Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomrootle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomrootle 39673
Description: No element of an integral domain can have more than 𝑁 𝑁-th roots. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomrootle.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrootle.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
idomrootle ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑁   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   (𝑦)

Proof of Theorem idomrootle
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
2 eqid 2818 . . 3 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
3 eqid 2818 . . 3 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
4 eqid 2818 . . 3 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
5 eqid 2818 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2818 . . 3 (0g‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(Poly1𝑅))
7 simp1 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
8 isidom 20005 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
98simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
11 crngring 19237 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
131ply1ring 20344 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
15 ringgrp 19231 . . . . 5 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
17 eqid 2818 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(Poly1𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1𝑅))
1817ringmgp 19232 . . . . . . 7 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
1914, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
20 mndmgm 17906 . . . . . 6 ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
22 simp3 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
23 eqid 2818 . . . . . . 7 (var1𝑅) = (var1𝑅)
2423, 1, 2vr1cl 20313 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2512, 24syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2617, 2mgpbas 19174 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
27 eqid 2818 . . . . . 6 (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
2826, 27mulgnncl 18181 . . . . 5 (((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2921, 22, 25, 28syl3anc 1363 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
30 eqid 2818 . . . . . . 7 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
31 idomrootle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
321, 30, 31, 2ply1sclf 20381 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
3312, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
34 simp2 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
3533, 34ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
36 eqid 2818 . . . . 5 (-g‘(Poly1𝑅)) = (-g‘(Poly1𝑅))
372, 36grpsubcl 18117 . . . 4 (((Poly1𝑅) ∈ Grp ∧ (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
3816, 29, 35, 37syl3anc 1363 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
393, 1, 2deg1xrcl 24603 . . . . . . . . . 10 (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
4035, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
41 0xr 10676 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
43 nnre 11633 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4443rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
45443ad2ant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
463, 1, 31, 30deg1sclle 24633 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
4712, 34, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
48 nngt0 11656 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
49483ad2ant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
5040, 42, 45, 47, 49xrlelttrd 12541 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < 𝑁)
518simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
52 domnnzr 19996 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
547, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ NzRing)
55 nnnn0 11892 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
56553ad2ant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
573, 1, 23, 17, 27deg1pw 24641 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5950, 58breqtrrd 5085 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
601, 3, 12, 2, 36, 29, 35, 59deg1sub 24629 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
6160, 58eqtrd 2853 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = 𝑁)
6261, 56eqeltrd 2910 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0)
633, 1, 6, 2deg1nn0clb 24611 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6412, 38, 63syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6562, 64mpbird 258 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 65fta1g 24688 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) ≤ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))))
67 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
68 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
6931fvexi 6677 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ V)
714, 1, 67, 31evl1rhm 20423 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
7210, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
732, 68rhmf 19407 . . . . . . . . 9 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7472, 73syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7574, 38ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
7667, 31, 68, 7, 70, 75pwselbas 16750 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))):𝐵𝐵)
7776ffnd 6508 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵)
78 fniniseg2 6824 . . . . 5 (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵 → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
7977, 78syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
8010adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
81 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
824, 23, 31, 1, 2, 80, 81evl1vard 20428 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(var1𝑅))‘𝑦) = 𝑦))
83 idomrootle.e . . . . . . . . . 10 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
84 simpl3 1185 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
8584, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
864, 1, 31, 2, 80, 81, 82, 27, 83, 85evl1expd 20436 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)))‘𝑦) = (𝑁 𝑦)))
87 simpl2 1184 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑋𝐵)
884, 1, 31, 30, 2, 80, 87, 81evl1scad 20426 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))‘𝑦) = 𝑋))
89 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (-g𝑅) = (-g𝑅)
904, 1, 31, 2, 80, 81, 86, 88, 36, 89evl1subd 20433 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋)))
9190simprd 496 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋))
9291eqeq1d 2820 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
93 ringgrp 19231 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9412, 93syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
9594adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
96 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9796ringmgp 19232 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9812, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9998adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
100 mndmgm 17906 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
10296, 31mgpbas 19174 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
103102, 83mulgnncl 18181 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
104101, 84, 81, 103syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
10531, 5, 89grpsubeq0 18123 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10695, 104, 87, 105syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10792, 106bitrd 280 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
108107rabbidva 3476 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)} = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
10979, 108eqtrd 2853 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
110109fveq2d 6667 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) = (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}))
11166, 110, 613brtr3d 5088 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  {crab 3139  Vcvv 3492  {csn 4557   class class class wbr 5057  ccnv 5547  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  0cn0 11885  chash 13678  Basecbs 16471  0gc0g 16701  s cpws 16708  Mgmcmgm 17838  Mndcmnd 17899  Grpcgrp 18041  -gcsg 18043  .gcmg 18162  mulGrpcmgp 19168  Ringcrg 19226  CRingccrg 19227   RingHom crh 19393  NzRingcnzr 19958  Domncdomn 19981  IDomncidom 19982  algSccascl 20012  var1cv1 20272  Poly1cpl1 20273  eval1ce1 20405   deg1 cdg1 24575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-srg 19185  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-rnghom 19396  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-nzr 19959  df-rlreg 19984  df-domn 19985  df-idom 19986  df-assa 20013  df-asp 20014  df-ascl 20015  df-psr 20064  df-mvr 20065  df-mpl 20066  df-opsr 20068  df-evls 20214  df-evl 20215  df-psr1 20276  df-vr1 20277  df-ply1 20278  df-coe1 20279  df-evl1 20407  df-cnfld 20474  df-mdeg 24576  df-deg1 24577  df-mon1 24651  df-uc1p 24652  df-q1p 24653  df-r1p 24654
This theorem is referenced by:  idomodle  39674
  Copyright terms: Public domain W3C validator