Theorem dmmptdf2 45205

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptdf2.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dmmptdf2.b	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
dmmptdf2.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptdf2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptdf2	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem dmmptdf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptdf2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	dmmpt 6268	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
3		dmmptdf2.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
4		dmmptdf2.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5	4	elexd 3505	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
6	3, 5	ralrimia 3258	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
7		dmmptdf2.b	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
8	7	rabid2f 3469	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
9	6, 8	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
10	2, 9	eqtr4id 2796	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3481   ↦ cmpt 5234  dom cdm 5693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706

This theorem is referenced by:  smfpimltxrmptf  46742  smfpimgtxrmptf  46768