![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ordpinq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by NM, 13-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
ordpinq | โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด <Q ๐ต โ ((1st โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต)) <N ((1st โ๐ต) ยทN (2nd โ๐ด)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | brinxp 5755 | . . 3 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด <pQ ๐ต โ ๐ด( <pQ โฉ (Q ร Q))๐ต)) | |
2 | df-ltnq 10913 | . . . 4 โข <Q = ( <pQ โฉ (Q ร Q)) | |
3 | 2 | breqi 5155 | . . 3 โข (๐ด <Q ๐ต โ ๐ด( <pQ โฉ (Q ร Q))๐ต) |
4 | 1, 3 | bitr4di 289 | . 2 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด <pQ ๐ต โ ๐ด <Q ๐ต)) |
5 | relxp 5695 | . . . . 5 โข Rel (N ร N) | |
6 | elpqn 10920 | . . . . 5 โข (๐ด โ Q โ ๐ด โ (N ร N)) | |
7 | 1st2nd 8025 | . . . . 5 โข ((Rel (N ร N) โง ๐ด โ (N ร N)) โ ๐ด = โจ(1st โ๐ด), (2nd โ๐ด)โฉ) | |
8 | 5, 6, 7 | sylancr 588 | . . . 4 โข (๐ด โ Q โ ๐ด = โจ(1st โ๐ด), (2nd โ๐ด)โฉ) |
9 | elpqn 10920 | . . . . 5 โข (๐ต โ Q โ ๐ต โ (N ร N)) | |
10 | 1st2nd 8025 | . . . . 5 โข ((Rel (N ร N) โง ๐ต โ (N ร N)) โ ๐ต = โจ(1st โ๐ต), (2nd โ๐ต)โฉ) | |
11 | 5, 9, 10 | sylancr 588 | . . . 4 โข (๐ต โ Q โ ๐ต = โจ(1st โ๐ต), (2nd โ๐ต)โฉ) |
12 | 8, 11 | breqan12d 5165 | . . 3 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด <pQ ๐ต โ โจ(1st โ๐ด), (2nd โ๐ด)โฉ <pQ โจ(1st โ๐ต), (2nd โ๐ต)โฉ)) |
13 | ordpipq 10937 | . . 3 โข (โจ(1st โ๐ด), (2nd โ๐ด)โฉ <pQ โจ(1st โ๐ต), (2nd โ๐ต)โฉ โ ((1st โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต)) <N ((1st โ๐ต) ยทN (2nd โ๐ด))) | |
14 | 12, 13 | bitrdi 287 | . 2 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด <pQ ๐ต โ ((1st โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต)) <N ((1st โ๐ต) ยทN (2nd โ๐ด)))) |
15 | 4, 14 | bitr3d 281 | 1 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด <Q ๐ต โ ((1st โ๐ด) ยทN (2nd โ๐ต)) <N ((1st โ๐ต) ยทN (2nd โ๐ด)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โฉ cin 3948 โจcop 4635 class class class wbr 5149 ร cxp 5675 Rel wrel 5682 โcfv 6544 (class class class)co 7409 1st c1st 7973 2nd c2nd 7974 Ncnpi 10839 ยทN cmi 10841 <N clti 10842 <pQ cltpq 10845 Qcnq 10847 <Q cltq 10853 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pr 5428 ax-un 7725 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-fv 6552 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-omul 8471 df-ni 10867 df-mi 10869 df-lti 10870 df-ltpq 10905 df-nq 10907 df-ltnq 10913 |
This theorem is referenced by: ltsonq 10964 lterpq 10965 ltanq 10966 ltmnq 10967 ltexnq 10970 archnq 10975 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |