Theorem cnvrefrelcoss2 39294

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be a converse reflexive relation. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnvrefrelcoss2	⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ I )

Proof of Theorem cnvrefrelcoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 39190	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝑅
2		dfcnvrefrel2 39287	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbiran2 722	. 2 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
4		cossssid 39234	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
5	3, 4	bitr4i 281	1 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ I )

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   I cid 5554   × cxp 5658  dom cdm 5660  ran crn 5661  Rel wrel 5665   ≀ ccoss 38860   CnvRefRel wcnvrefrel 38869

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-11 2191  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-coss 39178  df-cnvrefrel 39284

This theorem is used by:  dffunALTV2  39450  funALTVfun  39460  dfdisjALTV2  39476