Theorem fta1b 25334

Description: The assumption that 𝑅 be a domain in fta1g 25332 is necessary. Here we show that the statement is strong enough to prove that 𝑅 is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
fta1b	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑓,𝑊   𝑃,𝑓   0 ,𝑓

Proof of Theorem fta1b

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom 20575	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
2	1	simplbi 498	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
3	1	simprbi 497	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4		domnnzr 20566	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6		fta1b.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		fta1b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		fta1b.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
9		fta1b.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
10		fta1b.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
11		fta1b.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ IDomn)
13		eldifsn 4720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ≠ 0 ))
14	13	simplbi 498	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ∈ 𝐵)
15	14	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝐵)
16	13	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
17	16	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
18	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17	fta1g 25332	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
19	18	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
20	2, 5, 19	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))
21		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ CRing)
22		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ NzRing)
23		df-ne 2944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑊 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑊)
24		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
27		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
28		simpll1 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑅 ∈ CRing)
29		simplrl 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
30		simplrr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
31		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊)
32		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ≠ 𝑊)
33		simpll3 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
34		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝑂‘𝑓) = (𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
35	34	cnveqd 5784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ◡(𝑂‘𝑓) = ◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
36	35	imaeq1d 5968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊}) = (◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊}))
37	36	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})))
38		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
39	37, 38	breq12d 5087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) ↔ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
40	39	rspccv 3558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
42	6, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41	fta1blem 25333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 = 𝑊)
43	42	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 ≠ 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
44	23, 43	syl5bir 242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (¬ 𝑥 = 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
45	44	orrd 860	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))
46	45	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
47	46	ralrimivva 3123	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
48	24, 25, 10	isdomn 20565	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))))
49	22, 47, 48	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	21, 49, 1	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51	20, 50	impbii 208	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ≤ cle 11010  ♯chash 14044  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  CRingccrg 19784  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20551  IDomncidom 20552  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348  eval₁ce1 21480   deg₁ cdg1 25216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-nzr 20529  df-rlreg 20554  df-domn 20555  df-idom 20556  df-cnfld 20598  df-assa 21060  df-asp 21061  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-evls 21282  df-evl 21283  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-coe1 21354  df-evl1 21482  df-mdeg 25217  df-deg1 25218  df-mon1 25295  df-uc1p 25296  df-q1p 25297  df-r1p 25298

This theorem is referenced by: (None)