Theorem antisymrelres 38728

Description: (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
antisymrelres	⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem antisymrelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5965	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
2		dfantisymrel5 38727	. . 3 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
4		brres 5946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦)))
5	4	elv 3449	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦))
6		brres 5946	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
7	6	elv 3449	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
8	5, 7	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
9		an4 656	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
11	10	imbi1i 349	. . 3 ⊢ (((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
12	11	2albii 1820	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
13		r2alan 38211	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
14	3, 12, 13	3bitri 297	1 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   ↾ cres 5633  Rel wrel 5636   AntisymRel wantisymrel 38179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-cnvrefrel 38491  df-antisymrel 38725

This theorem is referenced by: (None)