Theorem dmmpt 6260

Description: The domain of the mapping operation in general. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmpt	⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}

Proof of Theorem dmmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdm4 5889	. 2 ⊢ dom 𝐹 = ran ◡𝐹
2		dfrn4 6215	. 2 ⊢ ran ◡𝐹 = (◡𝐹 “ V)
3		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptpreima 6258	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ V) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
5	1, 2, 4	3eqtri 2790	1 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5192  ^◡ccnv 5657  dom cdm 5658  ran crn 5659   “ cima 5661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671

This theorem is used by:  dmmptss  6261  dmmptg  6262  dmmptd  6714  fvmpti  7023  funcnvmpt  7026  fvmptss  7037  fvmptss2  7051  mptexgf  7259  tz9.12lem3  9833  cardf2  10061  pmtrsn  19784  00lsp  21307  rgrx0ndm  30231  abrexexd  33204  mptctf  33405  issibf  35076  rdgprc0  36770  imageval  36907  dmmptdff  46509  dmmptssf  46517  dmmptdf2  46518  dvcosre  47195  itgsinexplem1  47237  stirlinglem14  47370  fvmptrabdm  48636