Theorem cpmidgsumm2pm 23063

Description: Representation of the identity matrix multiplied with the characteristic polynomial of a matrix as group sum with a matrix to polynomial matrix transformation. (Contributed by AV, 13-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmidgsum.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmidgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmidgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmidgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmidgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
cpmidgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
cpmidgsum.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmidgsum.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmidgsum.u	⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
cpmidgsum.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
cpmidgsum.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
cpmidgsum.h	⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
cpmidgsumm2pm.o	⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
cpmidgsumm2pm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpmidgsumm2pm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐻   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   ↑ ,𝑛   𝑛,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑇(𝑛)   · (𝑛)   𝑈(𝑛)   1 (𝑛)   ∗ (𝑛)   𝑂(𝑛)

Proof of Theorem cpmidgsumm2pm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmidgsum.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmidgsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmidgsum.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmidgsum.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmidgsum.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		cpmidgsum.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
7		cpmidgsum.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
8		cpmidgsum.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
9		cpmidgsum.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (algSc‘𝑃)
10		cpmidgsum.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
11		cpmidgsum.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
12		cpmidgsum.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐾 · 1 )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cpmidgsum 23062	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))))
14		3simpa 1166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
16		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
17	10, 1, 2, 3, 16	chpmatply1 23026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
18	11, 17	eqeltrid 2870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
19		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
20		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	19, 16, 3, 20	coe1fvalcl 22409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
22	18, 21	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
23		crngring 20358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	anim2i 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
25	1	matring 22637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
26		cpmidgsumm2pm.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (1r‘𝐴)
27	2, 26	ringidcl 20380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑂 ∈ 𝐵)
28	24, 25, 27	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑂 ∈ 𝐵)
29	28	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑂 ∈ 𝐵)
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑂 ∈ 𝐵)
31		cpmidgsumm2pm.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
32		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
33		cpmidgsumm2pm.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
34	31, 1, 2, 3, 4, 32, 20, 9, 33, 7	mat2pmatlin 22929	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑂 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)) = ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · (𝑇‘𝑂)))
35	15, 22, 30, 34	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)) = ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · (𝑇‘𝑂)))
36	31, 1, 2, 3, 4, 32	mat2pmatrhm 22928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑌))
37	26, 8	rhm1 20609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (𝐴 RingHom 𝑌) → (𝑇‘𝑂) = 1 )
38	14, 36, 37	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑂) = 1 )
39	38	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘𝑂) = 1 )
40	39	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · (𝑇‘𝑂)) = ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 ))
41	35, 40	eqtr2d 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 ) = (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))
42	41	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )) = ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))
43	42	mpteq2dva 5209	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 ))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂)))))
44	43	oveq2d 7439	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · ((𝑈‘((coe1‘𝐾)‘𝑛)) · 1 )))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))))
45	13, 44	eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐻 = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) · (𝑇‘(((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 𝑂))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294   ·_𝑠 cvsca 17339   Σ_g cgsu 17518  ._gcmg 19164  mulGrpcmgp 20247  1_rcur 20294  Ringcrg 20346  CRingccrg 20347   RingHom crh 20584  algSccascl 22039  var₁cv1 22373  Poly₁cpl1 22374  coe₁cco1 22375   Mat cmat 22601   matToPolyMat cmat2pmat 22898   CharPlyMat cchpmat 23020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-word 14571  df-lsw 14620  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-pfx 14733  df-splice 14811  df-reverse 14820  df-s2 14911  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-efmnd 18959  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-gim 19360  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-symg 19471  df-pmtr 19543  df-psgn 19592  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-srg 20300  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-rhm 20587  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-cnfld 21560  df-zring 21634  df-zrh 21690  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-assa 22040  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-vr1 22378  df-ply1 22379  df-coe1 22380  df-mamu 22585  df-mat 22602  df-mdet 22779  df-mat2pmat 22901  df-decpmat 22957  df-chpmat 23021

This theorem is used by:  cpmidpmat  23067