	1 ⊢ <Q Or Q

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1001   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083   Or wor 4387  (class class class)co 6010  [cec 6691  Ncnpi 7475   ·_N cmi 7477   <_N clti 7478   ~_Q ceq 7482  Qcnq 7483   <_Q cltq 7488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4381  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-oadd 6577  df-omul 6578  df-er 6693  df-ec 6695  df-qs 6699  df-ni 7507  df-mi 7509  df-lti 7510  df-enq 7550  df-nqqs 7551  df-ltnqqs 7556

This theorem is referenced by:  nqtric  7602  lt2addnq  7607  lt2mulnq  7608  ltbtwnnqq  7618  prarloclemarch2  7622  genplt2i  7713  genpdisj  7726  addlocprlemgt  7737  nqprdisj  7747  nqprloc  7748  addnqprlemfl  7762  addnqprlemfu  7763  prmuloclemcalc  7768  mulnqprlemfl  7778  mulnqprlemfu  7779  distrlem4prl  7787  distrlem4pru  7788  ltsopr  7799  ltexprlemopl  7804  ltexprlemopu  7806  ltexprlemdisj  7809  ltexprlemru  7815  recexprlemlol  7829  recexprlemupu  7831  recexprlemdisj  7833  recexprlemss1l  7838  recexprlemss1u  7839  cauappcvgprlemopl  7849  cauappcvgprlemlol  7850  cauappcvgprlemupu  7852  cauappcvgprlemdisj  7854  cauappcvgprlemloc  7855  cauappcvgprlemladdfu  7857  cauappcvgprlemladdru  7859  cauappcvgprlemladdrl  7860  caucvgprlemk  7868  caucvgprlemnkj  7869  caucvgprlemnbj  7870  caucvgprlemm  7871  caucvgprlemopl  7872  caucvgprlemlol  7873  caucvgprlemupu  7875  caucvgprlemloc  7878  caucvgprlemladdfu  7880  caucvgprprlemloccalc  7887  caucvgprprlemml  7897  caucvgprprlemopl  7900  suplocexprlemru  7922