MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1b 25557
Description: The assumption that ๐‘… be a domain in fta1g 25555 is necessary. Here we show that the statement is strong enough to prove that ๐‘… is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
fta1b.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
fta1b.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
fta1b.o ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
fta1b.w ๐‘Š = (0gโ€˜๐‘…)
fta1b.z 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
fta1b (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘“   ๐ท,๐‘“   ๐‘“,๐‘‚   ๐‘…,๐‘“   ๐‘“,๐‘Š   ๐‘ƒ,๐‘“   0 ,๐‘“

Proof of Theorem fta1b
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isidom 20797 . . . 4 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ Domn))
21simplbi 499 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
31simprbi 498 . . . 4 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
4 domnnzr 20788 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
53, 4syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
6 fta1b.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
7 fta1b.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
8 fta1b.d . . . . 5 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
9 fta1b.o . . . . 5 ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
10 fta1b.w . . . . 5 ๐‘Š = (0gโ€˜๐‘…)
11 fta1b.z . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
12 simpl 484 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘… โˆˆ IDomn)
13 eldifsn 4751 . . . . . . 7 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘“ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โ‰  0 ))
1413simplbi 499 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ต)
1514adantl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ต)
1613simprbi 498 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘“ โ‰  0 )
1716adantl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘“ โ‰  0 )
186, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17fta1g 25555 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
1918ralrimiva 3140 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
202, 5, 193jca 1129 . 2 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
21 simp1 1137 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
22 simp2 1138 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
23 df-ne 2941 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š โ†” ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘Š)
24 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
26 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
28 simpll1 1213 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
29 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
30 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
31 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š)
32 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)
33 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
34 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘“) = (๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3534cnveqd 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) = โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3635imaeq1d 6016 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š}) = (โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š}))
3736fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})))
38 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘“) = (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3937, 38breq12d 5122 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“) โ†” (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
4039rspccv 3580 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“) โ†’ ((๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ((๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
426, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41fta1blem 25556 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š)
4342expr 458 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4423, 43biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4544orrd 862 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4645ex 414 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š)))
4746ralrimivva 3194 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š)))
4824, 25, 10isdomn 20787 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š))))
4922, 47, 48sylanbrc 584 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
5021, 49, 1sylanbrc 584 . 2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ IDomn)
5120, 50impbii 208 1 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   โˆ– cdif 3911  {csn 4590   class class class wbr 5109  โ—กccnv 5636   โ€œ cima 5640  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โ‰ค cle 11198  โ™ฏchash 14239  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ยท๐‘  cvsca 17145  0gc0g 17329  CRingccrg 19973  NzRingcnzr 20195  Domncdomn 20773  IDomncidom 20774  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571  eval1ce1 21703   deg1 cdg1 25439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-srg 19926  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-rnghom 20156  df-nzr 20196  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-rlreg 20776  df-domn 20777  df-idom 20778  df-cnfld 20820  df-assa 21282  df-asp 21283  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-evls 21505  df-evl 21506  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-coe1 21577  df-evl1 21705  df-mdeg 25440  df-deg1 25441  df-mon1 25518  df-uc1p 25519  df-q1p 25520  df-r1p 25521
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator