Theorem strslssd 13399

Description: Deduction version of strslss 13400. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strslssd.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strssd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
strssd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
strssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
strssd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strslssd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strslssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslssd.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		strssd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
3		strssd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
4		strssd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
5		strssd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	strslfvd 13394	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑇))
8	2, 4	ssexd 4273	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
9		funss 5396	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (Fun 𝑇 → Fun 𝑆))
10	4, 3, 9	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
11	1, 8, 10, 5	strslfvd 13394	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
12	7, 11	eqtr3d 2273	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712  Fun wfun 5371  ‘cfv 5377  ℕcn 9304  ndxcnx 13349  Slot cslot 13351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-slot 13356

This theorem is used by:  strslss  13400