MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmidpmatlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmidpmatlem1 22242
Description: Lemma 1 for cpmidpmat 22245. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmidgsum.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cpmidgsum.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
cpmidgsum.y π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
cpmidgsum.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
cpmidgsum.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
cpmidgsum.1 1 = (1rβ€˜π‘Œ)
cpmidgsum.u π‘ˆ = (algScβ€˜π‘ƒ)
cpmidgsum.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k 𝐾 = (πΆβ€˜π‘€)
cpmidgsum.h 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o 𝑂 = (1rβ€˜π΄)
cpmidgsumm2pm.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
cpmidgsumm2pm.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g 𝐺 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘˜) βˆ— 𝑂))
Assertion
Ref Expression
cpmidpmatlem1 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜πΏ) = (((coe1β€˜πΎ)β€˜πΏ) βˆ— 𝑂))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘˜,𝐻   π‘˜,𝑁   𝑃,π‘˜   𝑅,π‘˜   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   π‘˜,𝑂   βˆ— ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝐢(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   Β· (π‘˜)   π‘ˆ(π‘˜)   1 (π‘˜)   ↑ (π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑀(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem cpmidpmatlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . 3 (π‘˜ = 𝐿 β†’ ((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘˜) = ((coe1β€˜πΎ)β€˜πΏ))
21oveq1d 7376 . 2 (π‘˜ = 𝐿 β†’ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘˜) βˆ— 𝑂) = (((coe1β€˜πΎ)β€˜πΏ) βˆ— 𝑂))
3 cpmidpmat.g . 2 𝐺 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘˜) βˆ— 𝑂))
4 ovex 7394 . 2 (((coe1β€˜πΎ)β€˜πΏ) βˆ— 𝑂) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6952 1 (𝐿 ∈ β„•0 β†’ (πΊβ€˜πΏ) = (((coe1β€˜πΎ)β€˜πΏ) βˆ— 𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091   ·𝑠 cvsca 17145  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  algSccascl 21281  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572   Mat cmat 21777   matToPolyMat cmat2pmat 22076   CharPlyMat cchpmat 22198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7364
This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22245
  Copyright terms: Public domain W3C validator