Theorem dmmpt 6241

Description: The domain of the mapping operation in general. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmpt	⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}

Proof of Theorem dmmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdm4 5877	. 2 ⊢ dom 𝐹 = ran ◡𝐹
2		dfrn4 6196	. 2 ⊢ ran ◡𝐹 = (◡𝐹 “ V)
3		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptpreima 6239	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ V) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
5	1, 2, 4	3eqtri 2788	1 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664

This theorem is used by:  dmmptss  6242  dmmptg  6243  dmmptd  6684  fvmpti  6992  funcnvmpt  6995  fvmptss  7006  fvmptss2  7020  mptexgf  7228  tz9.12lem3  9796  cardf2  10024  pmtrsn  19733  00lsp  21256  rgrx0ndm  30174  abrexexd  33105  mptctf  33308  issibf  34965  rdgprc0  36555  imageval  36692  dmmptdff  46235  dmmptssf  46243  dmmptdf2  46244  dvcosre  46921  itgsinexplem1  46963  stirlinglem14  47096  fvmptrabdm  48362