Theorem domnnzr 20674

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20673	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 496	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  NzRingcnzr 20480  Domncdomn 20660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7363  df-domn 20663

This theorem is referenced by:  domnring  20675  isdomn4  20684  fidomndrng  20741  abvn0b  20804  domnchr  21522  znidomb  21551  nrgdomn  24646  ply1domn  26099  fta1glem1  26143  fta1glem2  26144  fta1b  26147  idomrootle  26148  lgsqrlem4  27326  domnprodn0  33351  domnprodeq0  33352  subrdom  33361  fracfld  33384  qsidomlem1  33527  1arithufdlem1  33619  ply1dg1rt  33655  deg1prod  33658  vietadeg1  33737  assafld  33797  idomnnzpownz  42585  idomnnzgmulnz  42586  deg1gprod  42593  deg1pow  42594  domnexpgn0cl  42982  fiabv  42995  deg1mhm  43646