Theorem pwsleval 17438

Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsle.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o	⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
pwsleval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsleval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsleval.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsleval.b	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsleval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   ≤ (𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsleval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		pwsleval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		pwsle.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
4		pwsle.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		pwsle.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
6		pwsle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	3, 4, 5, 6	pwsle 17437	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
9	8	breqd 5159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
10		pwsleval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		pwsleval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		brinxp 5754	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
14		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	3, 14, 4, 1, 2, 10	pwselbas 17434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
17	3, 14, 4, 1, 2, 11	pwselbas 17434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
19		inidm 4218	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
20		eqidd 2733	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
21		eqidd 2733	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
22	16, 18, 10, 11, 19, 20, 21	ofrfvalg 7677	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))
23	9, 13, 22	3bitr2d 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∩ cin 3947   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘_r cofr 7668  Basecbs 17143  lecple 17203   ↑_s cpws 17391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17392  df-pws 17394

This theorem is referenced by: (None)