Theorem sucpw1nel3 7249

Description: The successor of the power set of 1_o is not an element of 3_o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nel3	⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6442	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
2	1	pwex 4197	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
3	2	sucid 4431	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o
4	3	ne0ii 3446	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ ∅
5		pw1ne0 7244	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o ≠ ∅
6	2	elsn 3622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 1o ∈ {∅} ↔ 𝒫 1o = ∅)
7	5, 6	nemtbir 2448	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅}
8		df1o2 6447	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
9	8	eleq2i 2255	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 1o ∈ 1o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅})
10	7, 9	mtbir 672	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 1o
11		eleq2 2252	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 1o))
12	3, 11	mpbii 148	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 1o)
13	10, 12	mto 663	. . . . 5 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 1o
14	13	neir 2362	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ 1o
15	4, 14	nelpri 3630	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
16		df2o3 6448	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
17	16	eleq2i 2255	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ↔ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
18	15, 17	mtbir 672	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o
19		pw1ne1 7245	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o
20	5, 19	nelpri 3630	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
21	16	eleq2i 2255	. . . . 5 ⊢ (𝒫 1o ∈ 2o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
22	20, 21	mtbir 672	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 2o
23		eleq2 2252	. . . . 5 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 2o))
24	3, 23	mpbii 148	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → 𝒫 1o ∈ 2o)
25	22, 24	mto 663	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 2o
26	2	sucex 4512	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ∈ V
27	26	elsn 3622	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ {2o} ↔ suc 𝒫 1o = 2o)
28	25, 27	mtbir 672	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}
29		ioran 753	. . 3 ⊢ (¬ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}) ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
30		df-3o 6436	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
31		df-suc 4385	. . . . . 6 ⊢ suc 2o = (2o ∪ {2o})
32	30, 31	eqtri 2209	. . . . 5 ⊢ 3o = (2o ∪ {2o})
33	32	eleq2i 2255	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}))
34		elun 3290	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}) ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
35	33, 34	bitri 184	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
36	29, 35	xchnxbir 682	. 2 ⊢ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
37	18, 28, 36	mpbir2an 943	1 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   ∪ cun 3141  ∅c0 3436  𝒫 cpw 3589  {csn 3606  {cpr 3607  suc csuc 4379  1_oc1o 6427  2_oc2o 6428  3_oc3o 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-uni 3824  df-tr 4116  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-1o 6434  df-2o 6435  df-3o 6436

This theorem is referenced by:  onntri35  7253