Theorem strslssd 13074

Description: Deduction version of strslss 13075. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strslssd.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strssd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
strssd.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
strssd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
strssd.n	⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
strslssd	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

Proof of Theorem strslssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslssd.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		strssd.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
3		strssd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑇)
4		strssd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑇)
5		strssd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3225	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	strslfvd 13069	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑇))
8	2, 4	ssexd 4223	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
9		funss 5336	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (Fun 𝑇 → Fun 𝑆))
10	4, 3, 9	sylc 62	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
11	1, 8, 10, 5	strslfvd 13069	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑆))
12	7, 11	eqtr3d 2264	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669  Fun wfun 5311  ‘cfv 5317  ℕcn 9106  ndxcnx 13024  Slot cslot 13026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-slot 13031

This theorem is referenced by:  strslss  13075