Theorem exfo 7047

Description: A relation equivalent to the existence of an onto mapping. The right-hand 𝑓 is not necessarily a function. (Contributed by NM, 20-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
exfo	⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦

Proof of Theorem exfo

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffo4 7045	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))
2		dff4 7043	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ (𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦))
3	2	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦)
4	3	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))
5	1, 4	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))
6	5	eximi 1836	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))
7		brinxp 5700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥𝑓𝑦 ↔ 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
8	7	reubidva 3362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ↔ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
9	8	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
10	9	ralimia 3068	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦)
11		inss2 4189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (𝐴 × 𝐵)
12	10, 11	jctil 519	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 → ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
13		dff4 7043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴⟶𝐵 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) ⊆ (𝐴 × 𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥(𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵))𝑦))
14	12, 13	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 → (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴⟶𝐵)
15		rninxp 6134	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) = 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥)
16	15	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥 → ran (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) = 𝐵)
17	14, 16	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴⟶𝐵 ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) = 𝐵))
18		dffo2 6747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴–onto→𝐵 ↔ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴⟶𝐵 ∧ ran (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) = 𝐵))
19	17, 18	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴–onto→𝐵)
20		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
21	20	inex1 5259	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) ∈ V
22		foeq1 6739	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)) → (𝑔:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴–onto→𝐵))
23	21, 22	spcev 3558	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∩ (𝐴 × 𝐵)):𝐴–onto→𝐵 → ∃𝑔 𝑔:𝐴–onto→𝐵)
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑔 𝑔:𝐴–onto→𝐵)
25	24	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑔 𝑔:𝐴–onto→𝐵)
26		foeq1 6739	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:𝐴–onto→𝐵 ↔ 𝑓:𝐴–onto→𝐵))
27	26	cbvexvw 2038	. . 3 ⊢ (∃𝑔 𝑔:𝐴–onto→𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
28	25, 27	sylib 218	. 2 ⊢ (∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
29	6, 28	impbii 209	1 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–onto→𝐵 ↔ ∃𝑓(∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝑥𝑓𝑦 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦𝑓𝑥))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  ∃!wreu 3346   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5095   × cxp 5619  ran crn 5622  ⟶wf 6485  –onto→wfo 6487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fo 6495  df-fv 6497

This theorem is referenced by: (None)