Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  antisymrelres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem antisymrelres 38764
Description: (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
antisymrelres ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem antisymrelres
StepHypRef Expression
1 relres 6023 . . 3 Rel (𝑅𝐴)
2 dfantisymrel5 38763 . . 3 ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ (∀𝑥𝑦((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ Rel (𝑅𝐴)))
31, 2mpbiran2 710 . 2 ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥𝑦((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
4 brres 6004 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦)))
54elv 3485 . . . . . 6 (𝑥(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦))
6 brres 6004 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → (𝑦(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
76elv 3485 . . . . . 6 (𝑦(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥))
85, 7anbi12i 628 . . . . 5 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)))
9 an4 656 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
108, 9bitri 275 . . . 4 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
1110imbi1i 349 . . 3 (((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
12112albii 1820 . 2 (∀𝑥𝑦((𝑥(𝑅𝐴)𝑦𝑦(𝑅𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
13 r2alan 38250 . 2 (∀𝑥𝑦(((𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
143, 12, 133bitri 297 1 ( AntisymRel (𝑅𝐴) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cres 5687  Rel wrel 5690   AntisymRel wantisymrel 38219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-cnvrefrel 38528  df-antisymrel 38761
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator