Theorem brinxp 5711

Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 9-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))

Proof of Theorem brinxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brinxp2 5710	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
2	1	baibr 536	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   class class class wbr 5100   × cxp 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5638

This theorem is referenced by:  poinxp  5713  soinxp  5714  frinxp  5715  seinxp  5716  exfo  7059  isores2  7289  ltpiord  10810  ordpinq  10866  pwsleval  17426  tsrss  18524  ordtrest  23158  ordtrest2lem  23159  ordtrestNEW  34098  ordtrest2NEWlem  34099  satefvfmla0  35631