MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordpinq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordpinq 10938
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 13-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ordpinq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))

Proof of Theorem ordpinq
StepHypRef Expression
1 brinxp 5755 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <pQ ๐ต โ†” ๐ด( <pQ โˆฉ (Q ร— Q))๐ต))
2 df-ltnq 10913 . . . 4 <Q = ( <pQ โˆฉ (Q ร— Q))
32breqi 5155 . . 3 (๐ด <Q ๐ต โ†” ๐ด( <pQ โˆฉ (Q ร— Q))๐ต)
41, 3bitr4di 289 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <pQ ๐ต โ†” ๐ด <Q ๐ต))
5 relxp 5695 . . . . 5 Rel (N ร— N)
6 elpqn 10920 . . . . 5 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด โˆˆ (N ร— N))
7 1st2nd 8025 . . . . 5 ((Rel (N ร— N) โˆง ๐ด โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
85, 6, 7sylancr 588 . . . 4 (๐ด โˆˆ Q โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ)
9 elpqn 10920 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต โˆˆ (N ร— N))
10 1st2nd 8025 . . . . 5 ((Rel (N ร— N) โˆง ๐ต โˆˆ (N ร— N)) โ†’ ๐ต = โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ)
115, 9, 10sylancr 588 . . . 4 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต = โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ)
128, 11breqan12d 5165 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <pQ ๐ต โ†” โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ <pQ โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ))
13 ordpipq 10937 . . 3 (โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ <pQ โŸจ(1st โ€˜๐ต), (2nd โ€˜๐ต)โŸฉ โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด)))
1412, 13bitrdi 287 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <pQ ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
154, 14bitr3d 281 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทN (2nd โ€˜๐ต)) <N ((1st โ€˜๐ต) ยทN (2nd โ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆฉ cin 3948  โŸจcop 4635   class class class wbr 5149   ร— cxp 5675  Rel wrel 5682  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Ncnpi 10839   ยทN cmi 10841   <N clti 10842   <pQ cltpq 10845  Qcnq 10847   <Q cltq 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-omul 8471  df-ni 10867  df-mi 10869  df-lti 10870  df-ltpq 10905  df-nq 10907  df-ltnq 10913
This theorem is referenced by:  ltsonq  10964  lterpq  10965  ltanq  10966  ltmnq  10967  ltexnq  10970  archnq  10975
  Copyright terms: Public domain W3C validator