Theorem sucpw1nel3 7210

Description: The successor of the power set of 1_o is not an element of 3_o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nel3	⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6403	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
2	1	pwex 4169	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
3	2	sucid 4402	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o
4	3	ne0ii 3424	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ ∅
5		pw1ne0 7205	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o ≠ ∅
6	2	elsn 3599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 1o ∈ {∅} ↔ 𝒫 1o = ∅)
7	5, 6	nemtbir 2429	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅}
8		df1o2 6408	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
9	8	eleq2i 2237	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 1o ∈ 1o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅})
10	7, 9	mtbir 666	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 1o
11		eleq2 2234	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 1o))
12	3, 11	mpbii 147	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 1o)
13	10, 12	mto 657	. . . . 5 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 1o
14	13	neir 2343	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ 1o
15	4, 14	nelpri 3607	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
16		df2o3 6409	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
17	16	eleq2i 2237	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ↔ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
18	15, 17	mtbir 666	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o
19		pw1ne1 7206	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o
20	5, 19	nelpri 3607	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
21	16	eleq2i 2237	. . . . 5 ⊢ (𝒫 1o ∈ 2o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
22	20, 21	mtbir 666	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 2o
23		eleq2 2234	. . . . 5 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 2o))
24	3, 23	mpbii 147	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → 𝒫 1o ∈ 2o)
25	22, 24	mto 657	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 2o
26	2	sucex 4483	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ∈ V
27	26	elsn 3599	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ {2o} ↔ suc 𝒫 1o = 2o)
28	25, 27	mtbir 666	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}
29		ioran 747	. . 3 ⊢ (¬ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}) ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
30		df-3o 6397	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
31		df-suc 4356	. . . . . 6 ⊢ suc 2o = (2o ∪ {2o})
32	30, 31	eqtri 2191	. . . . 5 ⊢ 3o = (2o ∪ {2o})
33	32	eleq2i 2237	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}))
34		elun 3268	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}) ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
35	33, 34	bitri 183	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
36	29, 35	xchnxbir 676	. 2 ⊢ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
37	18, 28, 36	mpbir2an 937	1 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ∨ wo 703   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  ∅c0 3414  𝒫 cpw 3566  {csn 3583  {cpr 3584  suc csuc 4350  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389  3_oc3o 6390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-1o 6395  df-2o 6396  df-3o 6397

This theorem is referenced by:  onntri35  7214