Theorem exfo 7103

Description: A relation equivalent to the existence of an onto mapping. The right-hand 𝑓 is not necessarily a function. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
exfo	⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem exfo

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 7101	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))
2		dff4 7099	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦))
3	2	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦)
4	3	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))
5	1, 4	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))
6	5	eximi 1837	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))
7		brinxp 5752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥𝑓𝑦 ↔ 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
8	7	reubidva 3392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
9	8	biimpd 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
10	9	ralimia 3080	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦)
11		inss2 4228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (𝐴 × 𝐵)
12	10, 11	jctil 520	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 → ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
13		dff4 7099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
14	12, 13	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴⟶𝐵)
15		rninxp 6175	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥)
16	15	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) = 𝐵)
17	14, 16	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴⟶𝐵 ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) = 𝐵))
18		dffo2 6806	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴–onto→𝐵 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴⟶𝐵 ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) = 𝐵))
19	17, 18	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴–onto→𝐵)
20		vex 3478	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
21	20	inex1 5316	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V
22		foeq1 6798	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) → (𝑔:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴–onto→𝐵))
23	21, 22	spcev 3596	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴–onto→𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴–onto→𝐵)
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑔 𝑔:𝐴–onto→𝐵)
25	24	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑔 𝑔:𝐴–onto→𝐵)
26		foeq1 6798	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:𝐴–onto→𝐵 ↔ 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
27	26	cbvexvw 2040	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔:𝐴–onto→𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
28	25, 27	sylib 217	. 2 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
29	6, 28	impbii 208	1 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3374   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   × cxp 5673  ran crn 5676  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-fv 6548

This theorem is referenced by: (None)