Theorem opprdomn 21205

Description: The opposite of a domain is also a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprdomn.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprdomn	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)

Proof of Theorem opprdomn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 21197	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		opprdomn.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3	2	opprnzr 20414	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑂 ∈ NzRing)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ NzRing)
5		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	domneq0 21199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑥 = (0g‘𝑅))))
9	8	3com23 1123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑥 = (0g‘𝑅))))
10		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
11	5, 6, 2, 10	opprmul 20231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
12	11	eqeq1i 2729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
13		orcom 867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)) ↔ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑥 = (0g‘𝑅)))
14	9, 12, 13	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
15	14	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
16	15	3expb 1117	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
17	16	ralrimivva 3192	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
18	2, 5	opprbas 20235	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
19	2, 7	oppr0 20243	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
20	18, 10, 19	isdomn 21196	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Domn ↔ (𝑂 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
21	4, 17, 20	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  ._rcmulr 17199  0_gc0g 17386  opp_rcoppr 20227  NzRingcnzr 20406  Domncdomn 21182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-nzr 20407  df-domn 21186

This theorem is referenced by:  fidomndrng  21212