Theorem ply1domn 26389

Description: Corollary of deg1mul2 26379: the univariate polynomials over a domain are a domain. This is true for multivariate but with a much more complicated proof. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1domn.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1domn	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

Proof of Theorem ply1domn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20905	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		ply1domn.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1nz 26387	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
5		neanior 3048	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) ↔ ¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))
6		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
7		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
9		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
10		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
11		domnring 20906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
14		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑃))
15		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑅 ∈ Domn)
16		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
17	6, 2, 10, 8, 7, 16	deg1ldgdomn 26359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
18	15, 13, 14, 17	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((coe1‘𝑥)‘((deg1‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
19		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
20		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))
21	6, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 18, 19, 20	deg1mul2 26379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)))
22	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 26353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	12, 13, 14, 22	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
24	6, 2, 10, 8	deg1nn0cl 26353	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
25	12, 19, 20, 24	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
26	23, 25	nn0addcld 12626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (((deg1‘𝑅)‘𝑥) + ((deg1‘𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
27	21, 26	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
28	2	ply1ring 22512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
29	11, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → 𝑃 ∈ Ring)
31	8, 9	ringcl 20424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
32	30, 13, 19, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
33	6, 2, 10, 8	deg1nn0clb 26355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
34	12, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃) ↔ ((deg1‘𝑅)‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
35	27, 34	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) ∧ (𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃))
36	35	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥 ≠ (0g‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
37	5, 36	biimtrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (¬ (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ (0g‘𝑃)))
38	37	necon4bd 2975	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
39	38	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃))))
40	8, 9, 10	isdomn 20904	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑃)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑃)((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (0g‘𝑃) → (𝑥 = (0g‘𝑃) ∨ 𝑦 = (0g‘𝑃)))))
41	4, 39, 40	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   + caddc 11160  ℕ₀cn0 12561  Basecbs 17334  ._rcmulr 17376  0_gc0g 17557  Ringcrg 20406  NzRingcnzr 20709  RLRegcrlreg 20890  Domncdomn 20891  Poly₁cpl1 22442  coe₁cco1 22443  deg₁cdg1 26319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-nzr 20710  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-rlreg 20893  df-domn 20894  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-cnfld 21626  df-ascl 22110  df-psr 22164  df-mvr 22165  df-mpl 22166  df-opsr 22168  df-psr1 22445  df-vr1 22446  df-ply1 22447  df-coe1 22448  df-mdeg 26320  df-deg1 26321

This theorem is used by:  ply1idom  26390  r1pid2  26427  mplidomlem  34078  minplyirred  34262  r1peuqusdeg1  36323  aks6d1c5lem3  43101  deg1mhm  44139