Theorem br1cossxrncnvepres 38437

Description: ⟨𝐵, 𝐶⟩ and ⟨𝐷, 𝐸⟩ are cosets by a range Cartesian product with the restricted converse epsilon class: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 12-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
br1cossxrncnvepres	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝐷   𝑢,𝐸   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉   𝑢,𝑊   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌

Proof of Theorem br1cossxrncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br1cossxrnres 38433	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ E 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ E 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))
2		brcnvep 38250	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝑢))
3	2	elv 3460	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝑢)
4	3	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ E 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵))
5		brcnvep 38250	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝐸 ↔ 𝐸 ∈ 𝑢))
6	5	elv 3460	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝐸 ↔ 𝐸 ∈ 𝑢)
7	6	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ E 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷) ↔ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))
8	4, 7	anbi12i 628	. . 3 ⊢ (((𝑢◡ E 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ E 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ((𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
9	8	rexbii 3078	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ E 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ E 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
10	1, 9	bitrdi 287	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3055  Vcvv 3455  ⟨cop 4603   class class class wbr 5115   E cep 5545  ^◡ccnv 5645   ↾ cres 5648   ⋉ cxrn 38165   ≀ ccoss 38166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-eprel 5546  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-fo 6525  df-fv 6527  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-xrn 38356  df-coss 38396

This theorem is referenced by: (None)