ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strslssd GIF version

Theorem strslssd 12523
Description: Deduction version of strslss 12524. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strslssd.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strssd.t (𝜑𝑇𝑉)
strssd.f (𝜑 → Fun 𝑇)
strssd.s (𝜑𝑆𝑇)
strssd.n (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
strslssd (𝜑 → (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆))

Proof of Theorem strslssd
StepHypRef Expression
1 strslssd.e . . 3 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2 strssd.t . . 3 (𝜑𝑇𝑉)
3 strssd.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝑇)
4 strssd.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑇)
5 strssd.n . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
64, 5sseldd 3168 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6strslfvd 12518 . 2 (𝜑𝐶 = (𝐸𝑇))
82, 4ssexd 4155 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
9 funss 5247 . . . 4 (𝑆𝑇 → (Fun 𝑇 → Fun 𝑆))
104, 3, 9sylc 62 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑆)
111, 8, 10, 5strslfvd 12518 . 2 (𝜑𝐶 = (𝐸𝑆))
127, 11eqtr3d 2222 1 (𝜑 → (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1363  wcel 2158  Vcvv 2749  wss 3141  cop 3607  Fun wfun 5222  cfv 5228  cn 8933  ndxcnx 12473  Slot cslot 12475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-slot 12480
This theorem is referenced by:  strslss  12524
  Copyright terms: Public domain W3C validator