Theorem dmxp 5913

Description: The domain of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.) Avoid ax-10 2142, ax-11 2158, ax-12 2178. (Revised by SN, 12-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxp	⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem dmxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3468	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm 5885	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ ∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦)
3		brxp 5708	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
4	3	exbii 1848	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
5		19.42v 1953	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
6	2, 4, 5	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
7		n0 4333	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
9	8	biantrud 531	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)))
10	6, 9	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	10	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∅c0 4313   class class class wbr 5124   × cxp 5657  dom cdm 5659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-xp 5665  df-dm 5669

This theorem is referenced by:  dmxpid  5915  rnxp  6164  dmxpss  6165  ssxpb  6168  relrelss  6267  unixp  6276  xpexr2  7920  xpexcnv  7921  frxp  8130  mpocurryd  8273  fodomr  9147  fodomfir  9345  nqerf  10949  dmtrclfv  15042  pwsbas  17506  pwsle  17511  imasaddfnlem  17547  imasvscafn  17556  efgrcl  19701  frlmip  21743  txindislem  23576  metustexhalf  24500  rrxip  25347  dveq0  25962  dv11cn  25963  noxp1o  27632  noextendseq  27636  bdayfo  27646  noetasuplem2  27703  noetasuplem4  27705  noetainflem2  27707  noetainflem4  27709  dmdju  32630  mbfmcst  34296  eulerpartlemt  34408  0rrv  34488  curf  37627  curunc  37631  ismgmOLD  37879  diophrw  42749  onnog  43420  onnobdayg  43421  bdaybndbday  43423  dmrnxp  48782