Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  antisymrelres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem antisymrelres 37628
Description: (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
antisymrelres ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem antisymrelres
StepHypRef Expression
1 relres 6010 . . 3 Rel (𝑅𝐴)
2 dfantisymrel5 37627 . . 3 ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ (∀𝑥𝑦((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ Rel (𝑅𝐴)))
31, 2mpbiran2 708 . 2 ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
4 brres 5988 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦)))
54elv 3480 . . . . . 6 (𝑥(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦))
6 brres 5988 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑦(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
76elv 3480 . . . . . 6 (𝑦(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
85, 7anbi12i 627 . . . . 5 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
9 an4 654 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
108, 9bitri 274 . . . 4 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
1110imbi1i 349 . . 3 (((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
12112albii 1822 . 2 (∀𝑥𝑦((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
13 r2alan 37111 . 2 (∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
143, 12, 133bitri 296 1 ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  cres 5678  Rel wrel 5681   AntisymRel wantisymrel 37075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-cnvrefrel 37392  df-antisymrel 37625
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator