Theorem sucpw1ne3 7228

Description: Negated excluded middle implies that the successor of the power set of 1_o is not three . (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1ne3	⊢ (¬ EXMID → suc 𝒫 1o ≠ 3o)

Proof of Theorem sucpw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1nel3 7227	. 2 ⊢ (¬ EXMID → ¬ 𝒫 1o ∈ 3o)
2		1oex 6422	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
3	2	pwex 4182	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
4	3	sucid 4416	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o
5		eleq2 2241	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o = 3o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 3o))
6	4, 5	mpbii 148	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o = 3o → 𝒫 1o ∈ 3o)
7	6	necon3bi 2397	. 2 ⊢ (¬ 𝒫 1o ∈ 3o → suc 𝒫 1o ≠ 3o)
8	1, 7	syl 14	1 ⊢ (¬ EXMID → suc 𝒫 1o ≠ 3o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  𝒫 cpw 3575  EXMIDwem 4193  suc csuc 4364  1_oc1o 6407  3_oc3o 6409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-tr 4101  df-exmid 4194  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-1o 6414  df-2o 6415  df-3o 6416

This theorem is referenced by: (None)