Theorem domnnzr 20728

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20727	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 497	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  NzRingcnzr 20538  Domncdomn 20714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-nul 5324

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-domn 20717

This theorem is referenced by:  domnring  20729  isdomn4  20738  fidomndrng  20796  abvn0b  20859  domnchr  21570  znidomb  21603  nrgdomn  24713  ply1domn  26183  fta1glem1  26227  fta1glem2  26228  fta1b  26231  idomrootle  26232  lgsqrlem4  27411  domnprodn0  33247  subrdom  33254  fracfld  33275  qsidomlem1  33445  1arithufdlem1  33537  ply1dg1rt  33569  assafld  33650  idomnnzpownz  42089  idomnnzgmulnz  42090  deg1gprod  42097  deg1pow  42098  domnexpgn0cl  42478  fiabv  42491  deg1mhm  43161