Theorem domnnzr 20639

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20638	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 497	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  NzRingcnzr 20445  Domncdomn 20625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-nul 5251

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-domn 20628

This theorem is referenced by:  domnring  20640  isdomn4  20649  fidomndrng  20706  abvn0b  20769  domnchr  21487  znidomb  21516  nrgdomn  24615  ply1domn  26085  fta1glem1  26129  fta1glem2  26130  fta1b  26133  idomrootle  26134  lgsqrlem4  27316  domnprodn0  33357  domnprodeq0  33358  subrdom  33367  fracfld  33390  qsidomlem1  33533  1arithufdlem1  33625  ply1dg1rt  33661  deg1prod  33664  vietadeg1  33734  assafld  33794  idomnnzpownz  42386  idomnnzgmulnz  42387  deg1gprod  42394  deg1pow  42395  domnexpgn0cl  42778  fiabv  42791  deg1mhm  43442