Theorem bj-1uplex 37891

Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-1uplex	⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-1uplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-pr11val 37888	. . 3 ⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = 𝐴
2		bj-pr1ex 37889	. . 3 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → pr1 ⦅𝐴⦆ ∈ V)
3	1, 2	eqeltrrid 2866	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → 𝐴 ∈ V)
4		df-bj-1upl 37881	. . 3 ⊢ ⦅𝐴⦆ = ({∅} × tag 𝐴)
5		p0ex 5346	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		bj-xtagex 37872	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ V → (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V)
8	4, 7	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦅𝐴⦆ ∈ V)
9	3, 8	impbii 212	1 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {csn 4584   × cxp 5649  tag bj-ctag 37857  ⦅bj-c1upl 37880  pr₁ bj-cpr1 37883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-bj-sngl 37849  df-bj-tag 37858  df-bj-proj 37874  df-bj-1upl 37881  df-bj-pr1 37884

This theorem is used by:  bj-2uplex  37905