Theorem fta1glem1 25235

Description: Lemma for fta1g 25237. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1g.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
fta1g.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1g.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1g.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
fta1glem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1glem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
fta1glem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
fta1glem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))

Assertion

Ref	Expression
fta1glem1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 10901	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		fta1g.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
3		isidom 20488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4		domnnzr 20479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	simplbiim 504	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20445	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		fta1g.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		fta1g.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		fta1g.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		fta1glem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13		fta1glem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		fta1glem.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
15		fta1glem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
16		fta1glem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
17		fta1g.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
18	3	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
20		fta1glem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))
21		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
22		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
23	12	fvexi 6770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
25	17, 10, 21, 12	evl1rhm 21408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
27	11, 22	rhmf 19885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
29	28, 9	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
30	21, 12, 22, 2, 24, 29	pwselbas 17117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):𝐾⟶𝐾)
31	30	ffnd 6585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn 𝐾)
32		fniniseg 6919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
34	20, 33	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
35	34	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐾)
36		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
37		fta1g.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
38		fta1g.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
39	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38	ply1remlem 25232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
40	39	simp1d 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
41		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
42	41, 36	mon1puc1p 25220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
43	8, 40, 42	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
44		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
45	44, 10, 11, 41	q1pcl 25225	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
46	8, 9, 43, 45	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
47		fta1glem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
48		fta1glem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		peano2nn0 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
51	47, 50	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
52		fta1g.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
53	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 25160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
54	8, 9, 53	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
55	51, 54	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
56	34	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
57		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
58	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57	facth1 25234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
59	56, 58	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺(∥r‘𝑃)𝐹)
60		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
61	10, 57, 11, 41, 60, 44	dvdsq1p 25230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
62	8, 9, 43, 61	syl3anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
63	59, 62	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))
64	63	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = 𝐹)
65	10	ply1crng 21279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
66	19, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
67		crngring 19710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
69	10, 11, 36	mon1pcl 25214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
70	40, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
71	11, 60, 52	ringlz 19741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
72	68, 70, 71	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
73	55, 64, 72	3netr4d 3020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
74		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
75	74	necon3i 2975	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
76	73, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
77	37, 10, 52, 11	deg1nn0cl 25158	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
78	8, 46, 76, 77	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
79	78	nn0cnd 12225	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
80	48	nn0cnd 12225	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
81	11, 60	crngcom 19716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
82	66, 46, 70, 81	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
83	63, 82	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
84	83	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
85		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
86	39	simp2d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
87		1nn0 12179	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
88	86, 87	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
89	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 25160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
90	8, 70, 89	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
91	88, 90	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
92		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
93	85, 92	unitrrg 20477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
94	8, 93	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
95	37, 92, 41	uc1pldg 25218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
96	43, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
97	94, 96	sseldd 3918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
98	37, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76	deg1mul2 25184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
99	84, 47, 98	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
100		ax-1cn 10860	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
101		addcom 11091	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
102	80, 100, 101	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
103	86	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
104	99, 102, 103	3eqtr3rd 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
105	1, 79, 80, 104	addcanad 11110	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067   ↑_s cpws 17074  -_gcsg 18494  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699  ∥_rcdsr 19795  Unitcui 19796   RingHom crh 19871  NzRingcnzr 20441  RLRegcrlreg 20463  Domncdomn 20464  IDomncidom 20465  algSccascl 20969  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259  eval₁ce1 21390   deg₁ cdg1 25121  Monic_1pcmn1 25195  Unic_1pcuc1p 25196  quot_1pcq1p 25197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-nzr 20442  df-rlreg 20467  df-domn 20468  df-idom 20469  df-cnfld 20511  df-assa 20970  df-asp 20971  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-evls 21192  df-evl 21193  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264  df-evl1 21392  df-mdeg 25122  df-deg1 25123  df-mon1 25200  df-uc1p 25201  df-q1p 25202  df-r1p 25203

This theorem is referenced by:  fta1glem2  25236