Theorem cnvrefrelcoss2 38535

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be a converse reflexive relation. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnvrefrelcoss2	⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ I )

Proof of Theorem cnvrefrelcoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 38421	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝑅
2		dfcnvrefrel2 38528	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
4		cossssid 38465	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
5	3, 4	bitr4i 278	1 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   I cid 5535   × cxp 5639  dom cdm 5641  ran crn 5642  Rel wrel 5646   ≀ ccoss 38176   CnvRefRel wcnvrefrel 38185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-coss 38409  df-cnvrefrel 38525

This theorem is referenced by:  dffunALTV2  38687  funALTVfun  38697  dfdisjALTV2  38713