MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem1 24266
Description: Lemma for fta1g 24268. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
Assertion
Ref Expression
fta1glem1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1
StepHypRef Expression
1 1cnd 10323 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2 fta1g.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
3 isidom 19627 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
43simprbi 491 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
5 domnnzr 19618 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
72, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
8 nzrring 19584 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 fta1g.2 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
11 fta1g.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 fta1g.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
13 fta1glem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
14 fta1glem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
15 fta1glem.m . . . . . . . 8 = (-g𝑃)
16 fta1glem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
17 fta1glem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
18 fta1g.o . . . . . . . 8 𝑂 = (eval1𝑅)
193simplbi 492 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
21 fta1glem.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
22 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
23 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
2413fvexi 6425 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ V)
2618, 11, 22, 13evl1rhm 20018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2812, 23rhmf 19044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
3029, 10ffvelrnd 6586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
3122, 13, 23, 2, 25, 30pwselbas 16464 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
3231ffnd 6257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
33 fniniseg 6564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3521, 34mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3635simpld 489 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇𝐾)
37 eqid 2799 . . . . . . . 8 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
38 fta1g.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
39 fta1g.w . . . . . . . 8 𝑊 = (0g𝑅)
4011, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7, 20, 36, 37, 38, 39ply1remlem 24263 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4140simp1d 1173 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
42 eqid 2799 . . . . . . 7 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4342, 37mon1puc1p 24251 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
449, 41, 43syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
45 eqid 2799 . . . . . 6 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
4645, 11, 12, 42q1pcl 24256 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
479, 10, 44, 46syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
48 fta1glem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
49 fta1glem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
50 peano2nn0 11622 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5149, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5248, 51eqeltrd 2878 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
53 fta1g.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑃)
5438, 11, 53, 12deg1nn0clb 24191 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
559, 10, 54syl2anc 580 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
5652, 55mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑𝐹0 )
5735simprd 490 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
58 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
5911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7, 20, 36, 10, 39, 58facth1 24265 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
6057, 59mpbird 249 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
61 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
6211, 58, 12, 42, 61, 45dvdsq1p 24261 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
639, 10, 44, 62syl3anc 1491 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
6460, 63mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
6564eqcomd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = 𝐹)
6611ply1crng 19890 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
6720, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ CRing)
68 crngring 18874 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
6967, 68syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
7011, 12, 37mon1pcl 24245 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
7141, 70syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐵)
7212, 61, 53ringlz 18903 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7369, 71, 72syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7456, 65, 733netr4d 3048 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺))
75 oveq1 6885 . . . . . 6 ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = ( 0 (.r𝑃)𝐺))
7675necon3i 3003 . . . . 5 (((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
7774, 76syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
7838, 11, 53, 12deg1nn0cl 24189 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
799, 47, 77, 78syl3anc 1491 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
8079nn0cnd 11642 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
8149nn0cnd 11642 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8212, 61crngcom 18878 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8367, 47, 71, 82syl3anc 1491 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8464, 83eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8584fveq2d 6415 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
86 eqid 2799 . . . . 5 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8740simp2d 1174 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
88 1nn0 11598 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8987, 88syl6eqel 2886 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
9038, 11, 53, 12deg1nn0clb 24191 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
919, 71, 90syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
9289, 91mpbird 249 . . . . 5 (𝜑𝐺0 )
93 eqid 2799 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
9486, 93unitrrg 19616 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
959, 94syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
9638, 93, 42uc1pldg 24249 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Unic1p𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
9744, 96syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
9895, 97sseldd 3799 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
9938, 11, 86, 12, 61, 53, 9, 71, 92, 98, 47, 77deg1mul2 24215 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
10085, 48, 993eqtr3d 2841 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
101 ax-1cn 10282 . . . 4 1 ∈ ℂ
102 addcom 10512 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10381, 101, 102sylancl 581 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10487oveq1d 6893 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
105100, 103, 1043eqtr3rd 2842 . 2 (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
1061, 80, 81, 105addcanad 10531 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  Vcvv 3385  wss 3769  {csn 4368   class class class wbr 4843  ccnv 5311  cima 5315   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  1c1 10225   + caddc 10227  0cn0 11580  Basecbs 16184  .rcmulr 16268  0gc0g 16415  s cpws 16422  -gcsg 17740  Ringcrg 18863  CRingccrg 18864  rcdsr 18954  Unitcui 18955   RingHom crh 19030  NzRingcnzr 19580  RLRegcrlreg 19602  Domncdomn 19603  IDomncidom 19604  algSccascl 19634  var1cv1 19868  Poly1cpl1 19869  coe1cco1 19870  eval1ce1 20001   deg1 cdg1 24155  Monic1pcmn1 24226  Unic1pcuc1p 24227  quot1pcq1p 24228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-srg 18822  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-rnghom 19033  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-nzr 19581  df-rlreg 19606  df-domn 19607  df-idom 19608  df-assa 19635  df-asp 19636  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-evls 19828  df-evl 19829  df-psr1 19872  df-vr1 19873  df-ply1 19874  df-coe1 19875  df-evl1 20003  df-cnfld 20069  df-mdeg 24156  df-deg1 24157  df-mon1 24231  df-uc1p 24232  df-q1p 24233  df-r1p 24234
This theorem is referenced by:  fta1glem2  24267
  Copyright terms: Public domain W3C validator