Theorem domnnzr 20842

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2766	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20841	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  NzRingcnzr 20646  Domncdomn 20828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738  ax-nul 5274

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-iota 6499  df-fv 6551  df-ov 7426  df-domn 20831

This theorem is used by:  domnring  20843  isdomn4  20851  fidomndrng  20914  abvn0b  20976  qsidomlem1  21517  domnchr  21719  znidomb  21748  nrgdomn  24865  ply1domn  26318  fta1glem1  26362  fta1glem2  26363  fta1b  26366  idomrootle  26367  lgsqrlem4  27550  domnprodn0  33629  domnprodeq0  33630  subrdom  33636  ricdomn1  33640  fracfld  33660  1arithufdlem1  33865  ply1dg1rt  33901  deg1prod  33904  mplidomlem  33948  vietadeg1  33999  assafld  34058  idomnnzpownz  42940  idomnnzgmulnz  42941  deg1gprod  42948  deg1pow  42949  domnexpgn0cl  43332  fiabv  43345  deg1mhm  43968