Theorem idomrootle 40723

Description: No element of an integral domain can have more than 𝑁 𝑁-th roots. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomrootle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrootle.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomrootle	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑁   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   ↑ (𝑦)

Proof of Theorem idomrootle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7		simp1 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
8		isidom 20342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
9	8	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
11		crngring 19574	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
13	1	ply1ring 21169	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
15		ringgrp 19567	. . . . 5 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1‘𝑅) ∈ Grp)
17		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
18	17	ringmgp 19568	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
19	14, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
20		mndmgm 18180	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mgm)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mgm)
22		simp3 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
24	23, 1, 2	vr1cl 21138	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
25	12, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
26	17, 2	mgpbas 19510	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
28	26, 27	mulgnncl 18507	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
29	21, 22, 25, 28	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
31		idomrootle.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
32	1, 30, 31, 2	ply1sclf 21206	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1‘𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1‘𝑅)))
33	12, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (algSc‘(Poly1‘𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1‘𝑅)))
34		simp2 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
35	33, 34	ffvelrnd 6905	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
36		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (-g‘(Poly1‘𝑅)) = (-g‘(Poly1‘𝑅))
37	2, 36	grpsubcl 18443	. . . 4 ⊢ (((Poly1‘𝑅) ∈ Grp ∧ (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
38	16, 29, 35, 37	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
39	3, 1, 2	deg1xrcl 24980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
41		0xr 10880	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
43		nnre 11837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	rexrd 10883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
45	44	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
46	3, 1, 31, 30	deg1sclle 25010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
47	12, 34, 46	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
48		nngt0 11861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
49	48	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
50	40, 42, 45, 47, 49	xrlelttrd 12750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) < 𝑁)
51	8	simprbi 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
52		domnnzr 20333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
54	7, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ NzRing)
55		nnnn0 12097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
56	55	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
57	3, 1, 23, 17, 27	deg1pw 25018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))) = 𝑁)
58	54, 56, 57	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))) = 𝑁)
59	50, 58	breqtrrd 5081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) < (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))))
60	1, 3, 12, 2, 36, 29, 35, 59	deg1sub 25006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) = (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))))
61	60, 58	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) = 𝑁)
62	61, 56	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0)
63	3, 1, 6, 2	deg1nn0clb 24988	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
64	12, 38, 63	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
65	62, 64	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 65	fta1g 25065	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)})) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))))
67		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
68		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
69	31	fvexi 6731	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ V)
71	4, 1, 67, 31	evl1rhm 21248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
72	10, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
73	2, 68	rhmf 19746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
75	74, 38	ffvelrnd 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
76	67, 31, 68, 7, 70, 75	pwselbas 16994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))):𝐵⟶𝐵)
77	76	ffnd 6546	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵)
78		fniniseg2 6882	. . . . 5 ⊢ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵 → (◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅)})
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅)})
80	10	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
81		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
82	4, 23, 31, 1, 2, 80, 81	evl1vard 21253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘(var1‘𝑅))‘𝑦) = 𝑦))
83		idomrootle.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
84		simpl3 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
85	84, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
86	4, 1, 31, 2, 80, 81, 82, 27, 83, 85	evl1expd 21261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)))‘𝑦) = (𝑁 ↑ 𝑦)))
87		simpl2 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
88	4, 1, 31, 30, 2, 80, 87, 81	evl1scad 21251	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))‘𝑦) = 𝑋))
89		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
90	4, 1, 31, 2, 80, 81, 86, 88, 36, 89	evl1subd 21258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋)))
91	90	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋))
92	91	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
93		ringgrp 19567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
94	12, 93	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
95	94	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
96		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
97	96	ringmgp 19568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
98	12, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
99	98	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
100		mndmgm 18180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
102	96, 31	mgpbas 19510	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
103	102, 83	mulgnncl 18507	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ 𝑦) ∈ 𝐵)
104	101, 84, 81, 103	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ 𝑦) ∈ 𝐵)
105	31, 5, 89	grpsubeq0 18449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋))
106	95, 104, 87, 105	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋))
107	92, 106	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋))
108	107	rabbidva 3388	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅)} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋})
109	79, 108	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋})
110	109	fveq2d 6721	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)})) = (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋}))
111	66, 110, 61	3brtr3d 5084	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  {crab 3065  Vcvv 3408  {csn 4541   class class class wbr 5053  ^◡ccnv 5550   “ cima 5554   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090  ♯chash 13896  Basecbs 16760  0_gc0g 16944   ↑_s cpws 16951  Mgmcmgm 18112  Mndcmnd 18173  Grpcgrp 18365  -_gcsg 18367  ._gcmg 18488  mulGrpcmgp 19504  Ringcrg 19562  CRingccrg 19563   RingHom crh 19732  NzRingcnzr 20295  Domncdomn 20318  IDomncidom 20319  algSccascl 20814  var₁cv1 21097  Poly₁cpl1 21098  eval₁ce1 21230   deg₁ cdg1 24949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-prds 16952  df-pws 16954  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-srg 19521  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-rnghom 19735  df-subrg 19798  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-nzr 20296  df-rlreg 20321  df-domn 20322  df-idom 20323  df-cnfld 20364  df-assa 20815  df-asp 20816  df-ascl 20817  df-psr 20868  df-mvr 20869  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-evls 21032  df-evl 21033  df-psr1 21101  df-vr1 21102  df-ply1 21103  df-coe1 21104  df-evl1 21232  df-mdeg 24950  df-deg1 24951  df-mon1 25028  df-uc1p 25029  df-q1p 25030  df-r1p 25031

This theorem is referenced by:  idomodle  40724