Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrestNEW Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ordtrestNEW 32890
Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ordtNEW.l ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
Assertion
Ref Expression
ordtrestNEW ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Proof of Theorem ordtrestNEW
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.l . . . . 5 ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
2 fvex 6902 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) ∈ V
32inex1 5317 . . . . 5 ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V
41, 3eqeltri 2830 . . . 4 ≀ ∈ V
54inex1 5317 . . 3 ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V
6 eqid 2733 . . . 4 dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
7 eqid 2733 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
8 eqid 2733 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
96, 7, 8ordtval 22685 . . 3 (( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))))
105, 9mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))))
11 ordttop 22696 . . . . . 6 ( ≀ ∈ V β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
124, 11ax-mp 5 . . . . 5 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
13 ordtNEW.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 fvex 6902 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) ∈ V
1513, 14eqeltri 2830 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
1615ssex 5321 . . . . 5 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
17 resttop 22656 . . . . 5 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
1812, 16, 17sylancr 588 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
1918adantl 483 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
2013ressprs 32121 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
21 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
22 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
2321, 22prsdm 32883 . . . . . . . . 9 ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset β†’ dom ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 β†Ύs 𝐴) = (𝐾 β†Ύs 𝐴)
2625, 13ressbas2 17179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
27 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∈ V
2826, 27eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3025, 29ressle 17322 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3231adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3326adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3433sqxpeqd 5708 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) = ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
3532, 34ineq12d 4213 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
3635dmeqd 5904 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
3724, 36, 333eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
3813, 1prsss 32885 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
3938dmeqd 5904 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4013, 1prsdm 32883 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ dom ≀ = 𝐡)
4140sseq2d 4014 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Proset β†’ (𝐴 βŠ† dom ≀ ↔ 𝐴 βŠ† 𝐡))
4241biimpar 479 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† dom ≀ )
43 sseqin2 4215 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† dom ≀ ↔ (dom ≀ ∩ 𝐴) = 𝐴)
4442, 43sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (dom ≀ ∩ 𝐴) = 𝐴)
4537, 39, 443eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom ≀ ∩ 𝐴))
464, 11mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
4716adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ V)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 dom ≀ = dom ≀
4948ordttopon 22689 . . . . . . . . 9 ( ≀ ∈ V β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜dom ≀ ))
504, 49mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜dom ≀ ))
51 toponmax 22420 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜dom ≀ ) β†’ dom ≀ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ≀ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
53 elrestr 17371 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ dom ≀ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
5446, 47, 52, 53syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
5545, 54eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
5655snssd 4812 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ {dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
57 rabeq 3447 . . . . . . . . 9 (dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom ≀ ∩ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
5845, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
5945, 58mpteq12dv 5239 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}))
6059rneqd 5936 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}))
61 inrab2 4307 . . . . . . . . . 10 ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}
62 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom ≀ ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴))
6462, 63sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
65 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴))
6662, 65sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
68 brinxp 5753 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
6964, 67, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
7069notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
7170rabbidva 3440 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
7261, 71eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
734, 11mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
7447adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ V)
75 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Proset )
76 inss1 4228 . . . . . . . . . . . 12 (dom ≀ ∩ 𝐴) βŠ† dom ≀
7776sseli 3978 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ dom ≀ )
7848ordtopn1 22690 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≀ ∈ V ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
794, 78mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ dom ≀ β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
8079adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
8175, 77, 80syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
82 elrestr 17371 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8373, 74, 81, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8472, 83eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8584fmpttd 7112 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}):(dom ≀ ∩ 𝐴)⟢((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8685frnd 6723 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8760, 86eqsstrd 4020 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
88 rabeq 3447 . . . . . . . . 9 (dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom ≀ ∩ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
8945, 88syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
9045, 89mpteq12dv 5239 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))
9190rneqd 5936 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))
92 inrab2 4307 . . . . . . . . . 10 ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}
93 brinxp 5753 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
9467, 64, 93syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
9594notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
9695rabbidva 3440 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
9792, 96eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
9848ordtopn2 22691 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≀ ∈ V ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
994, 98mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ dom ≀ β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
10099adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
10175, 77, 100syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
102 elrestr 17371 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10373, 74, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10497, 103eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
105104fmpttd 7112 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}):(dom ≀ ∩ 𝐴)⟢((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
106105frnd 6723 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10791, 106eqsstrd 4020 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10887, 107unssd 4186 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10956, 108unssd 4186 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
110 tgfiss 22486 . . 3 ((((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ ({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
11119, 109, 110syl2anc 585 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
11210, 111eqsstrd 4020 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  ficfi 9402  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  lecple 17201   β†Ύt crest 17363  topGenctg 17380  ordTopcordt 17442   Proset cproset 18243  Topctop 22387  TopOnctopon 22404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-dec 12675  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-ple 17214  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-ordt 17444  df-proset 18245  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  32892
  Copyright terms: Public domain W3C validator