Theorem fta1b 26158

Description: The assumption that 𝑅 be a domain in fta1g 26156 is necessary. Here we show that the statement is strong enough to prove that 𝑅 is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
fta1b	⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝑂   𝑅,𝑓   𝑓,𝑊   𝑃,𝑓   0 ,𝑓

Proof of Theorem fta1b

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isidom 20700	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
2	1	simplbi 498	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
3	1	simprbi 499	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4		domnnzr 20681	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6		fta1b.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		fta1b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
8		fta1b.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
9		fta1b.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
10		fta1b.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
11		fta1b.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ IDomn)
13		eldifsn 4721	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑓 ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 ≠ 0 ))
14	13	simplbi 498	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ∈ 𝐵)
15	14	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ∈ 𝐵)
16	13	simprbi 499	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑓 ≠ 0 )
17	16	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑓 ≠ 0 )
18	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 17	fta1g 26156	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
19	18	ralrimiva 3133	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
20	2, 5, 19	3jca 1135	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))
21		simp1 1143	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ CRing)
22		simp2 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ NzRing)
23		df-ne 2937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑊 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑊)
24		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
27		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
28		simpll1 1220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑅 ∈ CRing)
29		simplrl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
30		simplrr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
31		simprl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊)
32		simprr 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑥 ≠ 𝑊)
33		simpll3 1222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓))
34		fveq2 6830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝑂‘𝑓) = (𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
35	34	cnveqd 5819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ◡(𝑂‘𝑓) = ◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
36	35	imaeq1d 6017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊}) = (◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊}))
37	36	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) = (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})))
38		fveq2 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → (𝐷‘𝑓) = (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))))
39	37, 38	breq12d 5087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) ↔ (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
40	39	rspccv 3558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
41	33, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (♯‘(◡(𝑂‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅))) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)(var1‘𝑅)))))
42	6, 7, 8, 9, 10, 11, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 41	fta1blem 26157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 ∧ 𝑥 ≠ 𝑊)) → 𝑦 = 𝑊)
43	42	expr 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 ≠ 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
44	23, 43	biimtrrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (¬ 𝑥 = 𝑊 → 𝑦 = 𝑊))
45	44	orrd 870	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊) → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))
46	45	ex 414	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
47	46	ralrimivva 3184	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊)))
48	24, 25, 10	isdomn 20680	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑊 → (𝑥 = 𝑊 ∨ 𝑦 = 𝑊))))
49	22, 47, 48	sylanbrc 590	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	21, 49, 1	sylanbrc 590	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51	20, 50	impbii 211	1 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑓 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })(♯‘(◡(𝑂‘𝑓) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘𝑓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055   ∖ cdif 3881  {csn 4557   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ≤ cle 11176  ♯chash 14287  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397  CRingccrg 20209  NzRingcnzr 20487  Domncdomn 20667  IDomncidom 20668  var₁cv1 22164  Poly₁cpl1 22165  eval₁ce1 22303  deg₁cdg1 26040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-ofr 7624  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-rhm 20446  df-nzr 20488  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-rlreg 20669  df-domn 20670  df-idom 20671  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-cnfld 21351  df-assa 21831  df-asp 21832  df-ascl 21833  df-psr 21887  df-mvr 21888  df-mpl 21889  df-opsr 21891  df-evls 22053  df-evl 22054  df-psr1 22168  df-vr1 22169  df-ply1 22170  df-coe1 22171  df-evl1 22305  df-mdeg 26041  df-deg1 26042  df-mon1 26117  df-uc1p 26118  df-q1p 26119  df-r1p 26120

This theorem is referenced by: (None)