Theorem bj-1uplex 37625

Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-1uplex	⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-1uplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-pr11val 37622	. . 3 ⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = 𝐴
2		bj-pr1ex 37623	. . 3 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → pr1 ⦅𝐴⦆ ∈ V)
3	1, 2	eqeltrrid 2868	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → 𝐴 ∈ V)
4		df-bj-1upl 37615	. . 3 ⊢ ⦅𝐴⦆ = ({∅} × tag 𝐴)
5		p0ex 5357	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		bj-xtagex 37606	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ V → (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V)
8	4, 7	eqeltrid 2867	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦅𝐴⦆ ∈ V)
9	3, 8	impbii 212	1 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4287  {csn 4590   × cxp 5661  tag bj-ctag 37591  ⦅bj-c1upl 37614  pr₁ bj-cpr1 37617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-bj-sngl 37583  df-bj-tag 37592  df-bj-proj 37608  df-bj-1upl 37615  df-bj-pr1 37618

This theorem is referenced by:  bj-2uplex  37639