MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fta1glem1 25674
Description: Lemma for fta1g 25676. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
fta1g.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
fta1g.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
fta1g.w π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
fta1g.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
fta1g.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
fta1glem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
fta1glem.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
fta1glem.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
fta1glem.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘‡))
fta1glem.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fta1glem.4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}))
Assertion
Ref Expression
fta1glem1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) = 𝑁)
Proof of Theorem fta1glem1
StepHypRef Expression
1 1cnd 11205 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2 fta1g.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
3 isidom 20914 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4 domnnzr 20903 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
53, 4simplbiim 505 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
7 nzrring 20287 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 fta1g.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
10 fta1g.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
11 fta1g.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
12 fta1glem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
13 fta1glem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
14 fta1glem.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
15 fta1glem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
16 fta1glem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘‡))
17 fta1g.o . . . . . . . 8 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
183simplbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ CRing)
192, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
20 fta1glem.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}))
21 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
22 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
2312fvexi 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
2517, 10, 21, 12evl1rhm 21842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
2711, 22rhmf 20255 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
2928, 9ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
3021, 12, 22, 2, 24, 29pwselbas 17431 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ):𝐾⟢𝐾)
3130ffnd 6715 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) Fn 𝐾)
32 fniniseg 7058 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‚β€˜πΉ) Fn 𝐾 β†’ (𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š)))
3420, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š))
3534simpld 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐾)
36 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
37 fta1g.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
38 fta1g.w . . . . . . . 8 π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
3910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38ply1remlem 25671 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜πΊ) = 1 ∧ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ {π‘Š}) = {𝑇}))
4039simp1d 1142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…))
41 eqid 2732 . . . . . . 7 (Unic1pβ€˜π‘…) = (Unic1pβ€˜π‘…)
4241, 36mon1puc1p 25659 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…)) β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
438, 40, 42syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
44 eqid 2732 . . . . . 6 (quot1pβ€˜π‘…) = (quot1pβ€˜π‘…)
4544, 10, 11, 41q1pcl 25664 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡)
468, 9, 43, 45syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡)
47 fta1glem.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = (𝑁 + 1))
48 fta1glem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
49 peano2nn0 12508 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
5147, 50eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
52 fta1g.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
5337, 10, 52, 11deg1nn0clb 25599 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0))
548, 9, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0))
5551, 54mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
5634simprd 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š)
57 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (βˆ₯rβ€˜π‘ƒ) = (βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)
5810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57facth1 25673 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹 ↔ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š))
5956, 58mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹)
60 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
6110, 57, 11, 41, 60, 44dvdsq1p 25669 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)))
628, 9, 43, 61syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)))
6359, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))
6463eqcomd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = 𝐹)
6510ply1crng 21713 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
6619, 65syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CRing)
67 crngring 20061 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6910, 11, 36mon1pcl 25653 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7040, 69syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7111, 60, 52ringlz 20100 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = 0 )
7268, 70, 71syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = 0 )
7355, 64, 723netr4d 3018 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) β‰  ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))
74 oveq1 7412 . . . . . 6 ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) = 0 β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))
7574necon3i 2973 . . . . 5 (((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) β‰  ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) β‰  0 )
7673, 75syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) β‰  0 )
7737, 10, 52, 11deg1nn0cl 25597 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡 ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) β‰  0 ) β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ β„•0)
788, 46, 76, 77syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ β„•0)
7978nn0cnd 12530 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ β„‚)
8048nn0cnd 12530 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
8111, 60crngcom 20067 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)))
8266, 46, 70, 81syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)))
8363, 82eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)))
8483fveq2d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = (π·β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
85 eqid 2732 . . . . 5 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
8639simp2d 1143 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = 1)
87 1nn0 12484 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
8886, 87eqeltrdi 2841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
8937, 10, 52, 11deg1nn0clb 25599 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
908, 70, 89syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
9188, 90mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
92 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
9385, 92unitrrg 20901 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
948, 93syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
9537, 92, 41uc1pldg 25657 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9643, 95syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9794, 96sseldd 3982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
9837, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76deg1mul2 25623 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))) = ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
9984, 47, 983eqtr3d 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) = ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
100 ax-1cn 11164 . . . 4 1 ∈ β„‚
101 addcom 11396 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10280, 100, 101sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10386oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))) = (1 + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
10499, 102, 1033eqtr3rd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (1 + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))) = (1 + 𝑁))
1051, 79, 80, 104addcanad 11415 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381   ↑s cpws 17388  -gcsg 18817  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  βˆ₯rcdsr 20160  Unitcui 20161   RingHom crh 20240  NzRingcnzr 20283  RLRegcrlreg 20887  Domncdomn 20888  IDomncidom 20889  algSccascl 21398  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693  eval1ce1 21824   deg1 cdg1 25560  Monic1pcmn1 25634  Unic1pcuc1p 25635  quot1pcq1p 25636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-rnghom 20243  df-nzr 20284  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-rlreg 20891  df-domn 20892  df-idom 20893  df-cnfld 20937  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-evls 21626  df-evl 21627  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-evl1 21826  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-mon1 25639  df-uc1p 25640  df-q1p 25641  df-r1p 25642
This theorem is referenced by:  fta1glem2  25675
  Copyright terms: Public domain W3C validator