Theorem cpmidpmat 21480

Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as polynomial over the ring of matrices. (Contributed by AV, 14-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmidgsum.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
cpmidpmat.p	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
cpmidpmat.z	⊢ 𝑍 = (var1‘𝐴)
cpmidpmat.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
cpmidpmat.e	⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
cpmidpmat.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpmidpmat	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐻) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐻   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   ↑ ,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝐼   𝑛,𝑂   𝑇,𝑛   𝑛,𝑊   ∗ ,𝑛   · ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑄(𝑛)   ∙ (𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem cpmidpmat

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidgsum.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmidgsum.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmidgsum.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmidgsum.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmidgsum.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		cpmidgsum.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		cpmidgsum.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		cpmidgsum.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9		cpmidgsum.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
10		cpmidgsum.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
11		cpmidgsum.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
12		cpmidgsum.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
13		cpmidgsumm2pm.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
14		cpmidgsumm2pm.m	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		cpmidgsumm2pm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	cpmidgsumm2pm 21476	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))))
17	16	fveq2d 6673	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐻) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))))
18		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18	cpmidpmatlem1 21477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))
20	19	eqcomd 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))
21	20	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))
22	21	fveq2d 6673	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)) = (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))
23	22	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))) = ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))))
24	23	mpteq2dva 5160	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))
25	24	oveq2d 7171	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))))))
26	25	fveq2d 6673	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))))
27		3simpa 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18	cpmidpmatlem2 21478	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18	cpmidpmatlem3 21479	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))
30		fveq2 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → ((coe1‘𝐾)‘𝑘) = ((coe1‘𝐾)‘𝑥))
31	30	oveq1d 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂) = (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))
32	31	cbvmptv 5168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))
33	32	eleq1i 2903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
34	32	breq1i 5072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))
35	33, 34	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴)) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴)))
36		cpmidgsum.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
37		cpmidpmat.m	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
38		cpmidpmat.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
39		cpmidpmat.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (var1‘𝐴)
40		cpmidpmat.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
41		cpmidpmat.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
42	3, 4, 36, 37, 38, 39, 1, 2, 40, 41, 6, 5, 7, 15	pm2mp 21432	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
43	35, 42	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂)) finSupp (0g‘𝐴))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
44	27, 28, 29, 43	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
45	32	fveq1i 6670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)
46	45	fveq2i 6672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)) = (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛))
47	46	oveq2i 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))
48	47	mpteq2i 5157	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛))))
49	48	oveq2i 7166	. . . . 5 ⊢ (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛))))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))
50	49	fveq2i 6672	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛))))))
51	45	oveq1i 7165	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)) = (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍))
52	51	mpteq2i 5157	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))
53	52	oveq2i 7166	. . . 4 ⊢ (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑥) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍))))
54	44, 50, 53	3eqtr4g 2881	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
55	26, 54	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
56	19	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))
57	56	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)) = ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))
58	57	mpteq2dva 5160	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍))))
59	58	oveq2d 7171	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑘) ∗ 𝑂))‘𝑛) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))
60	17, 55, 59	3eqtrd 2860	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐻) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂) ∙ (𝑛𝐸𝑍)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ↑_m cmap 8405  Fincfn 8508   finSupp cfsupp 8832  ℕ₀cn0 11896  Basecbs 16482   ·_𝑠 cvsca 16568  0_gc0g 16712   Σ_g cgsu 16713  ._gcmg 18223  mulGrpcmgp 19238  1_rcur 19250  CRingccrg 19297  algSccascl 20083  var₁cv1 20343  Poly₁cpl1 20344  coe₁cco1 20345   Mat cmat 21015   matToPolyMat cmat2pmat 21311   pMatToMatPoly cpm2mp 21399   CharPlyMat cchpmat 21433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-xor 1501  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-tpos 7891  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13914  df-concat 13922  df-s1 13949  df-substr 14002  df-pfx 14032  df-splice 14111  df-reverse 14120  df-s2 14209  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-efmnd 18033  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-gim 18398  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-symg 18495  df-pmtr 18569  df-psgn 18618  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-srg 19255  df-ring 19298  df-cring 19299  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19503  df-subrg 19532  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-sra 19943  df-rgmod 19944  df-assa 20084  df-ascl 20086  df-psr 20135  df-mvr 20136  df-mpl 20137  df-opsr 20139  df-psr1 20347  df-vr1 20348  df-ply1 20349  df-coe1 20350  df-cnfld 20545  df-zring 20617  df-zrh 20650  df-dsmm 20875  df-frlm 20890  df-mamu 20994  df-mat 21016  df-mdet 21193  df-mat2pmat 21314  df-decpmat 21370  df-pm2mp 21400  df-chpmat 21434

This theorem is referenced by:  chcoeffeq  21493