Theorem smfpimltxrmptf 46802

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimltxrmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimltxrmptf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
smfpimltxrmptf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxrmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
smfpimltxrmptf.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxrmptf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimltxrmptf	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxrmptf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5190	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	nfdm 5891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅
5		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
6	1, 5	nffv 6832	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
7		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 <
8		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
9	6, 7, 8	nfbr 5138	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅
10		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
11	10	breq1d 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅))
12	2, 3, 4, 9, 11	cbvrabw 3430	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅}
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅})
14		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
15		smfpimltxrmptf.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
16		smfpimltxrmptf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
18		smfpimltxrmptf.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
19	14, 15, 16, 17, 18	smfpimltxr 46791	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
20	13, 19	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21		smfpimltxrmptf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
22		smfpimltxrmptf.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
23		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
24		smfpimltxrmptf.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
25	21, 22, 23, 24	dmmptdf2 45276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
26	2, 22	rabeqf 3429	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
29	22	fvmpt2f 6930	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
30	28, 24, 29	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
31	30	breq1d 5101	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅 ↔ 𝐵 < 𝑅))
32	21, 31	rabbida 3421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
33		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
34	27, 32, 33	3eqtrrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} = {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
35	25	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
36	35	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
37	34, 36	eleq12d 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
38	20, 37	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  {crab 3395   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ↾_t crest 17324  SAlgcsalg 46352  SMblFncsmblfn 46739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-rest 17326  df-salg 46353  df-smblfn 46740

This theorem is referenced by:  smfpimltxrmpt  46803  smfdmmblpimne  46881