MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprdomn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprdomn 20068
Description: The opposite of a domain is also a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opprdomn.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprdomn (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)

Proof of Theorem opprdomn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 20062 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2 opprdomn.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
32opprnzr 20032 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑂 ∈ NzRing)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ NzRing)
5 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2821 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 eqid 2821 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
85, 6, 7domneq0 20064 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ↔ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑥 = (0g𝑅))))
983com23 1122 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ↔ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑥 = (0g𝑅))))
10 eqid 2821 . . . . . . . 8 (.r𝑂) = (.r𝑂)
115, 6, 2, 10opprmul 19370 . . . . . . 7 (𝑥(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)
1211eqeq1i 2826 . . . . . 6 ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅))
13 orcom 866 . . . . . 6 ((𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅)) ↔ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑥 = (0g𝑅)))
149, 12, 133bitr4g 316 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
1514biimpd 231 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
16153expb 1116 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
1716ralrimivva 3191 . 2 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
182, 5opprbas 19373 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
192, 7oppr0 19377 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑂)
2018, 10, 19isdomn 20061 . 2 (𝑂 ∈ Domn ↔ (𝑂 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅)))))
214, 17, 20sylanbrc 585 1 (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wo 843  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  .rcmulr 16560  0gc0g 16707  opprcoppr 19366  NzRingcnzr 20024  Domncdomn 20047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-nzr 20025  df-domn 20051
This theorem is referenced by:  fidomndrng  20074
  Copyright terms: Public domain W3C validator