Theorem fta1glem1 26095

Description: Lemma for fta1g 26097. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1g.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
fta1g.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1g.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1g.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
fta1glem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1glem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
fta1glem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
fta1glem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))

Assertion

Ref	Expression
fta1glem1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11102	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		fta1g.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
3		isidom 20635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4		domnnzr 20616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	simplbiim 504	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20426	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		fta1g.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		fta1g.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		fta1g.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		fta1glem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13		fta1glem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		fta1glem.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
15		fta1glem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
16		fta1glem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
17		fta1g.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
18	3	simplbi 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
20		fta1glem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))
21		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
22		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
23	12	fvexi 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
25	17, 10, 21, 12	evl1rhm 22242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
27	11, 22	rhmf 20397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
29	28, 9	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
30	21, 12, 22, 2, 24, 29	pwselbas 17388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):𝐾⟶𝐾)
31	30	ffnd 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn 𝐾)
32		fniniseg 6988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
34	20, 33	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
35	34	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐾)
36		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
37		fta1g.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
38		fta1g.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
39	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38	ply1remlem 26092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
40	39	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
41		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
42	41, 36	mon1puc1p 26078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
43	8, 40, 42	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
44		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
45	44, 10, 11, 41	q1pcl 26084	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
46	8, 9, 43, 45	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
47		fta1glem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
48		fta1glem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		peano2nn0 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
51	47, 50	eqeltrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
52		fta1g.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
53	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 26017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
54	8, 9, 53	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
55	51, 54	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
56	34	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
57		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
58	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57	facth1 26094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
59	56, 58	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺(∥r‘𝑃)𝐹)
60		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
61	10, 57, 11, 41, 60, 44	dvdsq1p 26090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
62	8, 9, 43, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
63	59, 62	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))
64	63	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = 𝐹)
65	10	ply1crng 22106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
66	19, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
67		crngring 20158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
69	10, 11, 36	mon1pcl 26072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
70	40, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
71	11, 60, 52	ringlz 20206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
72	68, 70, 71	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
73	55, 64, 72	3netr4d 3005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
74		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
75	74	necon3i 2960	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
76	73, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
77	37, 10, 52, 11	deg1nn0cl 26015	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
78	8, 46, 76, 77	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
79	78	nn0cnd 12439	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
80	48	nn0cnd 12439	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
81	11, 60	crngcom 20164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
82	66, 46, 70, 81	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
83	63, 82	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
84	83	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
85		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
86	39	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
87		1nn0 12392	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
88	86, 87	eqeltrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
89	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 26017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
90	8, 70, 89	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
91	88, 90	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
92		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
93	85, 92	unitrrg 20613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
94	8, 93	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
95	37, 92, 41	uc1pldg 26076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
96	43, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
97	94, 96	sseldd 3930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
98	37, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76	deg1mul2 26041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
99	84, 47, 98	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
100		ax-1cn 11059	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
101		addcom 11294	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
102	80, 100, 101	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
103	86	oveq1d 7356	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
104	99, 102, 103	3eqtr3rd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
105	1, 79, 80, 104	addcanad 11313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4571   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5610   “ cima 5614   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  1c1 11002   + caddc 11004  ℕ₀cn0 12376  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157  0_gc0g 17338   ↑_s cpws 17345  -_gcsg 18843  Ringcrg 20146  CRingccrg 20147  ∥_rcdsr 20267  Unitcui 20268   RingHom crh 20382  NzRingcnzr 20422  RLRegcrlreg 20601  Domncdomn 20602  IDomncidom 20603  algSccascl 21784  var₁cv1 22083  Poly₁cpl1 22084  coe₁cco1 22085  eval₁ce1 22224  deg₁cdg1 25981  Monic_1pcmn1 26053  Unic_1pcuc1p 26054  quot_1pcq1p 26055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-srg 20100  df-ring 20148  df-cring 20149  df-oppr 20250  df-dvdsr 20270  df-unit 20271  df-invr 20301  df-rhm 20385  df-nzr 20423  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-rlreg 20604  df-domn 20605  df-idom 20606  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-cnfld 21287  df-assa 21785  df-asp 21786  df-ascl 21787  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-evls 22004  df-evl 22005  df-psr1 22087  df-vr1 22088  df-ply1 22089  df-coe1 22090  df-evl1 22226  df-mdeg 25982  df-deg1 25983  df-mon1 26058  df-uc1p 26059  df-q1p 26060  df-r1p 26061

This theorem is referenced by:  fta1glem2  26096