Theorem domnnzr 20782

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20781	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 501	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  0_gc0g 17482  NzRingcnzr 20586  Domncdomn 20768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403  df-domn 20771

This theorem is referenced by:  domnring  20783  isdomn4  20791  fidomndrng  20846  abvn0b  20908  qsidomlem1  21440  domnchr  21642  znidomb  21671  nrgdomn  24789  ply1domn  26242  fta1glem1  26286  fta1glem2  26287  fta1b  26290  idomrootle  26291  lgsqrlem4  27471  domnprodn0  33511  domnprodeq0  33512  subrdom  33518  ricdomn1  33522  fracfld  33544  1arithufdlem1  33751  ply1dg1rt  33787  deg1prod  33790  mplidomlem  33834  vietadeg1  33885  assafld  33944  idomnnzpownz  42761  idomnnzgmulnz  42762  deg1gprod  42769  deg1pow  42770  domnexpgn0cl  43153  fiabv  43166  deg1mhm  43789