Theorem pwsleval 17204

Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsle.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o	⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
pwsleval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsleval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsleval.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsleval.b	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsleval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   ≤ (𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsleval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		pwsleval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		pwsle.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
4		pwsle.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		pwsle.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
6		pwsle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	3, 4, 5, 6	pwsle 17203	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
9	8	breqd 5085	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
10		pwsleval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		pwsleval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		brinxp 5665	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
14		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	3, 14, 4, 1, 2, 10	pwselbas 17200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
17	3, 14, 4, 1, 2, 11	pwselbas 17200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6601	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
19		inidm 4152	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
20		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
21		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
22	16, 18, 10, 11, 19, 20, 21	ofrfvalg 7541	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))
23	9, 13, 22	3bitr2d 307	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∩ cin 3886   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_r cofr 7532  Basecbs 16912  lecple 16969   ↑_s cpws 17157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-prds 17158  df-pws 17160

This theorem is referenced by: (None)