MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fta1glem1 25690
Description: Lemma for fta1g 25692. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
fta1g.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
fta1g.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
fta1g.w π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
fta1g.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
fta1g.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
fta1glem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
fta1glem.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
fta1glem.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
fta1glem.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘‡))
fta1glem.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fta1glem.4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}))
Assertion
Ref Expression
fta1glem1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) = 𝑁)
Proof of Theorem fta1glem1
StepHypRef Expression
1 1cnd 11211 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2 fta1g.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
3 isidom 20928 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4 domnnzr 20917 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
53, 4simplbiim 505 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
7 nzrring 20299 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 fta1g.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
10 fta1g.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
11 fta1g.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
12 fta1glem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
13 fta1glem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
14 fta1glem.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
15 fta1glem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
16 fta1glem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘‡))
17 fta1g.o . . . . . . . 8 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
183simplbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ CRing)
192, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
20 fta1glem.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}))
21 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
22 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
2312fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
2517, 10, 21, 12evl1rhm 21858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
2711, 22rhmf 20267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
2928, 9ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
3021, 12, 22, 2, 24, 29pwselbas 17437 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ):𝐾⟢𝐾)
3130ffnd 6718 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) Fn 𝐾)
32 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‚β€˜πΉ) Fn 𝐾 β†’ (𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š)))
3420, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š))
3534simpld 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐾)
36 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
37 fta1g.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
38 fta1g.w . . . . . . . 8 π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
3910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38ply1remlem 25687 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜πΊ) = 1 ∧ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ {π‘Š}) = {𝑇}))
4039simp1d 1142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…))
41 eqid 2732 . . . . . . 7 (Unic1pβ€˜π‘…) = (Unic1pβ€˜π‘…)
4241, 36mon1puc1p 25675 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…)) β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
438, 40, 42syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
44 eqid 2732 . . . . . 6 (quot1pβ€˜π‘…) = (quot1pβ€˜π‘…)
4544, 10, 11, 41q1pcl 25680 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡)
468, 9, 43, 45syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡)
47 fta1glem.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = (𝑁 + 1))
48 fta1glem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
49 peano2nn0 12514 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
5147, 50eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
52 fta1g.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
5337, 10, 52, 11deg1nn0clb 25615 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0))
548, 9, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0))
5551, 54mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
5634simprd 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š)
57 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (βˆ₯rβ€˜π‘ƒ) = (βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)
5810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57facth1 25689 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹 ↔ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š))
5956, 58mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹)
60 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
6110, 57, 11, 41, 60, 44dvdsq1p 25685 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)))
628, 9, 43, 61syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)))
6359, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))
6463eqcomd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = 𝐹)
6510ply1crng 21728 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
6619, 65syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CRing)
67 crngring 20070 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6910, 11, 36mon1pcl 25669 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7040, 69syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7111, 60, 52ringlz 20109 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = 0 )
7268, 70, 71syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = 0 )
7355, 64, 723netr4d 3018 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) β‰  ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))
74 oveq1 7418 . . . . . 6 ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) = 0 β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))
7574necon3i 2973 . . . . 5 (((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) β‰  ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) β‰  0 )
7673, 75syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) β‰  0 )
7737, 10, 52, 11deg1nn0cl 25613 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡 ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) β‰  0 ) β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ β„•0)
788, 46, 76, 77syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ β„•0)
7978nn0cnd 12536 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ β„‚)
8048nn0cnd 12536 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
8111, 60crngcom 20076 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)))
8266, 46, 70, 81syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)))
8363, 82eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)))
8483fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = (π·β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
85 eqid 2732 . . . . 5 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
8639simp2d 1143 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = 1)
87 1nn0 12490 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
8886, 87eqeltrdi 2841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
8937, 10, 52, 11deg1nn0clb 25615 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
908, 70, 89syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
9188, 90mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
92 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
9385, 92unitrrg 20915 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
948, 93syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
9537, 92, 41uc1pldg 25673 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9643, 95syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9794, 96sseldd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
9837, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76deg1mul2 25639 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))) = ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
9984, 47, 983eqtr3d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) = ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
100 ax-1cn 11170 . . . 4 1 ∈ β„‚
101 addcom 11402 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10280, 100, 101sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10386oveq1d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))) = (1 + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
10499, 102, 1033eqtr3rd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (1 + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))) = (1 + 𝑁))
1051, 79, 80, 104addcanad 11421 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115  β„•0cn0 12474  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  0gc0g 17387   ↑s cpws 17394  -gcsg 18823  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059  βˆ₯rcdsr 20172  Unitcui 20173   RingHom crh 20252  NzRingcnzr 20295  RLRegcrlreg 20901  Domncdomn 20902  IDomncidom 20903  algSccascl 21413  var1cv1 21706  Poly1cpl1 21707  coe1cco1 21708  eval1ce1 21840   deg1 cdg1 25576  Monic1pcmn1 25650  Unic1pcuc1p 25651  quot1pcq1p 25652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-srg 20012  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-rnghom 20255  df-nzr 20296  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-rlreg 20905  df-domn 20906  df-idom 20907  df-cnfld 20951  df-assa 21414  df-asp 21415  df-ascl 21416  df-psr 21468  df-mvr 21469  df-mpl 21470  df-opsr 21472  df-evls 21641  df-evl 21642  df-psr1 21710  df-vr1 21711  df-ply1 21712  df-coe1 21713  df-evl1 21842  df-mdeg 25577  df-deg1 25578  df-mon1 25655  df-uc1p 25656  df-q1p 25657  df-r1p 25658
This theorem is referenced by:  fta1glem2  25691
  Copyright terms: Public domain W3C validator