Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxrmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxrmptf 44995
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxrmptf.x 𝑥𝜑
smfpimgtxrmptf.1 𝑥𝐴
smfpimgtxrmptf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxrmptf.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfpimgtxrmptf.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxrmptf.l (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxrmptf (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐿
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxrmptf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5212 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
21nfdm 5905 . . . . 5 𝑥dom (𝑥𝐴𝐵)
3 nfcv 2906 . . . . 5 𝑦dom (𝑥𝐴𝐵)
4 nfv 1917 . . . . 5 𝑦 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
5 nfcv 2906 . . . . . 6 𝑥𝐿
6 nfcv 2906 . . . . . 6 𝑥 <
7 nfcv 2906 . . . . . . 7 𝑥𝑦
81, 7nffv 6850 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
95, 6, 8nfbr 5151 . . . . 5 𝑥 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
10 fveq2 6840 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
1110breq2d 5116 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)))
122, 3, 4, 9, 11cbvrabw 3438 . . . 4 {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)}
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)})
14 nfcv 2906 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝐵)
15 smfpimgtxrmptf.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimgtxrmptf.f . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2736 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
18 smfpimgtxrmptf.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
1914, 15, 16, 17, 18smfpimgtxr 44991 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
2013, 19eqeltrd 2838 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
21 smfpimgtxrmptf.x . . . . . 6 𝑥𝜑
22 smfpimgtxrmptf.1 . . . . . 6 𝑥𝐴
23 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
24 smfpimgtxrmptf.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2521, 22, 23, 24dmmptdf2 43432 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
262, 22rabeqf 3437 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
28 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
2922fvmpt2f 6947 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3028, 24, 29syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3130breq2d 5116 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < 𝐵))
3221, 31rabbida 3432 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
33 eqidd 2737 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
3427, 32, 333eqtrrd 2781 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
3525eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
3635oveq2d 7370 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) = (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
3734, 36eleq12d 2832 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵))))
3820, 37mpbird 256 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2886  {crab 3406   class class class wbr 5104  cmpt 5187  dom cdm 5632  cfv 6494  (class class class)co 7354  *cxr 11185   < clt 11186  t crest 17299  SAlgcsalg 44519  SMblFncsmblfn 44906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-inf2 9574  ax-cc 10368  ax-ac2 10396  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-sup 9375  df-inf 9376  df-card 9872  df-acn 9875  df-ac 10049  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-q 12871  df-rp 12913  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-fl 13694  df-rest 17301  df-salg 44520  df-smblfn 44907
This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  44996  smfdmmblpimne  45048
  Copyright terms: Public domain W3C validator