Theorem dmxp 5884

Description: The domain of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.) Avoid ax-10 2147, ax-11 2163, ax-12 2185. (Revised by SN, 12-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxp	⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem dmxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3433	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm 5855	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ ∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦)
3		brxp 5680	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
4	3	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
5		19.42v 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
6	2, 4, 5	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
7		n0 4293	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
9	8	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)))
10	6, 9	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	10	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   × cxp 5629  dom cdm 5631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-dm 5641

This theorem is referenced by:  dmxpid  5885  rnxp  6134  dmxpss  6135  ssxpb  6138  relrelss  6237  unixp  6246  xpexr2  7870  xpexcnv  7871  frxp  8076  mpocurryd  8219  fodomr  9066  fodomfir  9238  nqerf  10853  dmtrclfv  14980  pwsbas  17450  pwsle  17456  imasaddfnlem  17492  imasvscafn  17501  efgrcl  19690  frlmip  21758  txindislem  23598  metustexhalf  24521  rrxip  25357  dveq0  25967  dv11cn  25968  noxp1o  27627  noextendseq  27631  bdayfo  27641  noetasuplem2  27698  noetasuplem4  27700  noetainflem2  27702  noetainflem4  27704  dmdju  32720  fxpgaval  33228  mbfmcst  34403  eulerpartlemt  34515  0rrv  34595  curf  37919  curunc  37923  ismgmOLD  38171  diophrw  43191  onnoxpg  43856  onnobdayg  43857  bdaybndbday  43859  dmrnxp  49312