Theorem domnnzr 20963

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20962	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  ._rcmulr 17434  0_gc0g 17615  NzRingcnzr 20767  Domncdomn 20949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-domn 20952

This theorem is used by:  domnring  20964  isdomn4  20972  fidomndrng  21036  abvn0b  21098  qsidomlem1  21641  domnchr  21843  znidomb  21872  nrgdomn  24995  ply1domn  26447  fta1glem1  26491  fta1glem2  26492  fta1b  26495  idomrootle  26496  lgsqrlem4  27681  domnprodn0  33885  domnprodeq0  33886  subrdom  33892  ricdomn1  33896  fracfld  33916  1arithufdlem1  34122  ply1dg1rt  34158  deg1prod  34161  mplidomlem  34205  vietadeg1  34256  assafld  34315  idomnnzpownz  43275  idomnnzgmulnz  43276  deg1gprod  43283  deg1pow  43284  domnexpgn0cl  43677  fiabv  43693  deg1mhm  44295