Theorem br1cossxrncnvepres 38357

Description: ⟨𝐵, 𝐶⟩ and ⟨𝐷, 𝐸⟩ are cosets by a range Cartesian product with the restricted converse epsilon class: a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 12-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
br1cossxrncnvepres	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑢,𝐵   𝑢,𝐶   𝑢,𝐷   𝑢,𝐸   𝑢,𝑅   𝑢,𝑉   𝑢,𝑊   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌

Proof of Theorem br1cossxrncnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		br1cossxrnres 38353	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ E 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ E 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))
2		brcnvep 38170	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝑢))
3	2	elv 3488	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝑢)
4	3	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ E 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵))
5		brcnvep 38170	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝐸 ↔ 𝐸 ∈ 𝑢))
6	5	elv 3488	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝐸 ↔ 𝐸 ∈ 𝑢)
7	6	anbi1i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ E 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷) ↔ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))
8	4, 7	anbi12i 627	. . 3 ⊢ (((𝑢◡ E 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ E 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ((𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
9	8	rexbii 3096	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝑢◡ E 𝐶 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝑢◡ E 𝐸 ∧ 𝑢𝑅𝐷)) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷)))
10	1, 9	bitrdi 287	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) ∧ (𝐷 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩ ≀ (𝑅 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴))⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 ((𝐶 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐵) ∧ (𝐸 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢𝑅𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2103  ∃wrex 3072  Vcvv 3482  ⟨cop 4654   class class class wbr 5169   E cep 5602  ^◡ccnv 5698   ↾ cres 5701   ⋉ cxrn 38083   ≀ ccoss 38084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3439  df-v 3484  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-eprel 5603  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-fo 6578  df-fv 6580  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-xrn 38276  df-coss 38316

This theorem is referenced by: (None)