Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  antisymrelres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem antisymrelres 38745
Description: (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
antisymrelres ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem antisymrelres
StepHypRef Expression
1 relres 6026 . . 3 Rel (𝑅𝐴)
2 dfantisymrel5 38744 . . 3 ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ (∀𝑥𝑦((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ Rel (𝑅𝐴)))
31, 2mpbiran2 710 . 2 ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
4 brres 6007 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦)))
54elv 3483 . . . . . 6 (𝑥(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦))
6 brres 6007 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑦(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
76elv 3483 . . . . . 6 (𝑦(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
85, 7anbi12i 628 . . . . 5 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
9 an4 656 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
108, 9bitri 275 . . . 4 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
1110imbi1i 349 . . 3 (((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
12112albii 1817 . 2 (∀𝑥𝑦((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
13 r2alan 38231 . 2 (∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
143, 12, 133bitri 297 1 ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cres 5691  Rel wrel 5694   AntisymRel wantisymrel 38199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-cnvrefrel 38509  df-antisymrel 38742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator