Theorem domnnzr 20126

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2759	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2759	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2759	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20125	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 845   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  Basecbs 16531  ._rcmulr 16614  0_gc0g 16761  NzRingcnzr 20088  Domncdomn 20111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-nul 5174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-sn 4521  df-pr 4523  df-op 4527  df-uni 4797  df-br 5031  df-iota 6292  df-fv 6341  df-ov 7151  df-domn 20115

This theorem is referenced by:  domnring  20127  opprdomn  20132  abvn0b  20133  fidomndrng  20138  domnchr  20290  znidomb  20319  nrgdomn  23363  ply1domn  24813  fta1glem1  24855  fta1glem2  24856  fta1b  24859  lgsqrlem4  26022  qsidomlem1  31139  idomrootle  40502  deg1mhm  40514