Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomrootle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomrootle 40182
 Description: No element of an integral domain can have more than 𝑁 𝑁-th roots. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomrootle.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrootle.e = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
idomrootle ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑁   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   (𝑦)

Proof of Theorem idomrootle
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . 3 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
2 eqid 2798 . . 3 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
3 eqid 2798 . . 3 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
4 eqid 2798 . . 3 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
5 eqid 2798 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2798 . . 3 (0g‘(Poly1𝑅)) = (0g‘(Poly1𝑅))
7 simp1 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
8 isidom 20074 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
98simplbi 501 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
11 crngring 19306 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
131ply1ring 20887 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Ring)
15 ringgrp 19299 . . . . 5 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1𝑅) ∈ Grp)
17 eqid 2798 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(Poly1𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1𝑅))
1817ringmgp 19300 . . . . . . 7 ((Poly1𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
1914, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd)
20 mndmgm 17913 . . . . . 6 ((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mnd → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm)
22 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
23 eqid 2798 . . . . . . 7 (var1𝑅) = (var1𝑅)
2423, 1, 2vr1cl 20856 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2512, 24syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2617, 2mgpbas 19242 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
27 eqid 2798 . . . . . 6 (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))
2826, 27mulgnncl 18239 . . . . 5 (((mulGrp‘(Poly1𝑅)) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
2921, 22, 25, 28syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
30 eqid 2798 . . . . . . 7 (algSc‘(Poly1𝑅)) = (algSc‘(Poly1𝑅))
31 idomrootle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
321, 30, 31, 2ply1sclf 20924 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
3312, 32syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (algSc‘(Poly1𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1𝑅)))
34 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
3533, 34ffvelrnd 6830 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
36 eqid 2798 . . . . 5 (-g‘(Poly1𝑅)) = (-g‘(Poly1𝑅))
372, 36grpsubcl 18175 . . . 4 (((Poly1𝑅) ∈ Grp ∧ (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
3816, 29, 35, 37syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)))
393, 1, 2deg1xrcl 24693 . . . . . . . . . 10 (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
4035, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
41 0xr 10680 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
43 nnre 11635 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
4443rexrd 10683 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
45443ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
463, 1, 31, 30deg1sclle 24723 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
4712, 34, 46syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
48 nngt0 11659 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
49483ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
5040, 42, 45, 47, 49xrlelttrd 12544 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < 𝑁)
518simprbi 500 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
52 domnnzr 20065 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
547, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ NzRing)
55 nnnn0 11895 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
56553ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
573, 1, 23, 17, 27deg1pw 24731 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5854, 56, 57syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))) = 𝑁)
5950, 58breqtrrd 5059 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) < (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
601, 3, 12, 2, 36, 29, 35, 59deg1sub 24719 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = (( deg1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))))
6160, 58eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) = 𝑁)
6261, 56eqeltrd 2890 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0)
633, 1, 6, 2deg1nn0clb 24701 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6412, 38, 63syl2anc 587 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)) ↔ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
6562, 64mpbird 260 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1𝑅)))
661, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 65fta1g 24778 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) ≤ (( deg1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))))
67 eqid 2798 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
68 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
6931fvexi 6660 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
7069a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ V)
714, 1, 67, 31evl1rhm 20966 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
7210, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
732, 68rhmf 19478 . . . . . . . . 9 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7472, 73syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
7574, 38ffvelrnd 6830 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐵)))
7667, 31, 68, 7, 70, 75pwselbas 16757 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))):𝐵𝐵)
7776ffnd 6489 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵)
78 fniniseg2 6810 . . . . 5 (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵 → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
7977, 78syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)})
8010adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
81 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
824, 23, 31, 1, 2, 80, 81evl1vard 20971 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((var1𝑅) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(var1𝑅))‘𝑦) = 𝑦))
83 idomrootle.e . . . . . . . . . 10 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
84 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
8584, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
864, 1, 31, 2, 80, 81, 82, 27, 83, 85evl1expd 20979 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅)))‘𝑦) = (𝑁 𝑦)))
87 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑋𝐵)
884, 1, 31, 30, 2, 80, 87, 81evl1scad 20969 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))‘𝑦) = 𝑋))
89 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (-g𝑅) = (-g𝑅)
904, 1, 31, 2, 80, 81, 86, 88, 36, 89evl1subd 20976 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋)))
9190simprd 499 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋))
9291eqeq1d 2800 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ ((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
93 ringgrp 19299 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
9412, 93syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
9594adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
96 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
9796ringmgp 19300 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9812, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9998adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
100 mndmgm 17913 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
10296, 31mgpbas 19242 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
103102, 83mulgnncl 18239 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
104101, 84, 81, 103syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵)
10531, 5, 89grpsubeq0 18181 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑁 𝑦) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10695, 104, 87, 105syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑁 𝑦)(-g𝑅)𝑋) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
10792, 106bitrd 282 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → ((((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝑦) = 𝑋))
108107rabbidva 3425 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → {𝑦𝐵 ∣ (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g𝑅)} = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
10979, 108eqtrd 2833 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)}) = {𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋})
110109fveq2d 6650 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(((eval1𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝑅)))(var1𝑅))(-g‘(Poly1𝑅))((algSc‘(Poly1𝑅))‘𝑋))) “ {(0g𝑅)})) = (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}))
11166, 110, 613brtr3d 5062 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦𝐵 ∣ (𝑁 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110  Vcvv 3441  {csn 4525   class class class wbr 5031  ◡ccnv 5519   “ cima 5523   Fn wfn 6320  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℕcn 11628  ℕ0cn0 11888  ♯chash 13689  Basecbs 16478  0gc0g 16708   ↑s cpws 16715  Mgmcmgm 17845  Mndcmnd 17906  Grpcgrp 18098  -gcsg 18100  .gcmg 18220  mulGrpcmgp 19236  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295   RingHom crh 19464  NzRingcnzr 20027  Domncdomn 20050  IDomncidom 20051  algSccascl 20546  var1cv1 20815  Poly1cpl1 20816  eval1ce1 20948   deg1 cdg1 24665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-ofr 7392  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-oi 8961  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13690  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-srg 19253  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-nzr 20028  df-rlreg 20053  df-domn 20054  df-idom 20055  df-cnfld 20096  df-assa 20547  df-asp 20548  df-ascl 20549  df-psr 20600  df-mvr 20601  df-mpl 20602  df-opsr 20604  df-evls 20751  df-evl 20752  df-psr1 20819  df-vr1 20820  df-ply1 20821  df-coe1 20822  df-evl1 20950  df-mdeg 24666  df-deg1 24667  df-mon1 24741  df-uc1p 24742  df-q1p 24743  df-r1p 24744 This theorem is referenced by:  idomodle  40183
 Copyright terms: Public domain W3C validator