Theorem ply1domn 24289

Description: Corollary of deg1mul2 24280: the univariate polynomials over a domain are a domain. This is true for multivariate but with a much more complicated proof. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1domn	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Proof of Theorem ply1domn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 19663	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		ply1domn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1nz 24287	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
5		neanior 3091	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) ↔ ¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))
6		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
7		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
10		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11		domnring 19664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplrl 795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
14		simprl 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
15		simpll 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Domn)
16		eqid 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
17	6, 2, 10, 8, 7, 16	deg1ldgdomn 24260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
18	15, 13, 14, 17	syl3anc 1494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((coe1‘𝑥)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
19		simplrr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
20		simprr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
21	6, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19, 20	deg1mul2 24280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) + (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦)))
22	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 24254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	12, 13, 14, 22	syl3anc 1494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
24	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 24254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
25	12, 19, 20, 24	syl3anc 1494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
26	23, 25	nn0addcld 11689	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((( deg1 ‘𝑅)‘𝑥) + (( deg1 ‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
27	21, 26	eqeltrd 2906	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
28	2	ply1ring 19985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
29	11, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	29	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
31	8, 9	ringcl 18922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
32	30, 13, 19, 31	syl3anc 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
33	6, 2, 10, 8	deg1nn0clb 24256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
34	12, 32, 33	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ (( deg1 ‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
35	27, 34	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
36	35	ex 403	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
37	5, 36	syl5bir 235	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
38	37	necon4bd 3019	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
39	38	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
40	8, 9, 10	isdomn 19662	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))))
41	4, 39, 40	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   + caddc 10262  ℕ₀cn0 11625  Basecbs 16229  ._rcmulr 16313  0_gc0g 16460  Ringcrg 18908  NzRingcnzr 19625  RLRegcrlreg 19647  Domncdomn 19648  Poly₁cpl1 19914  coe₁cco1 19915   deg₁ cdg1 24220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-ofr 7163  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-nzr 19626  df-rlreg 19651  df-domn 19652  df-ascl 19682  df-psr 19724  df-mvr 19725  df-mpl 19726  df-opsr 19728  df-psr1 19917  df-vr1 19918  df-ply1 19919  df-coe1 19920  df-cnfld 20114  df-mdeg 24221  df-deg1 24222

This theorem is referenced by:  ply1idom  24290  deg1mhm  38623