Theorem cnvrefrelcoss2 36693

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be a converse reflexive relation. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cnvrefrelcoss2	⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ I )

Proof of Theorem cnvrefrelcoss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcoss 36588	. . 3 ⊢ Rel ≀ 𝑅
2		dfcnvrefrel2 36688	. . 3 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbiran2 708	. 2 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
4		cossssid 36627	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
5	3, 4	bitr4i 278	1 ⊢ ( CnvRefRel ≀ 𝑅 ↔ ≀ 𝑅 ⊆ I )

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892   I cid 5499   × cxp 5598  dom cdm 5600  ran crn 5601  Rel wrel 5605   ≀ ccoss 36377   CnvRefRel wcnvrefrel 36386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-coss 36579  df-cnvrefrel 36685

This theorem is referenced by:  dffunALTV2  36841  funALTVfun  36851  dfdisjALTV2  36867