Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtrestNEW Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ordtrestNEW 33199
Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ordtNEW.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
ordtNEW.l ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
Assertion
Ref Expression
ordtrestNEW ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Proof of Theorem ordtrestNEW
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtNEW.l . . . . 5 ≀ = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡))
2 fvex 6903 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) ∈ V
32inex1 5316 . . . . 5 ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐡 Γ— 𝐡)) ∈ V
41, 3eqeltri 2827 . . . 4 ≀ ∈ V
54inex1 5316 . . 3 ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V
6 eqid 2730 . . . 4 dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
7 eqid 2730 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
8 eqid 2730 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
96, 7, 8ordtval 22913 . . 3 (( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))))
105, 9mp1i 13 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))))
11 ordttop 22924 . . . . . 6 ( ≀ ∈ V β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
124, 11ax-mp 5 . . . . 5 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
13 ordtNEW.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
14 fvex 6903 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) ∈ V
1513, 14eqeltri 2827 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
1615ssex 5320 . . . . 5 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
17 resttop 22884 . . . . 5 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
1812, 16, 17sylancr 585 . . . 4 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
1918adantl 480 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
2013ressprs 32400 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset )
21 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))
22 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
2321, 22prsdm 33192 . . . . . . . . 9 ((𝐾 β†Ύs 𝐴) ∈ Proset β†’ dom ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
2420, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))) = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
25 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 β†Ύs 𝐴) = (𝐾 β†Ύs 𝐴)
2625, 13ressbas2 17186 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
27 fvex 6903 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∈ V
2826, 27eqeltrdi 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐴 ∈ V)
29 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3025, 29ressle 17329 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝐡 β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3231adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3326adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))
3433sqxpeqd 5707 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) = ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴))))
3532, 34ineq12d 4212 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
3635dmeqd 5904 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ((leβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) ∩ ((Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)) Γ— (Baseβ€˜(𝐾 β†Ύs 𝐴)))))
3724, 36, 333eqtr4d 2780 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = 𝐴)
3813, 1prsss 33194 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
3938dmeqd 5904 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom ((leβ€˜πΎ) ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)))
4013, 1prsdm 33192 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Proset β†’ dom ≀ = 𝐡)
4140sseq2d 4013 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Proset β†’ (𝐴 βŠ† dom ≀ ↔ 𝐴 βŠ† 𝐡))
4241biimpar 476 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 βŠ† dom ≀ )
43 sseqin2 4214 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† dom ≀ ↔ (dom ≀ ∩ 𝐴) = 𝐴)
4442, 43sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (dom ≀ ∩ 𝐴) = 𝐴)
4537, 39, 443eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom ≀ ∩ 𝐴))
464, 11mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
4716adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ V)
48 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 dom ≀ = dom ≀
4948ordttopon 22917 . . . . . . . . 9 ( ≀ ∈ V β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜dom ≀ ))
504, 49mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜dom ≀ ))
51 toponmax 22648 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜dom ≀ ) β†’ dom ≀ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ≀ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
53 elrestr 17378 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ dom ≀ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
5446, 47, 52, 53syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
5545, 54eqeltrd 2831 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
5655snssd 4811 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ {dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
57 rabeq 3444 . . . . . . . . 9 (dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom ≀ ∩ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
5845, 57syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
5945, 58mpteq12dv 5238 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}))
6059rneqd 5936 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}))
61 inrab2 4306 . . . . . . . . . 10 ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯}
62 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom ≀ ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
63 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴))
6462, 63sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
65 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴))
6662, 65sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
6766adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
68 brinxp 5753 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
6964, 67, 68syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
7069notbid 317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
7170rabbidva 3437 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
7261, 71eqtrid 2782 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
734, 11mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
7447adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ V)
75 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Proset )
76 inss1 4227 . . . . . . . . . . . 12 (dom ≀ ∩ 𝐴) βŠ† dom ≀
7776sseli 3977 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ dom ≀ )
7848ordtopn1 22918 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≀ ∈ V ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
794, 78mpan 686 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ dom ≀ β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
8079adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
8175, 77, 80syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
82 elrestr 17378 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8373, 74, 81, 82syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8472, 83eqeltrrd 2832 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8584fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}):(dom ≀ ∩ 𝐴)⟢((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8685frnd 6724 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
8760, 86eqsstrd 4019 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
88 rabeq 3444 . . . . . . . . 9 (dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom ≀ ∩ 𝐴) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
8945, 88syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
9045, 89mpteq12dv 5238 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))
9190rneqd 5936 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))
92 inrab2 4306 . . . . . . . . . 10 ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦}
93 brinxp 5753 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
9467, 64, 93syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
9594notbid 317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ (Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦 ↔ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
9695rabbidva 3437 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
9792, 96eqtrid 2782 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
9848ordtopn2 22919 . . . . . . . . . . . . 13 (( ≀ ∈ V ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
994, 98mpan 686 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ dom ≀ β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
10099adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Proset ∧ π‘₯ ∈ dom ≀ ) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
10175, 77, 100syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
102 elrestr 17378 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ {𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10373, 74, 101, 102syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom ≀ ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10497, 103eqeltrrd 2832 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
105104fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}):(dom ≀ ∩ 𝐴)⟢((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
106105frnd 6724 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom ≀ ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10791, 106eqsstrd 4019 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10887, 107unssd 4185 . . . 4 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
10956, 108unssd 4185 . . 3 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ ({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
110 tgfiss 22714 . . 3 ((((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ ({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
11119, 109, 110syl2anc 582 . 2 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom ( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
11210, 111eqsstrd 4019 1 ((𝐾 ∈ Proset ∧ 𝐴 βŠ† 𝐡) β†’ (ordTopβ€˜( ≀ ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  ficfi 9407  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  lecple 17208   β†Ύt crest 17370  topGenctg 17387  ordTopcordt 17449   Proset cproset 18250  Topctop 22615  TopOnctopon 22632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-ple 17221  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-proset 18252  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669
This theorem is referenced by:  ordtrest2NEW  33201
  Copyright terms: Public domain W3C validator