Theorem cpmidpmat 22222

Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as polynomial over the ring of matrices. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidgsum.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
cpmidpmat.p	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
cpmidpmat.z	⊢ 𝑍 = (var1‘𝐴)
cpmidpmat.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
cpmidpmat.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
cpmidpmat.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐻) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐻   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   ↑ ,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝐼   𝑛,𝑂   𝑇,𝑛   𝑛,𝑊   ∗ ,𝑛   · ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑄(𝑛)   ∙ (𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem cpmidpmat

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidgsum.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmidgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmidgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmidgsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmidgsum.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		cpmidgsum.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		cpmidgsum.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		cpmidgsum.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9		cpmidgsum.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
10		cpmidgsum.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
11		cpmidgsum.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
12		cpmidgsum.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
13		cpmidgsumm2pm.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
14		cpmidgsumm2pm.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		cpmidgsumm2pm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	cpmidgsumm2pm 22218	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))))
17	16	fveq2d 6846	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐻) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))))
18		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18	cpmidpmatlem1 22219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))
20	19	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))
21	20	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))
22	21	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)) = (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))
23	22	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))) = ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))))
24	23	mpteq2dva 5205	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))
25	24	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))))))
26	25	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))))
27		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18	cpmidpmatlem2 22220	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18	cpmidpmatlem3 22221	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))
30		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝑥))
31	30	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))
32	31	cbvmptv 5218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))
33	32	eleq1i 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
34	32	breq1i 5112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))
35	33, 34	anbi12i 627	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴)) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴)))
36		cpmidgsum.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
37		cpmidpmat.m	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
38		cpmidpmat.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
39		cpmidpmat.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (var1‘𝐴)
40		cpmidpmat.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
41		cpmidpmat.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
42	3, 4, 36, 37, 38, 39, 1, 2, 40, 41, 6, 5, 7, 15	pm2mp 22174	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
43	35, 42	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
44	27, 28, 29, 43	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
45	32	fveq1i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)
46	45	fveq2i 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)) = (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛))
47	46	oveq2i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))
48	47	mpteq2i 5210	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛))))
49	48	oveq2i 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))
50	49	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛))))))
51	45	oveq1i 7367	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍))
52	51	mpteq2i 5210	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))
53	52	oveq2i 7368	. . . 4 ⊢ (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍))))
54	44, 50, 53	3eqtr4g 2801	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
55	26, 54	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
56	19	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))
57	56	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)) = ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))
58	57	mpteq2dva 5205	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍))))
59	58	oveq2d 7373	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
60	17, 55, 59	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐻) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  ._gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  1_rcur 19913  CRingccrg 19965  algSccascl 21258  var₁cv1 21547  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549   Mat cmat 21754   matToPolyMat cmat2pmat 22053   pMatToMatPoly cpm2mp 22141   CharPlyMat cchpmat 22175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-assa 21259  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mdet 21934  df-mat2pmat 22056  df-decpmat 22112  df-pm2mp 22142  df-chpmat 22176

This theorem is referenced by:  chcoeffeq  22235