Theorem idomrootle 39280

Description: No element of an integral domain can have more than 𝑁 𝑁-th roots. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomrootle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
idomrootle.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomrootle	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑁   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   ↑ (𝑦)

Proof of Theorem idomrootle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2795	. . 3 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2795	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
3		eqid 2795	. . 3 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
4		eqid 2795	. . 3 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
5		eqid 2795	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2795	. . 3 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
7		simp1 1129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
8		isidom 19766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
9	8	simplbi 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
11		crngring 18998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
13	1	ply1ring 20099	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
15		ringgrp 18992	. . . . 5 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (Poly1‘𝑅) ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (Poly1‘𝑅) ∈ Grp)
17		eqid 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
18	17	ringmgp 18993	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
19	14, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
20		mndmgm 17739	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mgm)
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mgm)
22		simp3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
23		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (var1‘𝑅) = (var1‘𝑅)
24	23, 1, 2	vr1cl 20068	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
25	12, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
26	17, 2	mgpbas 18935	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
27		eqid 2795	. . . . . 6 ⊢ (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
28	26, 27	mulgnncl 17998	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
29	21, 22, 25, 28	syl3anc 1364	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
30		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
31		idomrootle.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
32	1, 30, 31, 2	ply1sclf 20136	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘(Poly1‘𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1‘𝑅)))
33	12, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (algSc‘(Poly1‘𝑅)):𝐵⟶(Base‘(Poly1‘𝑅)))
34		simp2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
35	33, 34	ffvelrnd 6717	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
36		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (-g‘(Poly1‘𝑅)) = (-g‘(Poly1‘𝑅))
37	2, 36	grpsubcl 17936	. . . 4 ⊢ (((Poly1‘𝑅) ∈ Grp ∧ (𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
38	16, 29, 35, 37	syl3anc 1364	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
39	3, 1, 2	deg1xrcl 24359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ ℝ*)
41		0xr 10534	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
43		nnre 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	rexrd 10537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
45	44	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
46	3, 1, 31, 30	deg1sclle 24389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
47	12, 34, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≤ 0)
48		nngt0 11516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
49	48	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
50	40, 42, 45, 47, 49	xrlelttrd 12403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) < 𝑁)
51	8	simprbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
52		domnnzr 19757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
54	7, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ NzRing)
55		nnnn0 11752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
56	55	3ad2ant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
57	3, 1, 23, 17, 27	deg1pw 24397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))) = 𝑁)
58	54, 56, 57	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))) = 𝑁)
59	50, 58	breqtrrd 4990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) < (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))))
60	1, 3, 12, 2, 36, 29, 35, 59	deg1sub 24385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) = (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))))
61	60, 58	eqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) = 𝑁)
62	61, 56	eqeltrd 2883	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0)
63	3, 1, 6, 2	deg1nn0clb 24367	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
64	12, 38, 63	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ ℕ0))
65	62, 64	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 65	fta1g 24444	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)})) ≤ (( deg1 ‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))))
67		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
68		eqid 2795	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
69	31	fvexi 6552	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
70	69	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ V)
71	4, 1, 67, 31	evl1rhm 20177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
72	10, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
73	2, 68	rhmf 19168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
75	74, 38	ffvelrnd 6717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
76	67, 31, 68, 7, 70, 75	pwselbas 16591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))):𝐵⟶𝐵)
77	76	ffnd 6383	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵)
78		fniniseg2 6697	. . . . 5 ⊢ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) Fn 𝐵 → (◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅)})
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅)})
80	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CRing)
81		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
82	4, 23, 31, 1, 2, 80, 81	evl1vard 20182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((var1‘𝑅) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘(var1‘𝑅))‘𝑦) = 𝑦))
83		idomrootle.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
84		simpl3 1186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
85	84, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
86	4, 1, 31, 2, 80, 81, 82, 27, 83, 85	evl1expd 20190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘(𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅)))‘𝑦) = (𝑁 ↑ 𝑦)))
87		simpl2 1185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
88	4, 1, 31, 30, 2, 80, 87, 81	evl1scad 20180	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))‘𝑦) = 𝑋))
89		eqid 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
90	4, 1, 31, 2, 80, 81, 86, 88, 36, 89	evl1subd 20187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋)))
91	90	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = ((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋))
92	91	eqeq1d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
93		ringgrp 18992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
94	12, 93	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Grp)
95	94	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
96		eqid 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
97	96	ringmgp 18993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
98	12, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
99	98	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
100		mndmgm 17739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
102	96, 31	mgpbas 18935	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
103	102, 83	mulgnncl 17998	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ 𝑦) ∈ 𝐵)
104	101, 84, 81, 103	syl3anc 1364	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑁 ↑ 𝑦) ∈ 𝐵)
105	31, 5, 89	grpsubeq0 17942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑁 ↑ 𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋))
106	95, 104, 87, 105	syl3anc 1364	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝑁 ↑ 𝑦)(-g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋))
107	92, 106	bitrd 280	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋))
108	107	rabbidva 3424	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋)))‘𝑦) = (0g‘𝑅)} = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋})
109	79, 108	eqtrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)}) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋})
110	109	fveq2d 6542	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘(◡((eval1‘𝑅)‘((𝑁(.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))(var1‘𝑅))(-g‘(Poly1‘𝑅))((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘𝑋))) “ {(0g‘𝑅)})) = (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋}))
111	66, 110, 61	3brtr3d 4993	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁 ↑ 𝑦) = 𝑋}) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  {crab 3109  Vcvv 3437  {csn 4472   class class class wbr 4962  ^◡ccnv 5442   “ cima 5446   Fn wfn 6220  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  ℝ^*cxr 10520   < clt 10521   ≤ cle 10522  ℕcn 11486  ℕ₀cn0 11745  ♯chash 13540  Basecbs 16312  0_gc0g 16542   ↑_s cpws 16549  Mgmcmgm 17679  Mndcmnd 17733  Grpcgrp 17861  -_gcsg 17863  ._gcmg 17981  mulGrpcmgp 18929  Ringcrg 18987  CRingccrg 18988   RingHom crh 19154  NzRingcnzr 19719  Domncdomn 19742  IDomncidom 19743  algSccascl 19773  var₁cv1 20027  Poly₁cpl1 20028  eval₁ce1 20160   deg₁ cdg1 24331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-prds 16550  df-pws 16552  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-srg 18946  df-ring 18989  df-cring 18990  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-rnghom 19157  df-subrg 19223  df-lmod 19326  df-lss 19394  df-lsp 19434  df-nzr 19720  df-rlreg 19745  df-domn 19746  df-idom 19747  df-assa 19774  df-asp 19775  df-ascl 19776  df-psr 19824  df-mvr 19825  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-evls 19973  df-evl 19974  df-psr1 20031  df-vr1 20032  df-ply1 20033  df-coe1 20034  df-evl1 20162  df-cnfld 20228  df-mdeg 24332  df-deg1 24333  df-mon1 24407  df-uc1p 24408  df-q1p 24409  df-r1p 24410

This theorem is referenced by:  idomodle  39281