MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1domn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1domn 25877
Description: Corollary of deg1mul2 25868: the univariate polynomials over a domain are a domain. This is true for multivariate but with a much more complicated proof. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ply1domn (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)

Proof of Theorem ply1domn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 21112 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 ply1domn.p . . . 4 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
32ply1nz 25875 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
5 neanior 3034 . . . . 5 ((π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) ↔ Β¬ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ)))
6 eqid 2731 . . . . . . . . 9 ( deg1 β€˜π‘…) = ( deg1 β€˜π‘…)
7 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
8 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
9 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
10 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
11 domnring 21113 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1211ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
14 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
15 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
16 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (coe1β€˜π‘₯) = (coe1β€˜π‘₯)
176, 2, 10, 8, 7, 16deg1ldgdomn 25848 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
1815, 13, 14, 17syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
19 simplrr 775 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
20 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
216, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19, 20deg1mul2 25868 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
226, 2, 10, 8deg1nn0cl 25842 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
2312, 13, 14, 22syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
246, 2, 10, 8deg1nn0cl 25842 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
2512, 19, 20, 24syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
2623, 25nn0addcld 12541 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘₯) + (( deg1 β€˜π‘…)β€˜π‘¦)) ∈ β„•0)
2721, 26eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0)
282ply1ring 21991 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
2911, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
3029ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
318, 9ringcl 20145 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
3230, 13, 19, 31syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
336, 2, 10, 8deg1nn0clb 25844 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0))
3412, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (( deg1 β€˜π‘…)β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) ∈ β„•0))
3527, 34mpbird 257 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) ∧ (π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
3635ex 412 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)))
375, 36biimtrrid 242 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ (Β¬ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)))
3837necon4bd 2959 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ))))
3938ralrimivva 3199 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ))))
408, 9, 10isdomn 21111 . 2 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) = (0gβ€˜π‘ƒ) β†’ (π‘₯ = (0gβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑦 = (0gβ€˜π‘ƒ)))))
414, 39, 40sylanbrc 582 1 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   + caddc 11116  β„•0cn0 12477  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  Ringcrg 20128  NzRingcnzr 20404  RLRegcrlreg 21096  Domncdomn 21097  Poly1cpl1 21921  coe1cco1 21922   deg1 cdg1 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-nzr 20405  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-rlreg 21100  df-domn 21101  df-cnfld 21146  df-ascl 21630  df-psr 21682  df-mvr 21683  df-mpl 21684  df-opsr 21686  df-psr1 21924  df-vr1 21925  df-ply1 21926  df-coe1 21927  df-mdeg 25806  df-deg1 25807
This theorem is referenced by:  ply1idom  25878  r1pid2  32955  minplyirred  33060  deg1mhm  42252
  Copyright terms: Public domain W3C validator