Theorem cpmidpmatlem1 22812

Description: Lemma 1 for cpmidpmat 22815. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmatlem1	⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝐿) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑂   ∗ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   ↑ (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6832	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝐿))
2	1	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂))
3		cpmidpmat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
4		ovex 7389	. 2 ⊢ (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6939	1 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝐿) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℕ₀cn0 12399  Basecbs 17134   ·_𝑠 cvsca 17179  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20073  1_rcur 20114  algSccascl 21805  var₁cv1 22114  Poly₁cpl1 22115  coe₁cco1 22116   Mat cmat 22349   matToPolyMat cmat2pmat 22646   CharPlyMat cchpmat 22768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7359

This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22815