MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1b 25686
Description: The assumption that ๐‘… be a domain in fta1g 25684 is necessary. Here we show that the statement is strong enough to prove that ๐‘… is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
fta1b.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
fta1b.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
fta1b.o ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
fta1b.w ๐‘Š = (0gโ€˜๐‘…)
fta1b.z 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
fta1b (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘“   ๐ท,๐‘“   ๐‘“,๐‘‚   ๐‘…,๐‘“   ๐‘“,๐‘Š   ๐‘ƒ,๐‘“   0 ,๐‘“

Proof of Theorem fta1b
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isidom 20921 . . . 4 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ Domn))
21simplbi 498 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
31simprbi 497 . . . 4 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
4 domnnzr 20910 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
53, 4syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
6 fta1b.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
7 fta1b.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
8 fta1b.d . . . . 5 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
9 fta1b.o . . . . 5 ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
10 fta1b.w . . . . 5 ๐‘Š = (0gโ€˜๐‘…)
11 fta1b.z . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
12 simpl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘… โˆˆ IDomn)
13 eldifsn 4790 . . . . . . 7 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘“ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โ‰  0 ))
1413simplbi 498 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ต)
1514adantl 482 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ต)
1613simprbi 497 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘“ โ‰  0 )
1716adantl 482 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘“ โ‰  0 )
186, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17fta1g 25684 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
1918ralrimiva 3146 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
202, 5, 193jca 1128 . 2 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
21 simp1 1136 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
22 simp2 1137 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
23 df-ne 2941 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š โ†” ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘Š)
24 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
26 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
27 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
28 simpll1 1212 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
29 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
30 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
31 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š)
32 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)
33 simpll3 1214 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
34 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘“) = (๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3534cnveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) = โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3635imaeq1d 6058 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š}) = (โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š}))
3736fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})))
38 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘“) = (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3937, 38breq12d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“) โ†” (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
4039rspccv 3609 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“) โ†’ ((๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ((๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
426, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41fta1blem 25685 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š)
4342expr 457 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4423, 43biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4544orrd 861 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4645ex 413 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š)))
4746ralrimivva 3200 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š)))
4824, 25, 10isdomn 20909 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š))))
4922, 47, 48sylanbrc 583 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
5021, 49, 1sylanbrc 583 . 2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ IDomn)
5120, 50impbii 208 1 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   โˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  โ—กccnv 5675   โ€œ cima 5679  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โ‰ค cle 11248  โ™ฏchash 14289  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   ยท๐‘  cvsca 17200  0gc0g 17384  CRingccrg 20056  NzRingcnzr 20290  Domncdomn 20895  IDomncidom 20896  var1cv1 21699  Poly1cpl1 21700  eval1ce1 21832   deg1 cdg1 25568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-rnghom 20250  df-nzr 20291  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-rlreg 20898  df-domn 20899  df-idom 20900  df-cnfld 20944  df-assa 21407  df-asp 21408  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-opsr 21465  df-evls 21634  df-evl 21635  df-psr1 21703  df-vr1 21704  df-ply1 21705  df-coe1 21706  df-evl1 21834  df-mdeg 25569  df-deg1 25570  df-mon1 25647  df-uc1p 25648  df-q1p 25649  df-r1p 25650
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator