Theorem pwsleval 17457

Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsle.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o	⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
pwsleval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsleval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsleval.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsleval.b	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsleval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   ≤ (𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsleval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		pwsleval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		pwsle.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
4		pwsle.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		pwsle.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
6		pwsle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	3, 4, 5, 6	pwsle 17456	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
8	1, 2, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
9	8	breqd 5096	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
10		pwsleval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		pwsleval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		brinxp 5710	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	3, 14, 4, 1, 2, 10	pwselbas 17452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
17	3, 14, 4, 1, 2, 11	pwselbas 17452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
19		inidm 4167	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
20		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
21		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
22	16, 18, 10, 11, 19, 20, 21	ofrfvalg 7639	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))
23	9, 13, 22	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∩ cin 3888   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_r cofr 7630  Basecbs 17179  lecple 17227   ↑_s cpws 17409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-prds 17410  df-pws 17412

This theorem is referenced by: (None)