MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtrest 23061
Description: The subspace topology of an order topology is in general finer than the topology generated by the restricted order, but we do have inclusion in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtrest ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))

Proof of Theorem ordtrest
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inex1g 5312 . . . 4 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V)
21adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V)
3 eqid 2726 . . . 4 dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))
4 eqid 2726 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
5 eqid 2726 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
63, 4, 5ordtval 23048 . . 3 ((𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ V β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))))
72, 6syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))))
8 ordttop 23059 . . . 4 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top)
9 resttop 23019 . . . 4 (((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
108, 9sylan 579 . . 3 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) ∈ Top)
11 eqid 2726 . . . . . . . 8 dom 𝑅 = dom 𝑅
1211psssdm2 18546 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom 𝑅 ∩ 𝐴))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (dom 𝑅 ∩ 𝐴))
148adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top)
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
1611ordttopon 23052 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜dom 𝑅))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜dom 𝑅))
18 toponmax 22783 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜dom 𝑅) β†’ dom 𝑅 ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ dom 𝑅 ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
20 elrestr 17383 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ dom 𝑅 ∈ (ordTopβ€˜π‘…)) β†’ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
2114, 15, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
2213, 21eqeltrd 2827 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
2322snssd 4807 . . . 4 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
2413rabeqdv 3441 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
2513, 24mpteq12dv 5232 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = (π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}))
2625rneqd 5931 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) = ran (π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}))
27 inrab2 4302 . . . . . . . . . 10 ({𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ 𝑦𝑅π‘₯} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦𝑅π‘₯}
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴))
2928elin2d 4194 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴))
3130elin2d 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
33 brinxp 5747 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑦𝑅π‘₯ ↔ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
3429, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ (𝑦𝑅π‘₯ ↔ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
3534notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ (Β¬ 𝑦𝑅π‘₯ ↔ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯))
3635rabbidva 3433 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦𝑅π‘₯} = {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
3727, 36eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ 𝑦𝑅π‘₯} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯})
3814adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top)
3915adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
40 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ PosetRel)
41 elinel1 4190 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝑅)
4211ordtopn1 23053 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ 𝑦𝑅π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
4340, 41, 42syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ 𝑦𝑅π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
44 elrestr 17383 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ 𝑦𝑅π‘₯} ∈ (ordTopβ€˜π‘…)) β†’ ({𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ 𝑦𝑅π‘₯} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
4538, 39, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ 𝑦𝑅π‘₯} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
4637, 45eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯} ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
4746fmpttd 7110 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}):(dom 𝑅 ∩ 𝐴)⟢((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
4847frnd 6719 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
4926, 48eqsstrd 4015 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
5013rabeqdv 3441 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} = {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
5113, 50mpteq12dv 5232 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = (π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))
5251rneqd 5931 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) = ran (π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))
53 inrab2 4302 . . . . . . . . . 10 ({𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ π‘₯𝑅𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯𝑅𝑦}
54 brinxp 5747 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯𝑅𝑦 ↔ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
5532, 29, 54syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝑅𝑦 ↔ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
5655notbid 318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ (Β¬ π‘₯𝑅𝑦 ↔ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦))
5756rabbidva 3433 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯𝑅𝑦} = {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
5853, 57eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ π‘₯𝑅𝑦} ∩ 𝐴) = {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})
5911ordtopn2 23054 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ π‘₯𝑅𝑦} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
6040, 41, 59syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ π‘₯𝑅𝑦} ∈ (ordTopβ€˜π‘…))
61 elrestr 17383 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ π‘₯𝑅𝑦} ∈ (ordTopβ€˜π‘…)) β†’ ({𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ π‘₯𝑅𝑦} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
6238, 39, 60, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ ({𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ Β¬ π‘₯𝑅𝑦} ∩ 𝐴) ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
6358, 62eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴)) β†’ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦} ∈ ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
6463fmpttd 7110 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}):(dom 𝑅 ∩ 𝐴)⟢((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
6564frnd 6719 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘₯ ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ↦ {𝑦 ∈ (dom 𝑅 ∩ 𝐴) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
6652, 65eqsstrd 4015 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
6749, 66unssd 4181 . . . 4 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦})) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
6823, 67unssd 4181 . . 3 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ({dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
69 tgfiss 22849 . . 3 ((((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴) ∈ Top ∧ ({dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
7010, 68, 69syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))} βˆͺ (ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ 𝑦(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))π‘₯}) βˆͺ ran (π‘₯ ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ↦ {𝑦 ∈ dom (𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴)) ∣ Β¬ π‘₯(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))𝑦}))))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
717, 70eqsstrd 4015 1 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (ordTopβ€˜(𝑅 ∩ (𝐴 Γ— 𝐴))) βŠ† ((ordTopβ€˜π‘…) β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  ficfi 9407   β†Ύt crest 17375  topGenctg 17392  ordTopcordt 17454  PosetRelcps 18529  Topctop 22750  TopOnctopon 22767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-ordt 17456  df-ps 18531  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804
This theorem is referenced by:  ordtrest2  23063
  Copyright terms: Public domain W3C validator