Theorem domnnzr 20991

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20990	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  ._rcmulr 17461  0_gc0g 17642  NzRingcnzr 20795  Domncdomn 20977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6515  df-fv 6569  df-ov 7449  df-domn 20980

This theorem is used by:  domnring  20992  isdomn4  21000  fidomndrng  21064  abvn0b  21126  qsidomlem1  21669  domnchr  21871  znidomb  21900  nrgdomn  25023  ply1domn  26475  fta1glem1  26519  fta1glem2  26520  fta1b  26523  idomrootle  26524  lgsqrlem4  27709  domnprodn0  33915  domnprodeq0  33916  subrdom  33922  ricdomn1  33926  fracfld  33954  1arithufdlem1  34160  ply1dg1rt  34195  deg1prod  34198  mplidomlem  34242  vietadeg1  34293  assafld  34352  idomnnzpownz  43385  idomnnzgmulnz  43386  deg1gprod  43393  deg1pow  43394  domnexpgn0cl  43788  fiabv  43804  deg1mhm  44405