Theorem domnnzr 20792

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20791	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 501	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493  NzRingcnzr 20596  Domncdomn 20778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5270

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7415  df-domn 20781

This theorem is referenced by:  domnring  20793  isdomn4  20801  fidomndrng  20858  abvn0b  20920  qsidomlem1  21461  domnchr  21663  znidomb  21692  nrgdomn  24809  ply1domn  26262  fta1glem1  26306  fta1glem2  26307  fta1b  26310  idomrootle  26311  lgsqrlem4  27494  domnprodn0  33579  domnprodeq0  33580  subrdom  33586  ricdomn1  33590  fracfld  33610  1arithufdlem1  33815  ply1dg1rt  33851  deg1prod  33854  mplidomlem  33898  vietadeg1  33949  assafld  34008  idomnnzpownz  42880  idomnnzgmulnz  42881  deg1gprod  42888  deg1pow  42889  domnexpgn0cl  43274  fiabv  43287  deg1mhm  43910