Theorem disjss 37596

Description: Subclass theorem for disjoints. (Contributed by Peter Mazsa, 28-Oct-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
disjss	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( Disj 𝐵 → Disj 𝐴))

Proof of Theorem disjss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 5872	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ◡𝐴 ⊆ ◡𝐵)
2		funALTVss 37564	. . . 4 ⊢ (◡𝐴 ⊆ ◡𝐵 → ( FunALTV ◡𝐵 → FunALTV ◡𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( FunALTV ◡𝐵 → FunALTV ◡𝐴))
4		relss 5781	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (Rel 𝐵 → Rel 𝐴))
5	3, 4	anim12d 609	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (( FunALTV ◡𝐵 ∧ Rel 𝐵) → ( FunALTV ◡𝐴 ∧ Rel 𝐴)))
6		dfdisjALTV 37578	. 2 ⊢ ( Disj 𝐵 ↔ ( FunALTV ◡𝐵 ∧ Rel 𝐵))
7		dfdisjALTV 37578	. 2 ⊢ ( Disj 𝐴 ↔ ( FunALTV ◡𝐴 ∧ Rel 𝐴))
8	5, 6, 7	3imtr4g 295	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ( Disj 𝐵 → Disj 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ⊆ wss 3948  ^◡ccnv 5675  Rel wrel 5681   FunALTV wfunALTV 37069   Disj wdisjALTV 37072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-coss 37276  df-cnvrefrel 37392  df-funALTV 37547  df-disjALTV 37570

This theorem is referenced by:  disjssi  37597  disjssd  37598