Theorem antisymrelres 38801

Description: (Contributed by Peter Mazsa, 25-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
antisymrelres	⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem antisymrelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5949	. . 3 ⊢ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)
2		dfantisymrel5 38800	. . 3 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ∧ Rel (𝑅 ↾ 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
4		brres 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦)))
5	4	elv 3441	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦))
6		brres 5930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
7	6	elv 3441	. . . . . 6 ⊢ (𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
8	5, 7	anbi12i 628	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
9		an4 656	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
11	10	imbi1i 349	. . 3 ⊢ (((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
12	11	2albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦))
13		r2alan 38284	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
14	3, 12, 13	3bitri 297	1 ⊢ ( AntisymRel (𝑅 ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   class class class wbr 5086   ↾ cres 5613  Rel wrel 5616   AntisymRel wantisymrel 38252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-cnvrefrel 38564  df-antisymrel 38798

This theorem is referenced by: (None)