Theorem sucpw1nel3 7316

Description: The successor of the power set of 1_o is not an element of 3_o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nel3	⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6491	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
2	1	pwex 4217	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
3	2	sucid 4453	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o
4	3	ne0ii 3461	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ ∅
5		pw1ne0 7311	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o ≠ ∅
6	2	elsn 3639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 1o ∈ {∅} ↔ 𝒫 1o = ∅)
7	5, 6	nemtbir 2456	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅}
8		df1o2 6496	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
9	8	eleq2i 2263	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 1o ∈ 1o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅})
10	7, 9	mtbir 672	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 1o
11		eleq2 2260	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 1o))
12	3, 11	mpbii 148	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 1o)
13	10, 12	mto 663	. . . . 5 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 1o
14	13	neir 2370	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ 1o
15	4, 14	nelpri 3647	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
16		df2o3 6497	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
17	16	eleq2i 2263	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ↔ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
18	15, 17	mtbir 672	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o
19		pw1ne1 7312	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o
20	5, 19	nelpri 3647	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
21	16	eleq2i 2263	. . . . 5 ⊢ (𝒫 1o ∈ 2o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
22	20, 21	mtbir 672	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 2o
23		eleq2 2260	. . . . 5 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 2o))
24	3, 23	mpbii 148	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → 𝒫 1o ∈ 2o)
25	22, 24	mto 663	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 2o
26	2	sucex 4536	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ∈ V
27	26	elsn 3639	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ {2o} ↔ suc 𝒫 1o = 2o)
28	25, 27	mtbir 672	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}
29		ioran 753	. . 3 ⊢ (¬ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}) ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
30		df-3o 6485	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
31		df-suc 4407	. . . . . 6 ⊢ suc 2o = (2o ∪ {2o})
32	30, 31	eqtri 2217	. . . . 5 ⊢ 3o = (2o ∪ {2o})
33	32	eleq2i 2263	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}))
34		elun 3305	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}) ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
35	33, 34	bitri 184	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
36	29, 35	xchnxbir 682	. 2 ⊢ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
37	18, 28, 36	mpbir2an 944	1 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  ∅c0 3451  𝒫 cpw 3606  {csn 3623  {cpr 3624  suc csuc 4401  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477  3_oc3o 6478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-uni 3841  df-tr 4133  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-1o 6483  df-2o 6484  df-3o 6485

This theorem is referenced by:  onntri35  7320