Theorem cosselcnvrefrels2 39368

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be an element of the converse reflexive relation class. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselcnvrefrels2	⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem cosselcnvrefrels2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnvrefrels2 39364	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cossssid 39307	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
3	2	anbi1i 636	. 2 ⊢ (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
4	1, 3	bitr4i 281	1 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   I cid 5553   × cxp 5657  dom cdm 5659  ran crn 5660   ≀ ccoss 38933   Rels crels 38935   CnvRefRels ccnvrefrels 38941

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-rels 39190  df-coss 39251  df-ssr 39328  df-cnvrefs 39355  df-cnvrefrels 39356

This theorem is used by:  cosselcnvrefrels3  39369  cosselcnvrefrels4  39370  cosselcnvrefrels5  39371  dffunsALTV2  39519  elfunsALTV2  39528  dfdisjs2  39544  eldisjs2  39570