ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltirr GIF version

Theorem axpre-ltirr 7338
Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 7378. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltirr (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem axpre-ltirr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7287 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2 df-rex 2361 . . 3 (∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
31, 2bitri 182 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥(𝑥R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
4 id 19 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
54, 4breq12d 3827 . . 3 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 𝐴 < 𝐴))
65notbid 625 . 2 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
7 ltsosr 7231 . . . . 5 <R Or R
8 ltrelsr 7205 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
97, 8soirri 4784 . . . 4 ¬ 𝑥 <R 𝑥
10 ltresr 7297 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 𝑥 <R 𝑥)
119, 10mtbir 629 . . 3 ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R
1211a1i 9 . 2 (𝑥R → ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩)
133, 6, 12gencl 2644 1 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  wrex 2356  cop 3428   class class class wbr 3814  Rcnr 6777  0Rc0r 6778   <R cltr 6783  cr 7270   < cltrr 7275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-eprel 4083  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-irdg 6070  df-1o 6116  df-2o 6117  df-oadd 6120  df-omul 6121  df-er 6225  df-ec 6227  df-qs 6231  df-ni 6784  df-pli 6785  df-mi 6786  df-lti 6787  df-plpq 6824  df-mpq 6825  df-enq 6827  df-nqqs 6828  df-plqqs 6829  df-mqqs 6830  df-1nqqs 6831  df-rq 6832  df-ltnqqs 6833  df-enq0 6904  df-nq0 6905  df-0nq0 6906  df-plq0 6907  df-mq0 6908  df-inp 6946  df-i1p 6947  df-iplp 6948  df-iltp 6950  df-enr 7193  df-nr 7194  df-ltr 7197  df-0r 7198  df-r 7281  df-lt 7284
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator