Theorem axpre-ltirr 7883

Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 7925. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltirr	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 <ℝ 𝐴)

Proof of Theorem axpre-ltirr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7829	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2		df-rex 2461	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
3	1, 2	bitri 184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
4		id 19	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
5	4, 4	breq12d 4018	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ 𝐴 <ℝ 𝐴))
6	5	notbid 667	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ¬ 𝐴 <ℝ 𝐴))
7		ltsosr 7765	. . . . 5 ⊢ <R Or R
8		ltrelsr 7739	. . . . 5 ⊢ <R ⊆ (R × R)
9	7, 8	soirri 5025	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 <R 𝑥
10		ltresr 7840	. . . 4 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ 𝑥 <R 𝑥)
11	9, 10	mtbir 671	. . 3 ⊢ ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩
12	11	a1i 9	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ R → ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <ℝ ⟨𝑥, 0R⟩)
13	3, 6, 12	gencl 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 <ℝ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005  Rcnr 7298  0_Rc0r 7299   <_R cltr 7304  ℝcr 7812   <_ℝ cltrr 7817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-iltp 7471  df-enr 7727  df-nr 7728  df-ltr 7731  df-0r 7732  df-r 7823  df-lt 7826

This theorem is referenced by: (None)