Theorem strslssd 12440

Description: Deduction version of strslss 12441. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strslssd.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strssd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
strssd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
strssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
strssd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strslssd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strslssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslssd.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		strssd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
3		strssd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
4		strssd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
5		strssd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	strslfvd 12435	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑇))
8	2, 4	ssexd 4122	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
9		funss 5207	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (Fun 𝑇 → Fun 𝑆))
10	4, 3, 9	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
11	1, 8, 10, 5	strslfvd 12435	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
12	7, 11	eqtr3d 2200	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ⟨cop 3579  Fun wfun 5182  ‘cfv 5188  ℕcn 8857  ndxcnx 12391  Slot cslot 12393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-slot 12398

This theorem is referenced by:  strslss  12441