Theorem chssoc 31885

Description: A closed subspace less than its orthocomplement is zero. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chssoc	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 = 0ℋ))

Proof of Theorem chssoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inidm 4182	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
2		sslin 4198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝐴 ∩ 𝐴) ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)))
3	1, 2	eqsstrrid 3979	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)))
4		chocin 31884	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0ℋ)
5	4	sseq2d 3972	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝐴 ⊆ 0ℋ))
6		chle0 31832	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ 0ℋ ↔ 𝐴 = 0ℋ))
7	5, 6	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝐴 = 0ℋ))
8	3, 7	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐴) → 𝐴 = 0ℋ))
9		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 = 0ℋ) → 𝐴 = 0ℋ)
10		choccl 31695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
11		ch0le 31830	. . . . . 6 ⊢ ((⊥‘𝐴) ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘𝐴))
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 0ℋ ⊆ (⊥‘𝐴))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 = 0ℋ) → 0ℋ ⊆ (⊥‘𝐴))
14	9, 13	eqsstrd 3974	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 = 0ℋ) → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐴))
15	14	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 = 0ℋ → 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐴)))
16	8, 15	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 = 0ℋ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543   C_ℋ cch 31318  ⊥cort 31319  0_ℋc0h 31324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198  ax-hilex 31388  ax-hfvadd 31389  ax-hvcom 31390  ax-hvass 31391  ax-hv0cl 31392  ax-hvaddid 31393  ax-hfvmul 31394  ax-hvmulid 31395  ax-hvmulass 31396  ax-hvdistr1 31397  ax-hvdistr2 31398  ax-hvmul0 31399  ax-hfi 31468  ax-his1 31471  ax-his2 31472  ax-his3 31473  ax-his4 31474  ax-hcompl 31591

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-lm 23423  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cau 25452  df-grpo 30882  df-gid 30883  df-ginv 30884  df-gdiv 30885  df-ablo 30934  df-vc 30948  df-nv 30981  df-va 30984  df-ba 30985  df-sm 30986  df-0v 30987  df-vs 30988  df-nmcv 30989  df-ims 30990  df-dip 31090  df-hnorm 31357  df-hvsub 31360  df-hlim 31361  df-hcau 31362  df-sh 31596  df-ch 31610  df-oc 31641  df-ch0 31642

This theorem is used by:  chirredlem1  32779  chirredi  32783