Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomrootle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomrootle 41237
Description: No element of an integral domain can have more than 𝑁 𝑁-th roots. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomrootle.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrootle.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
idomrootle ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑁   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   (𝑦)

Proof of Theorem idomrootle
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
2 eqid 2737 . . 3 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
3 eqid 2737 . . 3 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
4 eqid 2737 . . 3 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
5 eqid 2737 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2737 . . 3 (0g‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(Poly1𝑅))
7 simp1 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
8 isidom 20658 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
98simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
11 crngring 19870 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
131ply1ring 21502 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
15 ringgrp 19863 . . . . 5 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
17 eqid 2737 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(Poly1𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1𝑅))
1817ringmgp 19864 . . . . . . 7 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
1914, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
20 mndmgm 18469 . . . . . 6 ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
22 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
23 eqid 2737 . . . . . . 7 (var1𝑅) = (var1𝑅)
2423, 1, 2vr1cl 21471 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2512, 24syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2617, 2mgpbas 19801 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
27 eqid 2737 . . . . . 6 (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
2826, 27mulgnncl 18795 . . . . 5 (((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2921, 22, 25, 28syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
30 eqid 2737 . . . . . . 7 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
31 idomrootle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
321, 30, 31, 2ply1sclf 21539 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
3312, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
34 simp2 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
3533, 34ffvelcdmd 7002 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
36 eqid 2737 . . . . 5 (-g‘(Poly1𝑅)) = (-g‘(Poly1𝑅))
372, 36grpsubcl 18731 . . . 4 (((Poly1𝑅) ∈ Grp ∧ (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
3816, 29, 35, 37syl3anc 1370 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
393, 1, 2deg1xrcl 25330 . . . . . . . . . 10 (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
4035, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
41 0xr 11102 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
43 nnre 12060 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4443rexrd 11105 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
45443ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
463, 1, 31, 30deg1sclle 25360 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
4712, 34, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
48 nngt0 12084 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
49483ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
5040, 42, 45, 47, 49xrlelttrd 12974 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < 𝑁)
518simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
52 domnnzr 20649 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
547, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ NzRing)
55 nnnn0 12320 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
56553ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
573, 1, 23, 17, 27deg1pw 25368 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5950, 58breqtrrd 5115 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
601, 3, 12, 2, 36, 29, 35, 59deg1sub 25356 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
6160, 58eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = 𝑁)
6261, 56eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0)
633, 1, 6, 2deg1nn0clb 25338 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6412, 38, 63syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6562, 64mpbird 256 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 65fta1g 25415 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) ≤ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))))
67 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
68 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
6931fvexi 6826 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ V)
714, 1, 67, 31evl1rhm 21581 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
7210, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
732, 68rhmf 20045 . . . . . . . . 9 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7472, 73syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7574, 38ffvelcdmd 7002 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
7667, 31, 68, 7, 70, 75pwselbas 17277 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))):𝐵𝐵)
7776ffnd 6639 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵)
78 fniniseg2 6979 . . . . 5 (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵 → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
7977, 78syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
8010adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
81 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
824, 23, 31, 1, 2, 80, 81evl1vard 21586 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(var1𝑅))‘𝑦) = 𝑦))
83 idomrootle.e . . . . . . . . . 10 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
84 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
8584, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
864, 1, 31, 2, 80, 81, 82, 27, 83, 85evl1expd 21594 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)))‘𝑦) = (𝑁 𝑦)))
87 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑋𝐵)
884, 1, 31, 30, 2, 80, 87, 81evl1scad 21584 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))‘𝑦) = 𝑋))
89 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (-g𝑅) = (-g𝑅)
904, 1, 31, 2, 80, 81, 86, 88, 36, 89evl1subd 21591 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋)))
9190simprd 496 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋))
9291eqeq1d 2739 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
93 ringgrp 19863 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9412, 93syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
9594adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
96 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9796ringmgp 19864 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9812, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9998adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
100 mndmgm 18469 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
10296, 31mgpbas 19801 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
103102, 83mulgnncl 18795 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
104101, 84, 81, 103syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
10531, 5, 89grpsubeq0 18737 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10695, 104, 87, 105syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10792, 106bitrd 278 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
108107rabbidva 3411 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)} = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
10979, 108eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
110109fveq2d 6816 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) = (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}))
11166, 110, 613brtr3d 5118 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941  {crab 3404  Vcvv 3441  {csn 4571   class class class wbr 5087  ccnv 5607  cima 5611   Fn wfn 6461  wf 6462  cfv 6466  (class class class)co 7317  0cc0 10951  *cxr 11088   < clt 11089  cle 11090  cn 12053  0cn0 12313  chash 14124  Basecbs 16989  0gc0g 17227  s cpws 17234  Mgmcmgm 18401  Mndcmnd 18462  Grpcgrp 18653  -gcsg 18655  .gcmg 18776  mulGrpcmgp 19795  Ringcrg 19858  CRingccrg 19859   RingHom crh 20031  NzRingcnzr 20611  Domncdomn 20634  IDomncidom 20635  algSccascl 21142  var1cv1 21430  Poly1cpl1 21431  eval1ce1 21563   deg1 cdg1 25299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-addf 11030  ax-mulf 11031
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-ofr 7576  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-tpos 8091  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-oadd 8350  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-sup 9278  df-oi 9346  df-dju 9737  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-xnn0 12386  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-seq 13802  df-hash 14125  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-hom 17063  df-cco 17064  df-0g 17229  df-gsum 17230  df-prds 17235  df-pws 17237  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-acs 17375  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-mhm 18507  df-submnd 18508  df-grp 18656  df-minusg 18657  df-sbg 18658  df-mulg 18777  df-subg 18828  df-ghm 18908  df-cntz 18999  df-cmn 19463  df-abl 19464  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-srg 19817  df-ring 19860  df-cring 19861  df-oppr 19937  df-dvdsr 19958  df-unit 19959  df-invr 19989  df-rnghom 20034  df-subrg 20104  df-lmod 20208  df-lss 20277  df-lsp 20317  df-nzr 20612  df-rlreg 20637  df-domn 20638  df-idom 20639  df-cnfld 20681  df-assa 21143  df-asp 21144  df-ascl 21145  df-psr 21195  df-mvr 21196  df-mpl 21197  df-opsr 21199  df-evls 21365  df-evl 21366  df-psr1 21434  df-vr1 21435  df-ply1 21436  df-coe1 21437  df-evl1 21565  df-mdeg 25300  df-deg1 25301  df-mon1 25378  df-uc1p 25379  df-q1p 25380  df-r1p 25381
This theorem is referenced by:  idomodle  41238
  Copyright terms: Public domain W3C validator