Theorem ply1domn 26292

Description: Corollary of deg1mul2 26282: the univariate polynomials over a domain are a domain. This is true for multivariate but with a much more complicated proof. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1domn	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Proof of Theorem ply1domn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20816	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		ply1domn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1nz 26290	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
5		neanior 3050	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) ↔ ¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))
6		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
7		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
10		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11		domnring 20817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplrl 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
14		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
15		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Domn)
16		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
17	6, 2, 10, 8, 7, 16	deg1ldgdomn 26262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
18	15, 13, 14, 17	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
19		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
20		simprr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
21	6, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19, 20	deg1mul2 26282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)))
22	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 26256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	12, 13, 14, 22	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
24	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 26256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
25	12, 19, 20, 24	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
26	23, 25	nn0addcld 12575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
27	21, 26	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
28	2	ply1ring 22418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
29	11, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	29	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
31	8, 9	ringcl 20338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
32	30, 13, 19, 31	syl3anc 1397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
33	6, 2, 10, 8	deg1nn0clb 26258	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
34	12, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
35	27, 34	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
36	35	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
37	5, 36	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
38	37	necon4bd 2977	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
39	38	ralrimivva 3207	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
40	8, 9, 10	isdomn 20815	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))))
41	4, 39, 40	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Ringcrg 20321  NzRingcnzr 20620  RLRegcrlreg 20801  Domncdomn 20802  Poly₁cpl1 22348  coe₁cco1 22349  deg₁cdg1 26222

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-nzr 20621  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-rlreg 20804  df-domn 20805  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-cnfld 21534  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-vr1 22352  df-ply1 22353  df-coe1 22354  df-mdeg 26223  df-deg1 26224

This theorem is used by:  ply1idom  26293  r1pid2  26330  mplidomlem  33926  minplyirred  34110  r1peuqusdeg1  36143  aks6d1c5lem3  42932  deg1mhm  43955