ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltirr GIF version

Theorem axpre-ltirr 7859
Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 7901. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltirr (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem axpre-ltirr
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7805 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2 df-rex 2461 . . 3 (∃𝑥R𝑥, 0R⟩ = 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
31, 2bitri 184 . 2 (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥(𝑥R ∧ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴))
4 id 19 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
54, 4breq12d 4013 . . 3 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 𝐴 < 𝐴))
65notbid 667 . 2 (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
7 ltsosr 7741 . . . . 5 <R Or R
8 ltrelsr 7715 . . . . 5 <R ⊆ (R × R)
97, 8soirri 5018 . . . 4 ¬ 𝑥 <R 𝑥
10 ltresr 7816 . . . 4 (⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩ ↔ 𝑥 <R 𝑥)
119, 10mtbir 671 . . 3 ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R
1211a1i 9 . 2 (𝑥R → ¬ ⟨𝑥, 0R⟩ <𝑥, 0R⟩)
133, 6, 12gencl 2769 1 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wrex 2456  cop 3594   class class class wbr 4000  Rcnr 7274  0Rc0r 7275   <R cltr 7280  cr 7788   < cltrr 7793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4285  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-1o 6410  df-2o 6411  df-oadd 6414  df-omul 6415  df-er 6528  df-ec 6530  df-qs 6534  df-ni 7281  df-pli 7282  df-mi 7283  df-lti 7284  df-plpq 7321  df-mpq 7322  df-enq 7324  df-nqqs 7325  df-plqqs 7326  df-mqqs 7327  df-1nqqs 7328  df-rq 7329  df-ltnqqs 7330  df-enq0 7401  df-nq0 7402  df-0nq0 7403  df-plq0 7404  df-mq0 7405  df-inp 7443  df-i1p 7444  df-iplp 7445  df-iltp 7447  df-enr 7703  df-nr 7704  df-ltr 7707  df-0r 7708  df-r 7799  df-lt 7802
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator