Theorem dfdisjALTV3 38733

Description: Alternate definition of the disjoint relation predicate, cf. dffunALTV3 38707. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfdisjALTV3	⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ Rel 𝑅))

Distinct variable group:   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfdisjALTV3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdisjALTV2 38732	. 2 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅))
2		cosscnvssid3 38494	. . 3 ⊢ ( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
3	2	anbi1i 624	. 2 ⊢ (( ≀ ◡𝑅 ⊆ I ∧ Rel 𝑅) ↔ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ Rel 𝑅))
4	1, 3	bitri 275	1 ⊢ ( Disj 𝑅 ↔ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ Rel 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   I cid 5547  ^◡ccnv 5653  Rel wrel 5659   ≀ ccoss 38199   Disj wdisjALTV 38233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-coss 38429  df-cnvrefrel 38545  df-disjALTV 38723

This theorem is referenced by:  dfeldisj3  38737