Theorem domnnzr 20735

Description: A domain is a nonzero ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnnzr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem domnnzr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdomn 20734	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
5	4	simplbi 500	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451  NzRingcnzr 20541  Domncdomn 20721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-nul 5255

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395  df-domn 20724

This theorem is referenced by:  domnring  20736  isdomn4  20745  fidomndrng  20802  abvn0b  20865  domnchr  21564  znidomb  21593  nrgdomn  24711  ply1domn  26164  fta1glem1  26208  fta1glem2  26209  fta1b  26212  idomrootle  26213  lgsqrlem4  27390  domnprodn0  33420  domnprodeq0  33421  subrdom  33430  ricdomn1  33434  fracfld  33456  qsidomlem1  33600  1arithufdlem1  33701  ply1dg1rt  33737  deg1prod  33740  mplidomlem  33785  vietadeg1  33836  assafld  33895  idomnnzpownz  42713  idomnnzgmulnz  42714  deg1gprod  42721  deg1pow  42722  domnexpgn0cl  43105  fiabv  43118  deg1mhm  43741