MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprdomn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprdomn 20787
Description: The opposite of a domain is also a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opprdomn.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprdomn (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)

Proof of Theorem opprdomn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 20781 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2 opprdomn.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
32opprnzr 20751 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑂 ∈ NzRing)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ NzRing)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
85, 6, 7domneq0 20783 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ↔ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑥 = (0g𝑅))))
983com23 1127 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ↔ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑥 = (0g𝑅))))
10 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.r𝑂) = (.r𝑂)
115, 6, 2, 10opprmul 20057 . . . . . . 7 (𝑥(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)
1211eqeq1i 2738 . . . . . 6 ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅))
13 orcom 869 . . . . . 6 ((𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅)) ↔ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑥 = (0g𝑅)))
149, 12, 133bitr4g 314 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
1514biimpd 228 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
16153expb 1121 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
1716ralrimivva 3194 . 2 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
182, 5opprbas 20061 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
192, 7oppr0 20067 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑂)
2018, 10, 19isdomn 20780 . 2 (𝑂 ∈ Domn ↔ (𝑂 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅)))))
214, 17, 20sylanbrc 584 1 (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  opprcoppr 20053  NzRingcnzr 20743  Domncdomn 20766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-nzr 20744  df-domn 20770
This theorem is referenced by:  fidomndrng  20794
  Copyright terms: Public domain W3C validator