Theorem ply1domn 26103

Description: Corollary of deg1mul2 26093: the univariate polynomials over a domain are a domain. This is true for multivariate but with a much more complicated proof. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1domn	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Proof of Theorem ply1domn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20678	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		ply1domn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1nz 26101	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
5		neanior 3026	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) ↔ ¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))
6		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
10		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11		domnring 20679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplrl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
14		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
15		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Domn)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
17	6, 2, 10, 8, 7, 16	deg1ldgdomn 26073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
18	15, 13, 14, 17	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
19		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
20		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
21	6, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19, 20	deg1mul2 26093	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)))
22	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 26067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	12, 13, 14, 22	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
24	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 26067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
25	12, 19, 20, 24	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
26	23, 25	nn0addcld 12497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
27	21, 26	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
28	2	ply1ring 22225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
29	11, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	29	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
31	8, 9	ringcl 20226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
32	30, 13, 19, 31	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
33	6, 2, 10, 8	deg1nn0clb 26069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
34	12, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
35	27, 34	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
36	35	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
37	5, 36	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
38	37	necon4bd 2953	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
39	38	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
40	8, 9, 10	isdomn 20677	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))))
41	4, 39, 40	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   + caddc 11036  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Ringcrg 20209  NzRingcnzr 20484  RLRegcrlreg 20663  Domncdomn 20664  Poly₁cpl1 22154  coe₁cco1 22155  deg₁cdg1 26033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-nzr 20485  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-rlreg 20666  df-domn 20667  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-cnfld 21349  df-ascl 21849  df-psr 21903  df-mvr 21904  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-psr1 22157  df-vr1 22158  df-ply1 22159  df-coe1 22160  df-mdeg 26034  df-deg1 26035

This theorem is referenced by:  ply1idom  26104  r1pid2  26141  r1pid2OLD  33688  minplyirred  33875  r1peuqusdeg1  35845  aks6d1c5lem3  42596  deg1mhm  43652