Theorem cnvrefrelcoss2 38573

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be a converse reflexive relation. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnvrefrelcoss2	⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ I )

Proof of Theorem cnvrefrelcoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 38459	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝑅
2		dfcnvrefrel2 38566	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
4		cossssid 38503	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
5	3, 4	bitr4i 278	1 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   I cid 5510   × cxp 5614  dom cdm 5616  ran crn 5617  Rel wrel 5621   ≀ ccoss 38214   CnvRefRel wcnvrefrel 38223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2160  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-coss 38447  df-cnvrefrel 38563

This theorem is referenced by:  dffunALTV2  38725  funALTVfun  38735  dfdisjALTV2  38751