Theorem domnnzr 20938

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20937	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 502	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409  0_gc0g 17590  NzRingcnzr 20742  Domncdomn 20924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6487  df-fv 6539  df-ov 7415  df-domn 20927

This theorem is used by:  domnring  20939  isdomn4  20947  fidomndrng  21011  abvn0b  21073  qsidomlem1  21616  domnchr  21818  znidomb  21847  nrgdomn  24970  ply1domn  26422  fta1glem1  26466  fta1glem2  26467  fta1b  26470  idomrootle  26471  lgsqrlem4  27658  domnprodn0  33821  domnprodeq0  33822  subrdom  33828  ricdomn1  33832  fracfld  33852  1arithufdlem1  34058  ply1dg1rt  34094  deg1prod  34097  mplidomlem  34141  vietadeg1  34192  assafld  34251  idomnnzpownz  43150  idomnnzgmulnz  43151  deg1gprod  43158  deg1pow  43159  domnexpgn0cl  43549  fiabv  43562  deg1mhm  44160