Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sucpw1nel3 GIF version

Theorem sucpw1nel3 7151
 Description: The successor of the power set of 1o is not an element of 3o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
sucpw1nel3 ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o

Proof of Theorem sucpw1nel3
StepHypRef Expression
1 1oex 6365 . . . . . . 7 1o ∈ V
21pwex 4143 . . . . . 6 𝒫 1o ∈ V
32sucid 4376 . . . . 5 𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o
43ne0ii 3403 . . . 4 suc 𝒫 1o ≠ ∅
5 pw1ne0 7146 . . . . . . . 8 𝒫 1o ≠ ∅
62elsn 3576 . . . . . . . 8 (𝒫 1o ∈ {∅} ↔ 𝒫 1o = ∅)
75, 6nemtbir 2416 . . . . . . 7 ¬ 𝒫 1o ∈ {∅}
8 df1o2 6370 . . . . . . . 8 1o = {∅}
98eleq2i 2224 . . . . . . 7 (𝒫 1o ∈ 1o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅})
107, 9mtbir 661 . . . . . 6 ¬ 𝒫 1o ∈ 1o
11 eleq2 2221 . . . . . . 7 (suc 𝒫 1o = 1o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 1o))
123, 11mpbii 147 . . . . . 6 (suc 𝒫 1o = 1o → 𝒫 1o ∈ 1o)
1310, 12mto 652 . . . . 5 ¬ suc 𝒫 1o = 1o
1413neir 2330 . . . 4 suc 𝒫 1o ≠ 1o
154, 14nelpri 3584 . . 3 ¬ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
16 df2o3 6371 . . . 4 2o = {∅, 1o}
1716eleq2i 2224 . . 3 (suc 𝒫 1o ∈ 2o ↔ suc 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
1815, 17mtbir 661 . 2 ¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o
19 pw1ne1 7147 . . . . . 6 𝒫 1o ≠ 1o
205, 19nelpri 3584 . . . . 5 ¬ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o}
2116eleq2i 2224 . . . . 5 (𝒫 1o ∈ 2o ↔ 𝒫 1o ∈ {∅, 1o})
2220, 21mtbir 661 . . . 4 ¬ 𝒫 1o ∈ 2o
23 eleq2 2221 . . . . 5 (suc 𝒫 1o = 2o → (𝒫 1o ∈ suc 𝒫 1o ↔ 𝒫 1o ∈ 2o))
243, 23mpbii 147 . . . 4 (suc 𝒫 1o = 2o → 𝒫 1o ∈ 2o)
2522, 24mto 652 . . 3 ¬ suc 𝒫 1o = 2o
262sucex 4456 . . . 4 suc 𝒫 1o ∈ V
2726elsn 3576 . . 3 (suc 𝒫 1o ∈ {2o} ↔ suc 𝒫 1o = 2o)
2825, 27mtbir 661 . 2 ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}
29 ioran 742 . . 3 (¬ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}) ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
30 df-3o 6359 . . . . . 6 3o = suc 2o
31 df-suc 4330 . . . . . 6 suc 2o = (2o ∪ {2o})
3230, 31eqtri 2178 . . . . 5 3o = (2o ∪ {2o})
3332eleq2i 2224 . . . 4 (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}))
34 elun 3248 . . . 4 (suc 𝒫 1o ∈ (2o ∪ {2o}) ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
3533, 34bitri 183 . . 3 (suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (suc 𝒫 1o ∈ 2o ∨ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
3629, 35xchnxbir 671 . 2 (¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o ↔ (¬ suc 𝒫 1o ∈ 2o ∧ ¬ suc 𝒫 1o ∈ {2o}))
3718, 28, 36mpbir2an 927 1 ¬ suc 𝒫 1o ∈ 3o
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ∪ cun 3100  ∅c0 3394  𝒫 cpw 3543  {csn 3560  {cpr 3561  suc csuc 4324  1oc1o 6350  2oc2o 6351  3oc3o 6352 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-tr 4063  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-1o 6357  df-2o 6358  df-3o 6359 This theorem is referenced by:  onntri35  7155
 Copyright terms: Public domain W3C validator