Theorem dmxp 5783

Description: The domain of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmxp	⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem dmxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xp 5542	. . 3 ⊢ (𝐴 × 𝐵) = {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)}
2	1	dmeqi 5758	. 2 ⊢ dom (𝐴 × 𝐵) = dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)}
3		n0 4247	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
4	3	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
5	4	ralrimivw 3096	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
6		dmopab3 5773	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} = 𝐴)
7	5, 6	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom {⟨𝑦, 𝑥⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)} = 𝐴)
8	2, 7	syl5eq 2783	1 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∅c0 4223  {copab 5101   × cxp 5534  dom cdm 5536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-br 5040  df-opab 5102  df-xp 5542  df-dm 5546

This theorem is referenced by:  dmxpid  5784  rnxp  6013  dmxpss  6014  ssxpb  6017  relrelss  6116  unixp  6125  xpexr2  7675  xpexcnv  7676  frxp  7871  mpocurryd  7989  fodomr  8775  nqerf  10509  dmtrclfv  14546  pwsbas  16946  pwsle  16951  imasaddfnlem  16987  imasvscafn  16996  efgrcl  19059  frlmip  20694  txindislem  22484  metustexhalf  23408  rrxip  24241  dveq0  24851  dv11cn  24852  mbfmcst  31892  eulerpartlemt  32004  0rrv  32084  noxp1o  33552  noextendseq  33556  bdayfo  33566  noetasuplem2  33623  noetasuplem4  33625  noetainflem2  33627  noetainflem4  33629  curf  35441  curunc  35445  ismgmOLD  35694  diophrw  40225