MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1b 25921
Description: The assumption that ๐‘… be a domain in fta1g 25919 is necessary. Here we show that the statement is strong enough to prove that ๐‘… is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
fta1b.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
fta1b.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
fta1b.o ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
fta1b.w ๐‘Š = (0gโ€˜๐‘…)
fta1b.z 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
fta1b (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘“   ๐ท,๐‘“   ๐‘“,๐‘‚   ๐‘…,๐‘“   ๐‘“,๐‘Š   ๐‘ƒ,๐‘“   0 ,๐‘“

Proof of Theorem fta1b
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isidom 21124 . . . 4 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ Domn))
21simplbi 496 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
31simprbi 495 . . . 4 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
4 domnnzr 21113 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
53, 4syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
6 fta1b.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
7 fta1b.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
8 fta1b.d . . . . 5 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
9 fta1b.o . . . . 5 ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
10 fta1b.w . . . . 5 ๐‘Š = (0gโ€˜๐‘…)
11 fta1b.z . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
12 simpl 481 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘… โˆˆ IDomn)
13 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘“ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โ‰  0 ))
1413simplbi 496 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ต)
1514adantl 480 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ต)
1613simprbi 495 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘“ โ‰  0 )
1716adantl 480 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘“ โ‰  0 )
186, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17fta1g 25919 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
1918ralrimiva 3144 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
202, 5, 193jca 1126 . 2 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
21 simp1 1134 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
22 simp2 1135 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
23 df-ne 2939 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š โ†” ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘Š)
24 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
25 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
26 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
27 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
28 simpll1 1210 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
29 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
30 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
31 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š)
32 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)
33 simpll3 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
34 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘“) = (๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3534cnveqd 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) = โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3635imaeq1d 6059 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š}) = (โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š}))
3736fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})))
38 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘“) = (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3937, 38breq12d 5162 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“) โ†” (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
4039rspccv 3610 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“) โ†’ ((๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ((๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
426, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41fta1blem 25920 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š)
4342expr 455 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4423, 43biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4544orrd 859 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4645ex 411 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š)))
4746ralrimivva 3198 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š)))
4824, 25, 10isdomn 21112 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š))))
4922, 47, 48sylanbrc 581 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
5021, 49, 1sylanbrc 581 . 2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ IDomn)
5120, 50impbii 208 1 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059   โˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  โ—กccnv 5676   โ€œ cima 5680  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   โ‰ค cle 11255  โ™ฏchash 14296  Basecbs 17150  .rcmulr 17204   ยท๐‘  cvsca 17207  0gc0g 17391  CRingccrg 20130  NzRingcnzr 20405  Domncdomn 21098  IDomncidom 21099  var1cv1 21921  Poly1cpl1 21922  eval1ce1 22055   deg1 cdg1 25803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-srg 20083  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-rhm 20365  df-nzr 20406  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-rlreg 21101  df-domn 21102  df-idom 21103  df-cnfld 21147  df-assa 21629  df-asp 21630  df-ascl 21631  df-psr 21683  df-mvr 21684  df-mpl 21685  df-opsr 21687  df-evls 21856  df-evl 21857  df-psr1 21925  df-vr1 21926  df-ply1 21927  df-coe1 21928  df-evl1 22057  df-mdeg 25804  df-deg1 25805  df-mon1 25882  df-uc1p 25883  df-q1p 25884  df-r1p 25885
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator