Theorem dmxp 5903

Description: The domain of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.) Avoid ax-10 2174, ax-11 2190, ax-12 2211. (Revised by SN, 12-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxp	⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem dmxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm 5874	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ ∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦)
3		brxp 5694	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
4	3	exbii 1867	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
5		19.42v 1972	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
6	2, 4, 5	3bitri 299	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
7		n0 4305	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	biimpi 218	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
9	8	biantrud 539	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)))
10	6, 9	bitr4id 292	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	10	eqrdv 2759	1 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4285   class class class wbr 5099   × cxp 5643  dom cdm 5645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5651  df-dm 5655

This theorem is referenced by:  dmxpid  5904  rnxp  6152  dmxpss  6153  ssxpb  6156  relrelss  6256  unixp  6265  xpexr2  7896  xpexcnv  7897  frxp  8101  mpocurryd  8244  fodomr  9096  fodomfir  9268  nqerf  10885  dmtrclfv  15028  pwsbas  17499  pwsle  17505  imasaddfnlem  17541  imasvscafn  17550  efgrcl  19738  frlmip  21810  txindislem  23673  metustexhalf  24596  rrxip  25432  dveq0  26042  dv11cn  26043  noxp1o  27704  noextendseq  27708  bdayfo  27718  noetasuplem2  27775  noetasuplem4  27777  noetainflem2  27779  noetainflem4  27781  dmdju  32799  fxpgaval  33308  mbfmcst  34517  eulerpartlemt  34629  0rrv  34709  curf  38061  curunc  38065  ismgmOLD  38313  diophrw  43304  onnoxpg  43969  onnobdayg  43970  bdaybndbday  43972  dmrnxp  49422