Theorem dmxp 5917

Description: The domain of a Cartesian product. Part of Theorem 3.13(x) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.) Avoid ax-10 2178, ax-11 2194, ax-12 2215. (Revised by SN, 12-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmxp	⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem dmxp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3457	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm 5888	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ ∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦)
3		brxp 5708	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
4	3	exbii 1881	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑥(𝐴 × 𝐵)𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
5		19.42v 1986	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
6	2, 4, 5	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
7		n0 4303	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
8	7	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
9	8	biantrud 541	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)))
10	6, 9	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (𝑥 ∈ dom (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
11	10	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282   class class class wbr 5107   × cxp 5657  dom cdm 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-dm 5669

This theorem is used by:  dmxpid  5918  rnxp  6167  dmxpss  6168  ssxpb  6171  relrelss  6274  unixp  6284  xpexr2  7920  xpexcnv  7921  frxp  8128  mpocurryd  8271  curf  8873  fodomr  9130  fodomfir  9301  nqerf  10943  dmtrclfv  15095  pwsbas  17578  pwsle  17584  imasaddfnlem  17620  imasvscafn  17629  efgrcl  19848  frlmip  21997  txindislem  23865  metustexhalf  24788  rrxip  25624  dveq0  26234  dv11cn  26235  noxp1o  27907  noextendseq  27911  bdayfo  27921  noetasuplem2  27978  noetasuplem4  27980  noetainflem2  27982  noetainflem4  27984  dmdju  33128  fxpgaval  33615  mbfmcst  34778  eulerpartlemt  34890  0rrv  34970  curunc  38364  ismgmOLD  38608  diophrw  43612  onnoxpg  44277  onnobdayg  44278  bdaybndbday  44280  dmrnxp  49773