Theorem fta1b 26084

Description: The assumption that 𝑅 be a domain in fta1g 26082 is necessary. Here we show that the statement is strong enough to prove that 𝑅 is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
fta1b	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑓,𝑊   𝑃,𝑓   0 ,𝑓

Proof of Theorem fta1b

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom 20640	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
2	1	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
3	1	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4		domnnzr 20621	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6		fta1b.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		fta1b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		fta1b.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
9		fta1b.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
10		fta1b.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
11		fta1b.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ IDomn)
13		eldifsn 4758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ≠ 0 ))
14	13	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ∈ 𝐵)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝐵)
16	13	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
18	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17	fta1g 26082	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
19	18	ralrimiva 3127	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
20	2, 5, 19	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))
21		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ CRing)
22		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ NzRing)
23		df-ne 2928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑊 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑊)
24		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
27		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
28		simpll1 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑅 ∈ CRing)
29		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
30		simplrr 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
31		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊)
32		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ≠ 𝑊)
33		simpll3 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
34		fveq2 6865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝑂‘𝑓) = (𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
35	34	cnveqd 5847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ◡(𝑂‘𝑓) = ◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
36	35	imaeq1d 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊}) = (◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊}))
37	36	fveq2d 6869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})))
38		fveq2 6865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
39	37, 38	breq12d 5128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) ↔ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
40	39	rspccv 3594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
42	6, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41	fta1blem 26083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 = 𝑊)
43	42	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 ≠ 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
44	23, 43	biimtrrid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (¬ 𝑥 = 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
45	44	orrd 863	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))
46	45	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
47	46	ralrimivva 3182	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
48	24, 25, 10	isdomn 20620	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))))
49	22, 47, 48	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	21, 49, 1	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51	20, 50	impbii 209	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2927  ∀wral 3046   ∖ cdif 3919  {csn 4597   class class class wbr 5115  ^◡ccnv 5645   “ cima 5649  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   ≤ cle 11227  ♯chash 14305  Basecbs 17185  ._rcmulr 17227   ·_𝑠 cvsca 17230  0_gc0g 17408  CRingccrg 20149  NzRingcnzr 20427  Domncdomn 20607  IDomncidom 20608  var₁cv1 22066  Poly₁cpl1 22067  eval₁ce1 22207  deg₁cdg1 25966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164  ax-addf 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-tp 4602  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-oadd 8447  df-er 8682  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9331  df-sup 9411  df-oi 9481  df-dju 9872  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-4 12262  df-5 12263  df-6 12264  df-7 12265  df-8 12266  df-9 12267  df-n0 12459  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-dec 12666  df-uz 12810  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-seq 13977  df-hash 14306  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-prds 17416  df-pws 17418  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-srg 20102  df-ring 20150  df-cring 20151  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-rhm 20387  df-nzr 20428  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-idom 20611  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-cnfld 21271  df-assa 21768  df-asp 21769  df-ascl 21770  df-psr 21824  df-mvr 21825  df-mpl 21826  df-opsr 21828  df-evls 21987  df-evl 21988  df-psr1 22070  df-vr1 22071  df-ply1 22072  df-coe1 22073  df-evl1 22209  df-mdeg 25967  df-deg1 25968  df-mon1 26043  df-uc1p 26044  df-q1p 26045  df-r1p 26046

This theorem is referenced by: (None)