Theorem fta1glem1 26376

Description: Lemma for fta1g 26378. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1g.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
fta1g.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1g.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1g.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
fta1glem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1glem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
fta1glem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
fta1glem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))

Assertion

Ref	Expression
fta1glem1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11217	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		fta1g.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
3		isidom 20873	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4		domnnzr 20855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	simplbiim 514	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20663	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		fta1g.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		fta1g.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		fta1g.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		fta1glem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13		fta1glem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		fta1glem.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
15		fta1glem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
16		fta1glem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
17		fta1g.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
18	3	simplbi 502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
19	2, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
20		fta1glem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))
21		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
22		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
23	12	fvexi 6899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
25	17, 10, 21, 12	evl1rhm 22542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
26	19, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
27	11, 22	rhmf 20613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
29	28, 9	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
30	21, 12, 22, 2, 24, 29	pwselbas 17564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):𝐾⟶𝐾)
31	30	ffnd 6710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn 𝐾)
32		fniniseg 7059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
34	20, 33	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
35	34	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐾)
36		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
37		fta1g.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
38		fta1g.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
39	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38	ply1remlem 26373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
40	39	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
41		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
42	41, 36	mon1puc1p 26359	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
43	8, 40, 42	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
44		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
45	44, 10, 11, 41	q1pcl 26365	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
46	8, 9, 43, 45	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
47		fta1glem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
48		fta1glem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		peano2nn0 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
51	47, 50	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
52		fta1g.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
53	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 26298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
54	8, 9, 53	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
55	51, 54	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
56	34	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
57		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
58	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57	facth1 26375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
59	56, 58	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺(∥r‘𝑃)𝐹)
60		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
61	10, 57, 11, 41, 60, 44	dvdsq1p 26371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
62	8, 9, 43, 61	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
63	59, 62	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))
64	63	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = 𝐹)
65	10	ply1crng 22408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
66	19, 65	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
67		crngring 20371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
68	66, 67	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
69	10, 11, 36	mon1pcl 26353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
70	40, 69	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
71	11, 60, 52	ringlz 20422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
72	68, 70, 71	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
73	55, 64, 72	3netr4d 3037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
74		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
75	74	necon3i 2992	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
76	73, 75	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
77	37, 10, 52, 11	deg1nn0cl 26296	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
78	8, 46, 76, 77	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
79	78	nn0cnd 12582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
80	48	nn0cnd 12582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
81	11, 60	crngcom 20377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
82	66, 46, 70, 81	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
83	63, 82	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
84	83	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
85		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
86	39	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
87		1nn0 12535	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
88	86, 87	eqeltrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
89	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 26298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
90	8, 70, 89	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
91	88, 90	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
92		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
93	85, 92	unitrrg 20852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
94	8, 93	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
95	37, 92, 41	uc1pldg 26357	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
96	43, 95	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
97	94, 96	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
98	37, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76	deg1mul2 26322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
99	84, 47, 98	3eqtr3d 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
100		ax-1cn 11173	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
101		addcom 11411	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
102	80, 100, 101	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
103	86	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
104	99, 102, 103	3eqtr3rd 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
105	1, 79, 80, 104	addcanad 11430	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  1c1 11116   + caddc 11118  ℕ₀cn0 12519  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333  0_gc0g 17514   ↑_s cpws 17521  -_gcsg 19046  Ringcrg 20359  CRingccrg 20360  ∥_rcdsr 20482  Unitcui 20483   RingHom crh 20597  NzRingcnzr 20659  RLRegcrlreg 20840  Domncdomn 20841  IDomncidom 20842  algSccascl 22052  var₁cv1 22386  Poly₁cpl1 22387  coe₁cco1 22388  eval₁ce1 22524  deg₁cdg1 26262  Monic_1pcmn1 26334  Unic_1pcuc1p 26335  quot_1pcq1p 26336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-srg 20313  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-rhm 20600  df-nzr 20660  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-rlreg 20843  df-domn 20844  df-idom 20845  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-cnfld 21573  df-assa 22053  df-asp 22054  df-ascl 22055  df-psr 22109  df-mvr 22110  df-mpl 22111  df-opsr 22113  df-evls 22275  df-evl 22276  df-psr1 22390  df-vr1 22391  df-ply1 22392  df-coe1 22393  df-evl1 22526  df-mdeg 26263  df-deg1 26264  df-mon1 26339  df-uc1p 26340  df-q1p 26341  df-r1p 26342

This theorem is used by:  fta1glem2  26377