Theorem dmmpt 6244

Description: The domain of the mapping operation in general. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmpt	⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}

Proof of Theorem dmmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdm4 5878	. 2 ⊢ dom 𝐹 = ran ◡𝐹
2		dfrn4 6199	. 2 ⊢ ran ◡𝐹 = (◡𝐹 “ V)
3		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptpreima 6242	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ V) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
5	1, 2, 4	3eqtri 2787	1 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664

This theorem is used by:  dmmptss  6245  dmmptg  6246  dmmptd  6689  fvmpti  6997  funcnvmpt  7000  fvmptss  7011  fvmptss2  7025  mptexgf  7232  tz9.12lem3  9803  cardf2  10031  pmtrsn  19742  00lsp  21265  rgrx0ndm  30183  abrexexd  33156  mptctf  33359  issibf  35015  rdgprc0  36679  imageval  36816  dmmptdff  46372  dmmptssf  46380  dmmptdf2  46381  dvcosre  47058  itgsinexplem1  47100  stirlinglem14  47233  fvmptrabdm  48499