Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxrmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxrmptf 45486
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxrmptf.x 𝑥𝜑
smfpimgtxrmptf.1 𝑥𝐴
smfpimgtxrmptf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxrmptf.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfpimgtxrmptf.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxrmptf.l (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxrmptf (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐿
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxrmptf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5255 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
21nfdm 5948 . . . . 5 𝑥dom (𝑥𝐴𝐵)
3 nfcv 2903 . . . . 5 𝑦dom (𝑥𝐴𝐵)
4 nfv 1917 . . . . 5 𝑦 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
5 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥𝐿
6 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥 <
7 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑥𝑦
81, 7nffv 6898 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
95, 6, 8nfbr 5194 . . . . 5 𝑥 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
10 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
1110breq2d 5159 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)))
122, 3, 4, 9, 11cbvrabw 3467 . . . 4 {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)}
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)})
14 nfcv 2903 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝐵)
15 smfpimgtxrmptf.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimgtxrmptf.f . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2732 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
18 smfpimgtxrmptf.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
1914, 15, 16, 17, 18smfpimgtxr 45482 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
2013, 19eqeltrd 2833 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
21 smfpimgtxrmptf.x . . . . . 6 𝑥𝜑
22 smfpimgtxrmptf.1 . . . . . 6 𝑥𝐴
23 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
24 smfpimgtxrmptf.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2521, 22, 23, 24dmmptdf2 43920 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
262, 22rabeqf 3466 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
28 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
2922fvmpt2f 6996 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3028, 24, 29syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3130breq2d 5159 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < 𝐵))
3221, 31rabbida 3458 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
33 eqidd 2733 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
3427, 32, 333eqtrrd 2777 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
3525eqcomd 2738 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
3635oveq2d 7421 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) = (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
3734, 36eleq12d 2827 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵))))
3820, 37mpbird 256 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2883  {crab 3432   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5675  cfv 6540  (class class class)co 7405  *cxr 11243   < clt 11244  t crest 17362  SAlgcsalg 45010  SMblFncsmblfn 45397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-rest 17364  df-salg 45011  df-smblfn 45398
This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  45487  smfdmmblpimne  45539
  Copyright terms: Public domain W3C validator