Theorem dffun2 5324

Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun2	⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem dffun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fun 5316	. 2 ⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ (𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ))
2		df-id 4381	. . . . . 6 ⊢ I = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧}
3	2	sseq2i 3251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ↔ (𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧})
4		df-co 4725	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∘ ◡𝐴) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧)}
5	4	sseq1i 3250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧} ↔ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧)} ⊆ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧})
6		ssopab2b 4364	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧)} ⊆ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧} ↔ ∀𝑦∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7	3, 5, 6	3bitri 206	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ↔ ∀𝑦∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
8		vex 2802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		vex 2802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	8, 9	brcnv 4902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
11	10	anbi1i 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧))
12	11	exbii 1651	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧))
13	12	imbi1i 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
14		19.23v 1929	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
15	13, 14	bitr4i 187	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
16	15	albii 1516	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑧∀𝑥((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
17		alcom 1524	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧∀𝑥((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
18	16, 17	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
19	18	albii 1516	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑥∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
20		alcom 1524	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑥∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
21	7, 19, 20	3bitri 206	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
22	21	anbi2i 457	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ (𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ) ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
23	1, 22	bitri 184	1 ⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1393  ∃wex 1538   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082  {copab 4143   I cid 4376  ^◡ccnv 4715   ∘ ccom 4720  Rel wrel 4721  Fun wfun 5308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-cnv 4724  df-co 4725  df-fun 5316

This theorem is referenced by:  dffun4  5325  dffun6f  5327  sbcfung  5338  fundif  5361  funcnveq  5380  fliftfun  5913  fclim  11791