Theorem dmxp 5875

Description: The domain of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.) Avoid ax-10 2142, ax-11 2158, ax-12 2178. (Revised by SN, 12-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxp	⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem dmxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3442	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm 5847	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ ∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦)
3		brxp 5672	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
4	3	exbii 1848	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
5		19.42v 1953	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
6	2, 4, 5	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
7		n0 4306	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
9	8	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)))
10	6, 9	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	10	eqrdv 2727	1 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4286   class class class wbr 5095   × cxp 5621  dom cdm 5623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5629  df-dm 5633

This theorem is referenced by:  dmxpid  5876  rnxp  6123  dmxpss  6124  ssxpb  6127  relrelss  6225  unixp  6234  xpexr2  7859  xpexcnv  7860  frxp  8066  mpocurryd  8209  fodomr  9052  fodomfir  9237  nqerf  10843  dmtrclfv  14943  pwsbas  17409  pwsle  17414  imasaddfnlem  17450  imasvscafn  17459  efgrcl  19612  frlmip  21703  txindislem  23536  metustexhalf  24460  rrxip  25306  dveq0  25921  dv11cn  25922  noxp1o  27591  noextendseq  27595  bdayfo  27605  noetasuplem2  27662  noetasuplem4  27664  noetainflem2  27666  noetainflem4  27668  dmdju  32604  fxpgaval  33122  mbfmcst  34226  eulerpartlemt  34338  0rrv  34418  curf  37577  curunc  37581  ismgmOLD  37829  diophrw  42732  onnog  43402  onnobdayg  43403  bdaybndbday  43405  dmrnxp  48822