Theorem bj-1uplex 37457

Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-1uplex	⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem bj-1uplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-pr11val 37454	. . 3 ⊢ pr1 ⦅𝐴⦆ = 𝐴
2		bj-pr1ex 37455	. . 3 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → pr1 ⦅𝐴⦆ ∈ V)
3	1, 2	eqeltrrid 2866	. 2 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V → 𝐴 ∈ V)
4		df-bj-1upl 37447	. . 3 ⊢ ⦅𝐴⦆ = ({∅} × tag 𝐴)
5		p0ex 5340	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
6		bj-xtagex 37438	. . . 4 ⊢ ({∅} ∈ V → (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V))
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × tag 𝐴) ∈ V)
8	4, 7	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦅𝐴⦆ ∈ V)
9	3, 8	impbii 211	1 ⊢ (⦅𝐴⦆ ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4285  {csn 4581   × cxp 5643  tag bj-ctag 37423  ⦅bj-c1upl 37446  pr₁ bj-cpr1 37449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-bj-sngl 37415  df-bj-tag 37424  df-bj-proj 37440  df-bj-1upl 37447  df-bj-pr1 37450

This theorem is referenced by:  bj-2uplex  37471