Theorem antisymrelres 39778

Description: (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
antisymrelres	⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem antisymrelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5996	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
2		dfantisymrel5 39777	. . 3 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran2 723	. 2 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
4		brres 5977	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦)))
5	4	elv 3456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦))
6		brres 5977	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
7	6	elv 3456	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
8	5, 7	anbi12i 640	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
9		an4 669	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
10	8, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
11	10	imbi1i 352	. . 3 ⊢ (((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
12	11	2albii 1853	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
13		r2alan 39163	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
14	3, 12, 13	3bitri 300	1 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   ↾ cres 5653  Rel wrel 5656   AntisymRel wantisymrel 39134

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-cnvrefrel 39519  df-antisymrel 39775

This theorem is used by: (None)