Theorem cosselcnvrefrels2 38961

Description: Necessary and sufficient condition for a coset relation to be an element of the converse reflexive relation class. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cosselcnvrefrels2	⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Proof of Theorem cosselcnvrefrels2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnvrefrels2 38957	. 2 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
2		cossssid 38900	. . 3 ⊢ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ↔ ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)))
3	2	anbi1i 625	. 2 ⊢ (( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ) ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ ( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))
4	1, 3	bitr4i 278	1 ⊢ ( ≀ 𝑅 ∈ CnvRefRels ↔ ( ≀ 𝑅 ⊆ I ∧ ≀ 𝑅 ∈ Rels ))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   I cid 5522   × cxp 5626  dom cdm 5628  ran crn 5629   ≀ ccoss 38526   Rels crels 38528   CnvRefRels ccnvrefrels 38534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-rels 38783  df-coss 38844  df-ssr 38921  df-cnvrefs 38948  df-cnvrefrels 38949

This theorem is referenced by:  cosselcnvrefrels3  38962  cosselcnvrefrels4  38963  cosselcnvrefrels5  38964  dffunsALTV2  39112  elfunsALTV2  39121  dfdisjs2  39137  eldisjs2  39163