Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxrmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxrmptf 46740
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxrmptf.x 𝑥𝜑
smfpimgtxrmptf.1 𝑥𝐴
smfpimgtxrmptf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxrmptf.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfpimgtxrmptf.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxrmptf.l (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxrmptf (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐿
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxrmptf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5256 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
21nfdm 5965 . . . . 5 𝑥dom (𝑥𝐴𝐵)
3 nfcv 2903 . . . . 5 𝑦dom (𝑥𝐴𝐵)
4 nfv 1912 . . . . 5 𝑦 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
5 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥𝐿
6 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥 <
7 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑥𝑦
81, 7nffv 6917 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
95, 6, 8nfbr 5195 . . . . 5 𝑥 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
10 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
1110breq2d 5160 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)))
122, 3, 4, 9, 11cbvrabw 3471 . . . 4 {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)}
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)})
14 nfcv 2903 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝐵)
15 smfpimgtxrmptf.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimgtxrmptf.f . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2735 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
18 smfpimgtxrmptf.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
1914, 15, 16, 17, 18smfpimgtxr 46736 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
2013, 19eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
21 smfpimgtxrmptf.x . . . . . 6 𝑥𝜑
22 smfpimgtxrmptf.1 . . . . . 6 𝑥𝐴
23 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
24 smfpimgtxrmptf.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2521, 22, 23, 24dmmptdf2 45176 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
262, 22rabeqf 3470 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
2922fvmpt2f 7017 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3028, 24, 29syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3130breq2d 5160 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < 𝐵))
3221, 31rabbida 3461 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
33 eqidd 2736 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
3427, 32, 333eqtrrd 2780 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
3525eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
3635oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) = (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
3734, 36eleq12d 2833 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵))))
3820, 37mpbird 257 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  {crab 3433   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  *cxr 11292   < clt 11293  t crest 17467  SAlgcsalg 46264  SMblFncsmblfn 46651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fl 13829  df-rest 17469  df-salg 46265  df-smblfn 46652
This theorem is referenced by:  smfpimgtxrmpt  46741  smfdmmblpimne  46793
  Copyright terms: Public domain W3C validator