Theorem ply1domn 24837

Description: Corollary of deg1mul2 24828: the univariate polynomials over a domain are a domain. This is true for multivariate but with a much more complicated proof. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1domn	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Proof of Theorem ply1domn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20150	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		ply1domn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1nz 24835	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
5		neanior 3043	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) ↔ ¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))
6		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
7		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
10		eqid 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11		domnring 20151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
14		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
15		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Domn)
16		eqid 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
17	6, 2, 10, 8, 7, 16	deg1ldgdomn 24808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
18	15, 13, 14, 17	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
19		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
20		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
21	6, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19, 20	deg1mul2 24828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) + (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦)))
22	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 24802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	12, 13, 14, 22	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
24	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 24802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
25	12, 19, 20, 24	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
26	23, 25	nn0addcld 12011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) + (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
27	21, 26	eqeltrd 2852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
28	2	ply1ring 20986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
29	11, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
31	8, 9	ringcl 19396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
32	30, 13, 19, 31	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
33	6, 2, 10, 8	deg1nn0clb 24804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
34	12, 32, 33	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
35	27, 34	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
36	35	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
37	5, 36	syl5bir 246	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
38	37	necon4bd 2971	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
39	38	ralrimivva 3120	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
40	8, 9, 10	isdomn 20149	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))))
41	4, 39, 40	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   + caddc 10591  ℕ₀cn0 11947  Basecbs 16555  ._rcmulr 16638  0_gc0g 16785  Ringcrg 19379  NzRingcnzr 20112  RLRegcrlreg 20134  Domncdomn 20135  Poly₁cpl1 20915  coe₁cco1 20916   deg₁ cdg1 24765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-mhm 18036  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-mulg 18306  df-subg 18357  df-ghm 18437  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-cring 19382  df-subrg 19615  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-nzr 20113  df-rlreg 20138  df-domn 20139  df-cnfld 20181  df-ascl 20634  df-psr 20685  df-mvr 20686  df-mpl 20687  df-opsr 20689  df-psr1 20918  df-vr1 20919  df-ply1 20920  df-coe1 20921  df-mdeg 24766  df-deg1 24767

This theorem is referenced by:  ply1idom  24838  deg1mhm  40569