Theorem sucpw1nel3 7232

Description: The successor of the power set of 1_o is not an element of 3_o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nel3	⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6425	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
2	1	pwex 4184	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
3	2	sucid 4418	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o
4	3	ne0ii 3433	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ ∅
5		pw1ne0 7227	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o ≠ ∅
6	2	elsn 3609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 1o ∈ {∅} ↔ 𝒫 1o = ∅)
7	5, 6	nemtbir 2436	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅}
8		df1o2 6430	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
9	8	eleq2i 2244	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 1o ∈ 1o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅})
10	7, 9	mtbir 671	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 1o
11		eleq2 2241	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 1o))
12	3, 11	mpbii 148	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 1o)
13	10, 12	mto 662	. . . . 5 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 1o
14	13	neir 2350	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ 1o
15	4, 14	nelpri 3617	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
16		df2o3 6431	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
17	16	eleq2i 2244	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ↔ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
18	15, 17	mtbir 671	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o
19		pw1ne1 7228	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o
20	5, 19	nelpri 3617	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
21	16	eleq2i 2244	. . . . 5 ⊢ (𝒫 1o ∈ 2o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
22	20, 21	mtbir 671	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 2o
23		eleq2 2241	. . . . 5 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 2o))
24	3, 23	mpbii 148	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → 𝒫 1o ∈ 2o)
25	22, 24	mto 662	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 2o
26	2	sucex 4499	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ∈ V
27	26	elsn 3609	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ {2o} ↔ suc 𝒫 1o = 2o)
28	25, 27	mtbir 671	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}
29		ioran 752	. . 3 ⊢ (¬ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}) ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
30		df-3o 6419	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
31		df-suc 4372	. . . . . 6 ⊢ suc 2o = (2o ∪ {2o})
32	30, 31	eqtri 2198	. . . . 5 ⊢ 3o = (2o ∪ {2o})
33	32	eleq2i 2244	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}))
34		elun 3277	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}) ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
35	33, 34	bitri 184	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
36	29, 35	xchnxbir 681	. 2 ⊢ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
37	18, 28, 36	mpbir2an 942	1 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3128  ∅c0 3423  𝒫 cpw 3576  {csn 3593  {cpr 3594  suc csuc 4366  1_oc1o 6410  2_oc2o 6411  3_oc3o 6412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-uni 3811  df-tr 4103  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-1o 6417  df-2o 6418  df-3o 6419

This theorem is referenced by:  onntri35  7236