MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1b 25687
Description: The assumption that ๐‘… be a domain in fta1g 25685 is necessary. Here we show that the statement is strong enough to prove that ๐‘… is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1b.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
fta1b.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
fta1b.d ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
fta1b.o ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
fta1b.w ๐‘Š = (0gโ€˜๐‘…)
fta1b.z 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
fta1b (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘“   ๐ท,๐‘“   ๐‘“,๐‘‚   ๐‘…,๐‘“   ๐‘“,๐‘Š   ๐‘ƒ,๐‘“   0 ,๐‘“

Proof of Theorem fta1b
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isidom 20922 . . . 4 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ Domn))
21simplbi 499 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
31simprbi 498 . . . 4 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
4 domnnzr 20911 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
53, 4syl 17 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
6 fta1b.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
7 fta1b.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
8 fta1b.d . . . . 5 ๐ท = ( deg1 โ€˜๐‘…)
9 fta1b.o . . . . 5 ๐‘‚ = (eval1โ€˜๐‘…)
10 fta1b.w . . . . 5 ๐‘Š = (0gโ€˜๐‘…)
11 fta1b.z . . . . 5 0 = (0gโ€˜๐‘ƒ)
12 simpl 484 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘… โˆˆ IDomn)
13 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†” (๐‘“ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘“ โ‰  0 ))
1413simplbi 499 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ต)
1514adantl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘“ โˆˆ ๐ต)
1613simprbi 498 . . . . . 6 (๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐‘“ โ‰  0 )
1716adantl 483 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ ๐‘“ โ‰  0 )
186, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17fta1g 25685 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ IDomn โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
1918ralrimiva 3147 . . 3 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
202, 5, 193jca 1129 . 2 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†’ (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
21 simp1 1137 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
22 simp2 1138 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ NzRing)
23 df-ne 2942 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š โ†” ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘Š)
24 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
25 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
26 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (var1โ€˜๐‘…) = (var1โ€˜๐‘…)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
28 simpll1 1213 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
29 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
30 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
31 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š)
32 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)
33 simpll3 1215 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“))
34 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘“) = (๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3534cnveqd 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) = โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3635imaeq1d 6059 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š}) = (โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š}))
3736fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) = (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})))
38 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘“) = (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))))
3937, 38breq12d 5162 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“) โ†” (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
4039rspccv 3610 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“) โ†’ ((๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
4133, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ((๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)) โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ (โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…))) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜(๐‘ฅ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)(var1โ€˜๐‘…)))))
426, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41fta1blem 25686 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š)
4342expr 458 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘Š โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4423, 43biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (ยฌ ๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4544orrd 862 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š))
4645ex 414 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š)))
4746ralrimivva 3201 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š)))
4824, 25, 10isdomn 20910 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Domn โ†” (๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)((๐‘ฅ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = ๐‘Š โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘Š โˆจ ๐‘ฆ = ๐‘Š))))
4922, 47, 48sylanbrc 584 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
5021, 49, 1sylanbrc 584 . 2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)) โ†’ ๐‘… โˆˆ IDomn)
5120, 50impbii 208 1 (๐‘… โˆˆ IDomn โ†” (๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘… โˆˆ NzRing โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 })(โ™ฏโ€˜(โ—ก(๐‘‚โ€˜๐‘“) โ€œ {๐‘Š})) โ‰ค (๐ทโ€˜๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062   โˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  โ—กccnv 5676   โ€œ cima 5680  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ‰ค cle 11249  โ™ฏchash 14290  Basecbs 17144  .rcmulr 17198   ยท๐‘  cvsca 17201  0gc0g 17385  CRingccrg 20057  NzRingcnzr 20291  Domncdomn 20896  IDomncidom 20897  var1cv1 21700  Poly1cpl1 21701  eval1ce1 21833   deg1 cdg1 25569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-rlreg 20899  df-domn 20900  df-idom 20901  df-cnfld 20945  df-assa 21408  df-asp 21409  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-evls 21635  df-evl 21636  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-coe1 21707  df-evl1 21835  df-mdeg 25570  df-deg1 25571  df-mon1 25648  df-uc1p 25649  df-q1p 25650  df-r1p 25651
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator