Theorem cpmidpmatlem1 22372

Description: Lemma 1 for cpmidpmat 22375. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidpmat.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmatlem1	⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝐿) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐻   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑌   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑂   ∗ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   · (𝑘)   𝑈(𝑘)   1 (𝑘)   ↑ (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem cpmidpmatlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6892	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝐿))
2	1	oveq1d 7424	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝐿 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂))
3		cpmidpmat.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
4		ovex 7442	. 2 ⊢ (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6999	1 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝐿) = (((coe1‘𝐾)‘𝐿) ∗ 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℕ₀cn0 12472  Basecbs 17144   ·_𝑠 cvsca 17201  ._gcmg 18950  mulGrpcmgp 19987  1_rcur 20004  algSccascl 21407  var₁cv1 21700  Poly₁cpl1 21701  coe₁cco1 21702   Mat cmat 21907   matToPolyMat cmat2pmat 22206   CharPlyMat cchpmat 22328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412

This theorem is referenced by:  cpmidpmat  22375