MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1domn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1domn 25980
Description: Corollary of deg1mul2 25971: the univariate polynomials over a domain are a domain. This is true for multivariate but with a much more complicated proof. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1domn (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Proof of Theorem ply1domn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 21194 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2 ply1domn.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1nz 25978 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
5 neanior 3027 . . . . 5 ((𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃)) ↔ ¬ (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃)))
6 eqid 2724 . . . . . . . . 9 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
7 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (.r𝑃) = (.r𝑃)
10 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (0g𝑃) = (0g𝑃)
11 domnring 21195 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
1211ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑅 ∈ Ring)
13 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
14 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑥 ≠ (0g𝑃))
15 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑅 ∈ Domn)
16 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (coe1𝑥) = (coe1𝑥)
176, 2, 10, 8, 7, 16deg1ldgdomn 25951 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑃)) → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
1815, 13, 14, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
19 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
20 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑦 ≠ (0g𝑃))
216, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19, 20deg1mul2 25971 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦)))
226, 2, 10, 8deg1nn0cl 25945 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
2312, 13, 14, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (( deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
246, 2, 10, 8deg1nn0cl 25945 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
2512, 19, 20, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (( deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
2623, 25nn0addcld 12532 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → ((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
2721, 26eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
282ply1ring 22088 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
2911, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
3029ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
318, 9ringcl 20144 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
3230, 13, 19, 31syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
336, 2, 10, 8deg1nn0clb 25947 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
3412, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
3527, 34mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃))
3635ex 412 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥 ≠ (0g𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃)))
375, 36biimtrrid 242 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (¬ (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃)))
3837necon4bd 2952 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) = (0g𝑃) → (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃))))
3938ralrimivva 3192 . 2 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r𝑃)𝑦) = (0g𝑃) → (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃))))
408, 9, 10isdomn 21193 . 2 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r𝑃)𝑦) = (0g𝑃) → (𝑥 = (0g𝑃) ∨ 𝑦 = (0g𝑃)))))
414, 39, 40sylanbrc 582 1 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  cfv 6533  (class class class)co 7401   + caddc 11108  0cn0 12468  Basecbs 17142  .rcmulr 17196  0gc0g 17383  Ringcrg 20127  NzRingcnzr 20403  RLRegcrlreg 21178  Domncdomn 21179  Poly1cpl1 22018  coe1cco1 22019   deg1 cdg1 25908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-prds 17391  df-pws 17393  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mhm 18702  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18985  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-nzr 20404  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-rlreg 21182  df-domn 21183  df-cnfld 21228  df-ascl 21717  df-psr 21770  df-mvr 21771  df-mpl 21772  df-opsr 21774  df-psr1 22021  df-vr1 22022  df-ply1 22023  df-coe1 22024  df-mdeg 25909  df-deg1 25910
This theorem is referenced by:  ply1idom  25981  r1pid2  33111  minplyirred  33216  deg1mhm  42404
  Copyright terms: Public domain W3C validator