Theorem pwsleval 17537

Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsle.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsle.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsle.o	⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
pwsle.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
pwsleval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsleval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsleval.a	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsleval.b	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsleval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑂   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   ≤ (𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwsleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsleval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		pwsleval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		pwsle.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
4		pwsle.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		pwsle.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (le‘𝑅)
6		pwsle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
7	3, 4, 5, 6	pwsle 17536	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
8	1, 2, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ≤ = ( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵)))
9	8	breqd 5116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
10		pwsleval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		pwsleval.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12		brinxp 5731	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
13	10, 11, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ 𝐹( ∘r 𝑂 ∩ (𝐵 × 𝐵))𝐺))
14		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	3, 14, 4, 1, 2, 10	pwselbas 17532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
16	15	ffnd 6696	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
17	3, 14, 4, 1, 2, 11	pwselbas 17532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
18	17	ffnd 6696	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
19		inidm 4181	. . 3 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
20		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
21		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
22	16, 18, 10, 11, 19, 20, 21	ofrfvalg 7672	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘r 𝑂𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))
23	9, 13, 22	3bitr2d 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≤ 𝐺 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥)𝑂(𝐺‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ∩ cin 3906   class class class wbr 5105   × cxp 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_r cofr 7663  Basecbs 17259  lecple 17307   ↑_s cpws 17489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-prds 17490  df-pws 17492

This theorem is referenced by: (None)