Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrestNEW Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ordtrestNEW 32901
Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ordtNEW.l ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
Assertion
Ref Expression
ordtrestNEW ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Proof of Theorem ordtrestNEW
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.l . . . . 5 ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
2 fvex 6905 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) ∈ V
32inex1 5318 . . . . 5 ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V
41, 3eqeltri 2830 . . . 4 ≀ ∈ V
54inex1 5318 . . 3 ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V
6 eqid 2733 . . . 4 dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
7 eqid 2733 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
8 eqid 2733 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
96, 7, 8ordtval 22693 . . 3 (( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))))
105, 9mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))))
11 ordttop 22704 . . . . . 6 ( ≀ ∈ V β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
124, 11ax-mp 5 . . . . 5 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
13 ordtNEW.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 fvex 6905 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) ∈ V
1513, 14eqeltri 2830 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
1615ssex 5322 . . . . 5 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
17 resttop 22664 . . . . 5 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
1812, 16, 17sylancr 588 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
1918adantl 483 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
2013ressprs 32133 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
21 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
22 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
2321, 22prsdm 32894 . . . . . . . . 9 ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset β†’ dom ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 β†Ύs 𝐴) = (𝐾 β†Ύs 𝐴)
2625, 13ressbas2 17182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
27 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∈ V
2826, 27eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3025, 29ressle 17325 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3231adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3326adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3433sqxpeqd 5709 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) = ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
3532, 34ineq12d 4214 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
3635dmeqd 5906 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
3724, 36, 333eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
3813, 1prsss 32896 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
3938dmeqd 5906 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4013, 1prsdm 32894 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ dom ≀ = 𝐡)
4140sseq2d 4015 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Proset β†’ (𝐴 βŠ† dom ≀ ↔ 𝐴 βŠ† 𝐡))
4241biimpar 479 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† dom ≀ )
43 sseqin2 4216 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† dom ≀ ↔ (dom ≀ ∩ 𝐴) = 𝐴)
4442, 43sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (dom ≀ ∩ 𝐴) = 𝐴)
4537, 39, 443eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom ≀ ∩ 𝐴))
464, 11mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
4716adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ V)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 dom ≀ = dom ≀
4948ordttopon 22697 . . . . . . . . 9 ( ≀ ∈ V β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜dom ≀ ))
504, 49mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜dom ≀ ))
51 toponmax 22428 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜dom ≀ ) β†’ dom ≀ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ≀ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
53 elrestr 17374 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ dom ≀ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
5446, 47, 52, 53syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
5545, 54eqeltrd 2834 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
5655snssd 4813 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ {dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
57 rabeq 3447 . . . . . . . . 9 (dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom ≀ ∩ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
5845, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
5945, 58mpteq12dv 5240 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}))
6059rneqd 5938 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}))
61 inrab2 4308 . . . . . . . . . 10 ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}
62 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom ≀ ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴))
6462, 63sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
65 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴))
6662, 65sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
68 brinxp 5755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
6964, 67, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
7069notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
7170rabbidva 3440 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
7261, 71eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
734, 11mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
7447adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ V)
75 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Proset )
76 inss1 4229 . . . . . . . . . . . 12 (dom ≀ ∩ 𝐴) βŠ† dom ≀
7776sseli 3979 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ dom ≀ )
7848ordtopn1 22698 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≀ ∈ V ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
794, 78mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ dom ≀ β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
8079adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
8175, 77, 80syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
82 elrestr 17374 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8373, 74, 81, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8472, 83eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8584fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}):(dom ≀ ∩ 𝐴)⟢((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8685frnd 6726 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8760, 86eqsstrd 4021 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
88 rabeq 3447 . . . . . . . . 9 (dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom ≀ ∩ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
8945, 88syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
9045, 89mpteq12dv 5240 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))
9190rneqd 5938 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))
92 inrab2 4308 . . . . . . . . . 10 ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}
93 brinxp 5755 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
9467, 64, 93syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
9594notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
9695rabbidva 3440 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
9792, 96eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
9848ordtopn2 22699 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≀ ∈ V ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
994, 98mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ dom ≀ β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
10099adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
10175, 77, 100syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
102 elrestr 17374 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10373, 74, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10497, 103eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
105104fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}):(dom ≀ ∩ 𝐴)⟢((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
106105frnd 6726 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10791, 106eqsstrd 4021 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10887, 107unssd 4187 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10956, 108unssd 4187 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
110 tgfiss 22494 . . 3 ((((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ ({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
11119, 109, 110syl2anc 585 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
11210, 111eqsstrd 4021 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  ficfi 9405  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  lecple 17204   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  ordTopcordt 17445   Proset cproset 18246  Topctop 22395  TopOnctopon 22412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-ple 17217  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-proset 18248  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  32903
  Copyright terms: Public domain W3C validator