Theorem fta1b 26133

Description: The assumption that 𝑅 be a domain in fta1g 26131 is necessary. Here we show that the statement is strong enough to prove that 𝑅 is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
fta1b	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑓,𝑊   𝑃,𝑓   0 ,𝑓

Proof of Theorem fta1b

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom 20658	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
2	1	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
3	1	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4		domnnzr 20639	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6		fta1b.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		fta1b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		fta1b.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
9		fta1b.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
10		fta1b.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
11		fta1b.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ IDomn)
13		eldifsn 4742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ≠ 0 ))
14	13	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ∈ 𝐵)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝐵)
16	13	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
18	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17	fta1g 26131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
19	18	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
20	2, 5, 19	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))
21		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ CRing)
22		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ NzRing)
23		df-ne 2933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑊 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑊)
24		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
27		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
28		simpll1 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑅 ∈ CRing)
29		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
30		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
31		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊)
32		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ≠ 𝑊)
33		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
34		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝑂‘𝑓) = (𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
35	34	cnveqd 5824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ◡(𝑂‘𝑓) = ◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
36	35	imaeq1d 6018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊}) = (◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊}))
37	36	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})))
38		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
39	37, 38	breq12d 5111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) ↔ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
40	39	rspccv 3573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
42	6, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41	fta1blem 26132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 = 𝑊)
43	42	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 ≠ 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
44	23, 43	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (¬ 𝑥 = 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
45	44	orrd 863	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))
46	45	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
47	46	ralrimivva 3179	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
48	24, 25, 10	isdomn 20638	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))))
49	22, 47, 48	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	21, 49, 1	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51	20, 50	impbii 209	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898  {csn 4580   class class class wbr 5098  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ≤ cle 11167  ♯chash 14253  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  CRingccrg 20169  NzRingcnzr 20445  Domncdomn 20625  IDomncidom 20626  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117  eval₁ce1 22258  deg₁cdg1 26015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-rhm 20408  df-nzr 20446  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-idom 20629  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-cnfld 21310  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-evls 22029  df-evl 22030  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evl1 22260  df-mdeg 26016  df-deg1 26017  df-mon1 26092  df-uc1p 26093  df-q1p 26094  df-r1p 26095

This theorem is referenced by: (None)