Theorem axpre-ltirr 7814

Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 7856. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltirr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 <ℝ 𝐴)

Proof of Theorem axpre-ltirr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7760	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2		df-rex 2448	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
3	1, 2	bitri 183	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
4		id 19	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
5	4, 4	breq12d 3989	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ 𝐴 <ℝ 𝐴))
6	5	notbid 657	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ¬ 𝐴 <ℝ 𝐴))
7		ltsosr 7696	. . . . 5 ⊢ <R Or R
8		ltrelsr 7670	. . . . 5 ⊢ <R ⊆ (R × R)
9	7, 8	soirri 4992	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 <R 𝑥
10		ltresr 7771	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ 𝑥 <R 𝑥)
11	9, 10	mtbir 661	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩
12	11	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ R → ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩)
13	3, 6, 12	gencl 2753	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 <ℝ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1342  ∃wex 1479   ∈ wcel 2135  ∃wrex 2443  ⟨cop 3573   class class class wbr 3976  Rcnr 7229  0_Rc0r 7230   <_R cltr 7235  ℝcr 7743   <_ℝ cltrr 7748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-eprel 4261  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-1o 6375  df-2o 6376  df-oadd 6379  df-omul 6380  df-er 6492  df-ec 6494  df-qs 6498  df-ni 7236  df-pli 7237  df-mi 7238  df-lti 7239  df-plpq 7276  df-mpq 7277  df-enq 7279  df-nqqs 7280  df-plqqs 7281  df-mqqs 7282  df-1nqqs 7283  df-rq 7284  df-ltnqqs 7285  df-enq0 7356  df-nq0 7357  df-0nq0 7358  df-plq0 7359  df-mq0 7360  df-inp 7398  df-i1p 7399  df-iplp 7400  df-iltp 7402  df-enr 7658  df-nr 7659  df-ltr 7662  df-0r 7663  df-r 7754  df-lt 7757

This theorem is referenced by: (None)