Theorem rnxrncnvepres 39171

Description: Range of a range Cartesian product with a restriction of the converse epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 6-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
rnxrncnvepres	⊢ ran (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝑥)}

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rnxrncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnxrnres 39170	. 2 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)}
2		brcnvep 39018	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
3	2	elv 3455	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢)
4	3	anbi1ci 638	. . . 4 ⊢ ((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
5	4	rexbii 3109	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
6	5	opabbii 5172	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝑥)}
7	1, 6	eqtri 2783	1 ⊢ ran (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝑥)}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  {copab 5167   E cep 5554  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656   ↾ cres 5657   ⋉ cxrn 38922

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fo 6539  df-fv 6541  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-ec 8698  df-xrn 39128

This theorem is used by: (None)