Theorem smfpimltxrmptf 48041

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimltxrmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimltxrmptf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
smfpimltxrmptf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxrmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
smfpimltxrmptf.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxrmptf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimltxrmptf	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxrmptf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5210	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	nfdm 5945	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅
5		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
6	1, 5	nffv 6926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
7		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 <
8		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑅
9	6, 7, 8	nfbr 5158	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅
10		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
11	10	breq1d 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅))
12	2, 3, 4, 9, 11	cbvrabw 3450	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅}
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅})
14		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
15		smfpimltxrmptf.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
16		smfpimltxrmptf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
18		smfpimltxrmptf.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
19	14, 15, 16, 17, 18	smfpimltxr 48030	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
20	13, 19	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21		smfpimltxrmptf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
22		smfpimltxrmptf.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
23		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
24		smfpimltxrmptf.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
25	21, 22, 23, 24	dmmptdf2 46518	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
26	2, 22	rabeqf 3449	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
27	25, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
28		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
29	22	fvmpt2f 7025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
30	28, 24, 29	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
31	30	breq1d 5118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅 ↔ 𝐵 < 𝑅))
32	21, 31	rabbida 3441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
33		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅})
34	27, 32, 33	3eqtrrd 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} = {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅})
35	25	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
36	35	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
37	34, 36	eleq12d 2858	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
38	20, 37	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 < 𝑅} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  {crab 3416   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ↾_t crest 17641  SAlgcsalg 47591  SMblFncsmblfn 47978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cc 10552  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-rest 17643  df-salg 47592  df-smblfn 47979

This theorem is used by:  smfpimltxrmpt  48042  smfdmmblpimne  48120