Theorem pwsleval 17585

Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsle.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o	⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
pwsleval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsleval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsleval.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsleval.b	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsleval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   ≤ (𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsleval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		pwsleval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		pwsle.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
4		pwsle.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		pwsle.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
6		pwsle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	3, 4, 5, 6	pwsle 17584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
9	8	breqd 5118	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
10		pwsleval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		pwsleval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		brinxp 5738	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
14		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	3, 14, 4, 1, 2, 10	pwselbas 17580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
17	3, 14, 4, 1, 2, 11	pwselbas 17580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
19		inidm 4175	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
20		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
21		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
22	16, 18, 10, 11, 19, 20, 21	ofrfvalg 7690	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))
23	9, 13, 22	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ∩ cin 3901   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_r cofr 7681  Basecbs 17307  lecple 17355   ↑_s cpws 17537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-prds 17538  df-pws 17540

This theorem is used by: (None)