Theorem tz7.2 4339

Description: Similar to Theorem 7.2 of [TakeutiZaring] p. 35, of except that the Axiom of Regularity is not required due to antecedent E Fr 𝐴. (Contributed by NM, 4-May-1994.)

Assertion

Ref	Expression
tz7.2	⊢ ((Tr 𝐴 ∧ E Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))

Proof of Theorem tz7.2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trss 4096	. . 3 ⊢ (Tr 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		efrirr 4338	. . . . 5 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3		eleq1 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
4	3	notbid 662	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴))
5	2, 4	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ ( E Fr 𝐴 → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
6	5	necon2ad 2397	. . 3 ⊢ ( E Fr 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ≠ 𝐴))
7	1, 6	anim12ii 341	. 2 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ E Fr 𝐴) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))
8	7	3impia 1195	1 ⊢ ((Tr 𝐴 ∧ E Fr 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   ⊆ wss 3121  Tr wtr 4087   E cep 4272   Fr wfr 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-frfor 4316  df-frind 4317

This theorem is referenced by: (None)