MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem1 26195
Description: Lemma for fta1g 26197. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = (deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
Assertion
Ref Expression
fta1glem1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1
StepHypRef Expression
1 1cnd 11259 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2 fta1g.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
3 isidom 20703 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4 domnnzr 20684 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
53, 4simplbiim 503 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
7 nzrring 20498 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 fta1g.2 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
10 fta1g.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
11 fta1g.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
12 fta1glem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
13 fta1glem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
14 fta1glem.m . . . . . . . 8 = (-g𝑃)
15 fta1glem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
16 fta1glem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
17 fta1g.o . . . . . . . 8 𝑂 = (eval1𝑅)
183simplbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
192, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
20 fta1glem.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
21 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
22 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
2312fvexi 6915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ V)
2517, 10, 21, 12evl1rhm 22323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2711, 22rhmf 20467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2928, 9ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
3021, 12, 22, 2, 24, 29pwselbas 17504 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
3130ffnd 6729 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
32 fniniseg 7073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3420, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3534simpld 493 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇𝐾)
36 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
37 fta1g.d . . . . . . . 8 𝐷 = (deg1𝑅)
38 fta1g.w . . . . . . . 8 𝑊 = (0g𝑅)
3910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38ply1remlem 26192 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4039simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
41 eqid 2726 . . . . . . 7 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4241, 36mon1puc1p 26178 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
438, 40, 42syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
44 eqid 2726 . . . . . 6 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
4544, 10, 11, 41q1pcl 26184 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
468, 9, 43, 45syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
47 fta1glem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
48 fta1glem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
49 peano2nn0 12564 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5147, 50eqeltrd 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
52 fta1g.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑃)
5337, 10, 52, 11deg1nn0clb 26117 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
548, 9, 53syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
5551, 54mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑𝐹0 )
5634simprd 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
57 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
5810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57facth1 26194 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
5956, 58mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
60 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
6110, 57, 11, 41, 60, 44dvdsq1p 26190 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
628, 9, 43, 61syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
6359, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
6463eqcomd 2732 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = 𝐹)
6510ply1crng 22188 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
6619, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ CRing)
67 crngring 20228 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
6910, 11, 36mon1pcl 26172 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
7040, 69syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐵)
7111, 60, 52ringlz 20272 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7268, 70, 71syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7355, 64, 723netr4d 3008 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺))
74 oveq1 7431 . . . . . 6 ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = ( 0 (.r𝑃)𝐺))
7574necon3i 2963 . . . . 5 (((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
7673, 75syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
7737, 10, 52, 11deg1nn0cl 26115 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
788, 46, 76, 77syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
7978nn0cnd 12586 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
8048nn0cnd 12586 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8111, 60crngcom 20234 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8266, 46, 70, 81syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8363, 82eqtrd 2766 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8483fveq2d 6905 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
85 eqid 2726 . . . . 5 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8639simp2d 1140 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
87 1nn0 12540 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8886, 87eqeltrdi 2834 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
8937, 10, 52, 11deg1nn0clb 26117 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
908, 70, 89syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
9188, 90mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝐺0 )
92 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
9385, 92unitrrg 20681 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
948, 93syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
9537, 92, 41uc1pldg 26176 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Unic1p𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
9643, 95syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
9794, 96sseldd 3980 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
9837, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76deg1mul2 26141 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
9984, 47, 983eqtr3d 2774 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
100 ax-1cn 11216 . . . 4 1 ∈ ℂ
101 addcom 11450 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10280, 100, 101sylancl 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10386oveq1d 7439 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
10499, 102, 1033eqtr3rd 2775 . 2 (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
1051, 79, 80, 104addcanad 11469 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  wss 3947  {csn 4633   class class class wbr 5153  ccnv 5681  cima 5685   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  1c1 11159   + caddc 11161  0cn0 12524  Basecbs 17213  .rcmulr 17267  0gc0g 17454  s cpws 17461  -gcsg 18930  Ringcrg 20216  CRingccrg 20217  rcdsr 20336  Unitcui 20337   RingHom crh 20451  NzRingcnzr 20494  RLRegcrlreg 20669  Domncdomn 20670  IDomncidom 20671  algSccascl 21850  var1cv1 22165  Poly1cpl1 22166  coe1cco1 22167  eval1ce1 22305  deg1cdg1 26078  Monic1pcmn1 26153  Unic1pcuc1p 26154  quot1pcq1p 26155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-srg 20170  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-rhm 20454  df-nzr 20495  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-rlreg 20672  df-domn 20673  df-idom 20674  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-cnfld 21344  df-assa 21851  df-asp 21852  df-ascl 21853  df-psr 21906  df-mvr 21907  df-mpl 21908  df-opsr 21910  df-evls 22087  df-evl 22088  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171  df-coe1 22172  df-evl1 22307  df-mdeg 26079  df-deg1 26080  df-mon1 26158  df-uc1p 26159  df-q1p 26160  df-r1p 26161
This theorem is referenced by:  fta1glem2  26196
  Copyright terms: Public domain W3C validator