MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1domn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1domn 25511
Description: Corollary of deg1mul2 25502: the univariate polynomials over a domain are a domain. This is true for multivariate but with a much more complicated proof. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1domn (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)

Proof of Theorem ply1domn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 20788 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 ply1domn.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1nz 25509 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
5 neanior 3034 . . . . 5 ((π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ↔ Β¬ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ)))
6 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
7 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
8 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
9 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
10 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
11 domnring 20789 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
14 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
15 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (coe1β€˜π‘₯) = (coe1β€˜π‘₯)
176, 2, 10, 8, 7, 16deg1ldgdomn 25482 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
1815, 13, 14, 17syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
19 simplrr 777 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
20 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
216, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19, 20deg1mul2 25502 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
226, 2, 10, 8deg1nn0cl 25476 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2312, 13, 14, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
246, 2, 10, 8deg1nn0cl 25476 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
2512, 19, 20, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
2623, 25nn0addcld 12485 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)) ∈ β„•0)
2721, 26eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0)
282ply1ring 21642 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
2911, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
318, 9ringcl 19989 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
3230, 13, 19, 31syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
336, 2, 10, 8deg1nn0clb 25478 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0))
3412, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0))
3527, 34mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
3635ex 414 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)))
375, 36biimtrrid 242 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ (Β¬ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)))
3837necon4bd 2960 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ))))
3938ralrimivva 3194 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ))))
408, 9, 10isdomn 20787 . 2 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ)))))
414, 39, 40sylanbrc 584 1 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   + caddc 11062  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Ringcrg 19972  NzRingcnzr 20195  RLRegcrlreg 20772  Domncdomn 20773  Poly1cpl1 21571  coe1cco1 21572   deg1 cdg1 25439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-nzr 20196  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-rlreg 20776  df-domn 20777  df-cnfld 20820  df-ascl 21284  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-coe1 21577  df-mdeg 25440  df-deg1 25441
This theorem is referenced by:  ply1idom  25512  deg1mhm  41581
  Copyright terms: Public domain W3C validator