Theorem bj-1uplex 36989

Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-1uplex	⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-1uplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-pr11val 36986	. . 3 ⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = 𝐴
2		bj-pr1ex 36987	. . 3 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → pr1 ⦅𝐴⦆ ∈ V)
3	1, 2	eqeltrrid 2833	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → 𝐴 ∈ V)
4		df-bj-1upl 36979	. . 3 ⊢ ⦅𝐴⦆ = ({∅} × tag 𝐴)
5		p0ex 5334	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		bj-xtagex 36970	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ V → (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V)
8	4, 7	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦅𝐴⦆ ∈ V)
9	3, 8	impbii 209	1 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292  {csn 4585   × cxp 5629  tag bj-ctag 36955  ⦅bj-c1upl 36978  pr₁ bj-cpr1 36981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-bj-sngl 36947  df-bj-tag 36956  df-bj-proj 36972  df-bj-1upl 36979  df-bj-pr1 36982

This theorem is referenced by:  bj-2uplex  37003