Theorem opprdomn 20572

Description: The opposite of a domain is also a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprdomn.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprdomn	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)

Proof of Theorem opprdomn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20566	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		opprdomn.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
3	2	opprnzr 20536	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑂 ∈ NzRing)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ NzRing)
5		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	domneq0 20568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑥 = (0g‘𝑅))))
9	8	3com23 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑥 = (0g‘𝑅))))
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
11	5, 6, 2, 10	opprmul 19865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)
12	11	eqeq1i 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅))
13		orcom 867	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)) ↔ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑥 = (0g‘𝑅)))
14	9, 12, 13	3bitr4g 314	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
15	14	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
16	15	3expb 1119	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
17	16	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅))))
18	2, 5	opprbas 19869	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
19	2, 7	oppr0 19875	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
20	18, 10, 19	isdomn 20565	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Domn ↔ (𝑂 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑂)𝑦) = (0g‘𝑅) → (𝑥 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑅)))))
21	4, 17, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  opp_rcoppr 19861  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-nzr 20529  df-domn 20555

This theorem is referenced by:  fidomndrng  20579