Theorem antisymrelres 39187

Description: (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
antisymrelres	⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem antisymrelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5970	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
2		dfantisymrel5 39186	. . 3 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran2 711	. 2 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
4		brres 5951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦)))
5	4	elv 3434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦))
6		brres 5951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
7	6	elv 3434	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
8	5, 7	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
9		an4 657	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
11	10	imbi1i 349	. . 3 ⊢ (((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
12	11	2albii 1822	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
13		r2alan 38572	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
14	3, 12, 13	3bitri 297	1 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   class class class wbr 5085   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636   AntisymRel wantisymrel 38543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-cnvrefrel 38928  df-antisymrel 39184

This theorem is referenced by: (None)