Theorem cpmidgsumm2pm 23220

Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum with a matrix to polynomial matrix transformation. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpmidgsumm2pm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐻   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   ↑ ,𝑛   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑇(𝑛)   · (𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   ∗ (𝑛)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem cpmidgsumm2pm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidgsum.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmidgsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmidgsum.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmidgsum.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmidgsum.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		cpmidgsum.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		cpmidgsum.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		cpmidgsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9		cpmidgsum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
10		cpmidgsum.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
11		cpmidgsum.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
12		cpmidgsum.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cpmidgsum 23219	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))
14		3simpa 1166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
16		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	10, 1, 2, 3, 16	chpmatply1 23183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
18	11, 17	eqeltrid 2868	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
19		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
20		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	19, 16, 3, 20	coe1fvalcl 22563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 21	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
23		crngring 20505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	anim2i 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
25	1	matring 22791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
26		cpmidgsumm2pm.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
27	2, 26	ringidcl 20527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
28	24, 25, 27	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂 ∈ 𝐵)
29	28	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑂 ∈ 𝐵)
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑂 ∈ 𝐵)
31		cpmidgsumm2pm.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
32		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
33		cpmidgsumm2pm.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
34	31, 1, 2, 3, 4, 32, 20, 9, 33, 7	mat2pmatlin 23086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑂 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)) = ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · (𝑇‘𝑂)))
35	15, 22, 30, 34	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)) = ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · (𝑇‘𝑂)))
36	31, 1, 2, 3, 4, 32	mat2pmatrhm 23085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑌))
37	26, 8	rhm1 20757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑌) → (𝑇‘𝑂) = 1 )
38	14, 36, 37	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑂) = 1 )
39	38	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘𝑂) = 1 )
40	39	oveq2d 7462	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · (𝑇‘𝑂)) = ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 ))
41	35, 40	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 ) = (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))
42	41	oveq2d 7462	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )) = ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))
43	42	mpteq2dva 5202	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 ))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))
44	43	oveq2d 7462	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))))
45	13, 44	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  ℕ₀cn0 12636  Basecbs 17419   ·_𝑠 cvsca 17464   Σ_g cgsu 17643  ._gcmg 19309  mulGrpcmgp 20393  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  CRingccrg 20493   RingHom crh 20732  algSccascl 22193  var₁cv1 22527  Poly₁cpl1 22528  coe₁cco1 22529   Mat cmat 22755   matToPolyMat cmat2pmat 23055   CharPlyMat cchpmat 23177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-word 14689  df-lsw 14738  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-splice 14930  df-reverse 14939  df-s2 15030  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-efmnd 19097  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-gim 19505  df-cntz 19564  df-oppg 19593  df-symg 19617  df-pmtr 19689  df-psgn 19738  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-srg 20446  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-cnfld 21712  df-zring 21786  df-zrh 21842  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-assa 22194  df-ascl 22196  df-psr 22250  df-mvr 22251  df-mpl 22252  df-opsr 22254  df-psr1 22531  df-vr1 22532  df-ply1 22533  df-coe1 22534  df-mamu 22739  df-mat 22756  df-mdet 22933  df-mat2pmat 23058  df-decpmat 23114  df-chpmat 23178

This theorem is used by:  cpmidpmat  23224