Theorem sucpw1nel3 7189

Description: The successor of the power set of 1_o is not an element of 3_o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sucpw1nel3	⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 6392	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
2	1	pwex 4162	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ∈ V
3	2	sucid 4395	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o
4	3	ne0ii 3418	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ ∅
5		pw1ne0 7184	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 1o ≠ ∅
6	2	elsn 3592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 1o ∈ {∅} ↔ 𝒫 1o = ∅)
7	5, 6	nemtbir 2425	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅}
8		df1o2 6397	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
9	8	eleq2i 2233	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 1o ∈ 1o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅})
10	7, 9	mtbir 661	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 1o
11		eleq2 2230	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 1o))
12	3, 11	mpbii 147	. . . . . 6 ⊢ (suc 𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 1o)
13	10, 12	mto 652	. . . . 5 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 1o
14	13	neir 2339	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ≠ 1o
15	4, 14	nelpri 3600	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
16		df2o3 6398	. . . 4 ⊢ 2o = {∅, 1o}
17	16	eleq2i 2233	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ↔ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
18	15, 17	mtbir 661	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o
19		pw1ne1 7185	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o ≠ 1o
20	5, 19	nelpri 3600	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
21	16	eleq2i 2233	. . . . 5 ⊢ (𝒫 1o ∈ 2o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
22	20, 21	mtbir 661	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 1o ∈ 2o
23		eleq2 2230	. . . . 5 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 2o))
24	3, 23	mpbii 147	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o = 2o → 𝒫 1o ∈ 2o)
25	22, 24	mto 652	. . 3 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o = 2o
26	2	sucex 4476	. . . 4 ⊢ suc 𝒫 1o ∈ V
27	26	elsn 3592	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ {2o} ↔ suc 𝒫 1o = 2o)
28	25, 27	mtbir 661	. 2 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}
29		ioran 742	. . 3 ⊢ (¬ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}) ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
30		df-3o 6386	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
31		df-suc 4349	. . . . . 6 ⊢ suc 2o = (2o ∪ {2o})
32	30, 31	eqtri 2186	. . . . 5 ⊢ 3o = (2o ∪ {2o})
33	32	eleq2i 2233	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}))
34		elun 3263	. . . 4 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}) ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
35	33, 34	bitri 183	. . 3 ⊢ (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
36	29, 35	xchnxbir 671	. 2 ⊢ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
37	18, 28, 36	mpbir2an 932	1 ⊢ ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ∪ cun 3114  ∅c0 3409  𝒫 cpw 3559  {csn 3576  {cpr 3577  suc csuc 4343  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378  3_oc3o 6379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-1o 6384  df-2o 6385  df-3o 6386

This theorem is referenced by:  onntri35  7193