Theorem sucpw1ne3 7292

Description: Negated excluded middle implies that the successor of the power set of 1_o is not three . (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1ne3	⊢ (¬ EXMID → suc 𝒫 1o ≠ 3o)

Proof of Theorem sucpw1ne3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1nel3 7291	. 2 ⊢ (¬ EXMID → ¬ 𝒫 1o ∈ 3o)
2		1oex 6477	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
3	2	pwex 4212	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
4	3	sucid 4448	. . . 4 ⊢ 𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o
5		eleq2 2257	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o = 3o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 3o))
6	4, 5	mpbii 148	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o = 3o → 𝒫 1o ∈ 3o)
7	6	necon3bi 2414	. 2 ⊢ (¬ 𝒫 1o ∈ 3o → suc 𝒫 1o ≠ 3o)
8	1, 7	syl 14	1 ⊢ (¬ EXMID → suc 𝒫 1o ≠ 3o)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  𝒫 cpw 3601  EXMIDwem 4223  suc csuc 4396  1_oc1o 6462  3_oc3o 6464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-uni 3836  df-tr 4128  df-exmid 4224  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-1o 6469  df-2o 6470  df-3o 6471

This theorem is referenced by: (None)