Theorem dmmpt 6236

Description: The domain of the mapping operation in general. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dmmpt.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dmmpt	⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}

Proof of Theorem dmmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdm4 5879	. 2 ⊢ dom 𝐹 = ran ◡𝐹
2		dfrn4 6196	. 2 ⊢ ran ◡𝐹 = (◡𝐹 “ V)
3		dmmpt.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptpreima 6234	. 2 ⊢ (◡𝐹 “ V) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
5	1, 2, 4	3eqtri 2787	1 ⊢ dom 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668

This theorem is used by:  dmmptss  6237  dmmptg  6238  dmmptd  6678  fvmpti  6986  funcnvmpt  6989  fvmptss  7000  fvmptss2  7014  mptexgf  7222  tz9.12lem3  9772  cardf2  9949  pmtrsn  19647  00lsp  21166  rgrx0ndm  30054  abrexexd  32985  mptctf  33188  issibf  34845  rdgprc0  36371  imageval  36508  dmmptdff  46054  dmmptssf  46062  dmmptdf2  46063  dvcosre  46741  itgsinexplem1  46783  stirlinglem14  46916  fvmptrabdm  48182