Theorem disjss 38929

Description: Subclass theorem for disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Oct-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( Disj 𝐵 → Disj 𝐴))

Proof of Theorem disjss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5819	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		funALTVss 38897	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → ( FunALTV ◡𝐵 → FunALTV ◡𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( FunALTV ◡𝐵 → FunALTV ◡𝐴))
4		relss 5729	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (Rel 𝐵 → Rel 𝐴))
5	3, 4	anim12d 609	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (( FunALTV ◡𝐵 ∧ Rel 𝐵) → ( FunALTV ◡𝐴 ∧ Rel 𝐴)))
6		dfdisjALTV 38911	. 2 ⊢ ( Disj 𝐵 ↔ ( FunALTV ◡𝐵 ∧ Rel 𝐵))
7		dfdisjALTV 38911	. 2 ⊢ ( Disj 𝐴 ↔ ( FunALTV ◡𝐴 ∧ Rel 𝐴))
8	5, 6, 7	3imtr4g 296	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( Disj 𝐵 → Disj 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5621  Rel wrel 5627   FunALTV wfunALTV 38353   Disj wdisjALTV 38356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-11 2162  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-coss 38613  df-cnvrefrel 38719  df-funALTV 38880  df-disjALTV 38903

This theorem is referenced by:  disjssi  38930  disjssd  38931