Theorem sucpw1nel3 7162

Description: The successor of the power set of 1_o is not an element of 3_o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nel3	⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6368	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
2	1	pwex 4144	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
3	2	sucid 4377	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o
4	3	ne0ii 3403	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ ∅
5		pw1ne0 7157	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o ≠ ∅
6	2	elsn 3576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 1o ∈ {∅} ↔ 𝒫 1o = ∅)
7	5, 6	nemtbir 2416	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅}
8		df1o2 6373	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
9	8	eleq2i 2224	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 1o ∈ 1o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅})
10	7, 9	mtbir 661	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 1o
11		eleq2 2221	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 1o))
12	3, 11	mpbii 147	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 1o)
13	10, 12	mto 652	. . . . 5 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 1o
14	13	neir 2330	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ 1o
15	4, 14	nelpri 3584	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
16		df2o3 6374	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
17	16	eleq2i 2224	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ↔ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
18	15, 17	mtbir 661	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o
19		pw1ne1 7158	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o
20	5, 19	nelpri 3584	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
21	16	eleq2i 2224	. . . . 5 ⊢ (𝒫 1o ∈ 2o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
22	20, 21	mtbir 661	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 2o
23		eleq2 2221	. . . . 5 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 2o))
24	3, 23	mpbii 147	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → 𝒫 1o ∈ 2o)
25	22, 24	mto 652	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 2o
26	2	sucex 4457	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ∈ V
27	26	elsn 3576	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ {2o} ↔ suc 𝒫 1o = 2o)
28	25, 27	mtbir 661	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}
29		ioran 742	. . 3 ⊢ (¬ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}) ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
30		df-3o 6362	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
31		df-suc 4331	. . . . . 6 ⊢ suc 2o = (2o ∪ {2o})
32	30, 31	eqtri 2178	. . . . 5 ⊢ 3o = (2o ∪ {2o})
33	32	eleq2i 2224	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}))
34		elun 3248	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}) ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
35	33, 34	bitri 183	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
36	29, 35	xchnxbir 671	. 2 ⊢ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
37	18, 28, 36	mpbir2an 927	1 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ∪ cun 3100  ∅c0 3394  𝒫 cpw 3543  {csn 3560  {cpr 3561  suc csuc 4325  1_oc1o 6353  2_oc2o 6354  3_oc3o 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-tr 4063  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-1o 6360  df-2o 6361  df-3o 6362

This theorem is referenced by:  onntri35  7166