Theorem cpmidpmatlem1 23215

Description: Lemma 1 for cpmidpmat 23218. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmatlem1	⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝐿) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑂   ∗ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   ↑ (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6905	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝐿))
2	1	oveq1d 7455	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂))
3		cpmidpmat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
4		ovex 7473	. 2 ⊢ (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 7013	1 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝐿) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413   ·_𝑠 cvsca 17458  ._gcmg 19303  mulGrpcmgp 20387  1_rcur 20434  algSccascl 22187  var₁cv1 22521  Poly₁cpl1 22522  coe₁cco1 22523   Mat cmat 22749   matToPolyMat cmat2pmat 23049   CharPlyMat cchpmat 23171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fv 6563  df-ov 7443

This theorem is used by:  cpmidpmat  23218