MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idomrootle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomrootle 26226
Description: No element of an integral domain can have more than 𝑁 𝑁-th roots. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomrootle.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrootle.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
idomrootle ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑁   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   (𝑦)

Proof of Theorem idomrootle
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
2 eqid 2734 . . 3 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
3 eqid 2734 . . 3 (deg1𝑅) = (deg1𝑅)
4 eqid 2734 . . 3 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
5 eqid 2734 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2734 . . 3 (0g‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(Poly1𝑅))
7 simp1 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
8 isidom 20741 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
98simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
11 crngring 20262 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
131ply1ring 22264 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
15 ringgrp 20255 . . . . 5 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
17 eqid 2734 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(Poly1𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1𝑅))
1817ringmgp 20256 . . . . . . 7 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
1914, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
20 mndmgm 18766 . . . . . 6 ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
22 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
23 eqid 2734 . . . . . . 7 (var1𝑅) = (var1𝑅)
2423, 1, 2vr1cl 22234 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2512, 24syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2617, 2mgpbas 20157 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
27 eqid 2734 . . . . . 6 (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
2826, 27mulgnncl 19119 . . . . 5 (((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2921, 22, 25, 28syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
30 eqid 2734 . . . . . . 7 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
31 idomrootle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
321, 30, 31, 2ply1sclf 22303 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
3312, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
34 simp2 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
3533, 34ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
36 eqid 2734 . . . . 5 (-g‘(Poly1𝑅)) = (-g‘(Poly1𝑅))
372, 36grpsubcl 19050 . . . 4 (((Poly1𝑅) ∈ Grp ∧ (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
3816, 29, 35, 37syl3anc 1370 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
393, 1, 2deg1xrcl 26135 . . . . . . . . . 10 (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
4035, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
41 0xr 11305 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
43 nnre 12270 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4443rexrd 11308 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
45443ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
463, 1, 31, 30deg1sclle 26165 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
4712, 34, 46syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
48 nngt0 12294 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
49483ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
5040, 42, 45, 47, 49xrlelttrd 13198 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < 𝑁)
518simprbi 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
52 domnnzr 20722 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
547, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ NzRing)
55 nnnn0 12530 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
56553ad2ant3 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
573, 1, 23, 17, 27deg1pw 26174 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5854, 56, 57syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5950, 58breqtrrd 5175 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < ((deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
601, 3, 12, 2, 36, 29, 35, 59deg1sub 26161 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = ((deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
6160, 58eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = 𝑁)
6261, 56eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0)
633, 1, 6, 2deg1nn0clb 26143 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ ((deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6412, 38, 63syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ ((deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6562, 64mpbird 257 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 65fta1g 26223 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) ≤ ((deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))))
67 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
68 eqid 2734 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
6931fvexi 6920 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ V)
714, 1, 67, 31evl1rhm 22351 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
7210, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
732, 68rhmf 20501 . . . . . . . . 9 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7472, 73syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7574, 38ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
7667, 31, 68, 7, 70, 75pwselbas 17535 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))):𝐵𝐵)
7776ffnd 6737 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵)
78 fniniseg2 7081 . . . . 5 (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵 → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
7977, 78syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
8010adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
81 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
824, 23, 31, 1, 2, 80, 81evl1vard 22356 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(var1𝑅))‘𝑦) = 𝑦))
83 idomrootle.e . . . . . . . . . 10 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
84 simpl3 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
8584, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
864, 1, 31, 2, 80, 81, 82, 27, 83, 85evl1expd 22364 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)))‘𝑦) = (𝑁 𝑦)))
87 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑋𝐵)
884, 1, 31, 30, 2, 80, 87, 81evl1scad 22354 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))‘𝑦) = 𝑋))
89 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (-g𝑅) = (-g𝑅)
904, 1, 31, 2, 80, 81, 86, 88, 36, 89evl1subd 22361 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋)))
9190simprd 495 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋))
9291eqeq1d 2736 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
93 ringgrp 20255 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9412, 93syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
9594adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
96 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9796ringmgp 20256 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9812, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9998adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
100 mndmgm 18766 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
10296, 31mgpbas 20157 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
103102, 83mulgnncl 19119 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
104101, 84, 81, 103syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
10531, 5, 89grpsubeq0 19056 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10695, 104, 87, 105syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10792, 106bitrd 279 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
108107rabbidva 3439 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)} = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
10979, 108eqtrd 2774 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
110109fveq2d 6910 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) = (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}))
11166, 110, 613brtr3d 5178 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  {crab 3432  Vcvv 3477  {csn 4630   class class class wbr 5147  ccnv 5687  cima 5691   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  0cn0 12523  chash 14365  Basecbs 17244  0gc0g 17485  s cpws 17492  Mgmcmgm 18663  Mndcmnd 18759  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  .gcmg 19097  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251   RingHom crh 20485  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20708  IDomncidom 20709  algSccascl 21889  var1cv1 22192  Poly1cpl1 22193  eval1ce1 22333  deg1cdg1 26107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-rhm 20488  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-idom 20712  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-cnfld 21382  df-assa 21890  df-asp 21891  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-evl1 22335  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-mon1 26184  df-uc1p 26185  df-q1p 26186  df-r1p 26187
This theorem is referenced by:  unitscyglem5  42180  idomodle  43179
  Copyright terms: Public domain W3C validator