Theorem disjss 38716

Description: Subclass theorem for disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Oct-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( Disj 𝐵 → Disj 𝐴))

Proof of Theorem disjss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5844	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		funALTVss 38684	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → ( FunALTV ◡𝐵 → FunALTV ◡𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( FunALTV ◡𝐵 → FunALTV ◡𝐴))
4		relss 5752	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (Rel 𝐵 → Rel 𝐴))
5	3, 4	anim12d 609	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (( FunALTV ◡𝐵 ∧ Rel 𝐵) → ( FunALTV ◡𝐴 ∧ Rel 𝐴)))
6		dfdisjALTV 38698	. 2 ⊢ ( Disj 𝐵 ↔ ( FunALTV ◡𝐵 ∧ Rel 𝐵))
7		dfdisjALTV 38698	. 2 ⊢ ( Disj 𝐴 ↔ ( FunALTV ◡𝐴 ∧ Rel 𝐴))
8	5, 6, 7	3imtr4g 296	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( Disj 𝐵 → Disj 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3922  ^◡ccnv 5645  Rel wrel 5651   FunALTV wfunALTV 38197   Disj wdisjALTV 38200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-br 5116  df-opab 5178  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-coss 38396  df-cnvrefrel 38512  df-funALTV 38667  df-disjALTV 38690

This theorem is referenced by:  disjssi  38717  disjssd  38718