MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsleval 16468
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsle.v 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l = (le‘𝑌)
pwsleval.r (𝜑𝑅𝑉)
pwsleval.i (𝜑𝐼𝑊)
pwsleval.a (𝜑𝐹𝐵)
pwsleval.b (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
pwsleval (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)𝑂(𝐺𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsleval
StepHypRef Expression
1 pwsleval.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑉)
2 pwsleval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
3 pwsle.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
4 pwsle.v . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 pwsle.o . . . . 5 𝑂 = (le‘𝑅)
6 pwsle.l . . . . 5 = (le‘𝑌)
73, 4, 5, 6pwsle 16467 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
81, 2, 7syl2anc 580 . . 3 (𝜑 = ( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
98breqd 4854 . 2 (𝜑 → (𝐹 𝐺𝐹( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
10 pwsleval.a . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
11 pwsleval.b . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
12 brinxp 5385 . . 3 ((𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹𝑟 𝑂𝐺𝐹( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
1310, 11, 12syl2anc 580 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑂𝐺𝐹( ∘𝑟 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
14 eqid 2799 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
153, 14, 4, 1, 2, 10pwselbas 16464 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1615ffnd 6257 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
173, 14, 4, 1, 2, 11pwselbas 16464 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
1817ffnd 6257 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
19 inidm 4018 . . 3 (𝐼𝐼) = 𝐼
20 eqidd 2800 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
21 eqidd 2800 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2216, 18, 2, 2, 19, 20, 21ofrfval 7139 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑂𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)𝑂(𝐺𝑥)))
239, 13, 223bitr2d 299 1 (𝜑 → (𝐹 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥)𝑂(𝐺𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  cin 3768   class class class wbr 4843   × cxp 5310  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑟 cofr 7130  Basecbs 16184  lecple 16274  s cpws 16422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-prds 16423  df-pws 16425
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator