Theorem smfpimgtxrmptf 47227

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtxrmptf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfpimgtxrmptf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
smfpimgtxrmptf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxrmptf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
smfpimgtxrmptf.f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxrmptf.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtxrmptf	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐿

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxrmptf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 5171	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	nfdm 5893	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4		nfv 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)
5		nfcv 2901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐿
6		nfcv 2901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 <
7		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
8	1, 7	nffv 6837	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
9	5, 6, 8	nfbr 5119	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)
10		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦))
11	10	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)))
12	2, 3, 4, 9, 11	cbvrabw 3426	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)}
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)})
14		nfcv 2901	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
15		smfpimgtxrmptf.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
16		smfpimgtxrmptf.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17		eqid 2739	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
18		smfpimgtxrmptf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
19	14, 15, 16, 17, 18	smfpimgtxr 47223	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
20	13, 19	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21		smfpimgtxrmptf.x	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
22		smfpimgtxrmptf.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
23		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
24		smfpimgtxrmptf.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
25	21, 22, 23, 24	dmmptdf2 45677	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
26	2, 22	rabeqf 3425	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
28		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
29	22	fvmpt2f 6936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
30	28, 24, 29	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
31	30	breq2d 5084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < 𝐵))
32	21, 31	rabbida 3417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
33		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵})
34	27, 32, 33	3eqtrrd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)})
35	25	eqcomd 2745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
36	35	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐴) = (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
37	34, 36	eleq12d 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆 ↾t dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
38	20, 37	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886  {crab 3391   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ↾_t crest 17374  SAlgcsalg 46751  SMblFncsmblfn 47138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fl 13742  df-rest 17376  df-salg 46752  df-smblfn 47139

This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  47228  smfdmmblpimne  47280