Theorem brinxp 5733

Description: Intersection of binary relation with Cartesian product. (Contributed by NM, 9-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
brinxp	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))

Proof of Theorem brinxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brinxp2 5732	. 2 ⊢ (𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐴𝑅𝐵))
2	1	baibr 536	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴(𝑅 ∩ (𝐶 × 𝐷))𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3925   class class class wbr 5119   × cxp 5652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660

This theorem is referenced by:  poinxp  5735  soinxp  5736  frinxp  5737  seinxp  5738  exfo  7095  isores2  7326  ltpiord  10901  ordpinq  10957  pwsleval  17507  tsrss  18599  ordtrest  23140  ordtrest2lem  23141  ordtrestNEW  33952  ordtrest2NEWlem  33953  satefvfmla0  35440