Theorem fta1glem1 24266

Description: Lemma for fta1g 24268. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1g.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
fta1g.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1g.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1g.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
fta1glem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1glem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
fta1glem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
fta1glem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))

Assertion

Ref	Expression
fta1glem1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 10323	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		fta1g.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
3		isidom 19627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4	3	simprbi 491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
5		domnnzr 19618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
8		nzrring 19584	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		fta1g.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
11		fta1g.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
12		fta1g.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
13		fta1glem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
14		fta1glem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
15		fta1glem.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
16		fta1glem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
17		fta1glem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
18		fta1g.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
19	3	simplbi 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
21		fta1glem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))
22		eqid 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
23		eqid 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
24	13	fvexi 6425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
26	18, 11, 22, 13	evl1rhm 20018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
27	20, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
28	12, 23	rhmf 19044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
30	29, 10	ffvelrnd 6586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
31	22, 13, 23, 2, 25, 30	pwselbas 16464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):𝐾⟶𝐾)
32	31	ffnd 6257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn 𝐾)
33		fniniseg 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
35	21, 34	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
36	35	simpld 489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐾)
37		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
38		fta1g.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
39		fta1g.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
40	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7, 20, 36, 37, 38, 39	ply1remlem 24263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
41	40	simp1d 1173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
42		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
43	42, 37	mon1puc1p 24251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
44	9, 41, 43	syl2anc 580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
45		eqid 2799	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
46	45, 11, 12, 42	q1pcl 24256	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
47	9, 10, 44, 46	syl3anc 1491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
48		fta1glem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
49		fta1glem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
50		peano2nn0 11622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
52	48, 51	eqeltrd 2878	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
53		fta1g.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
54	38, 11, 53, 12	deg1nn0clb 24191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
55	9, 10, 54	syl2anc 580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
56	52, 55	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
57	35	simprd 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
58		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
59	11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7, 20, 36, 10, 39, 58	facth1 24265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
60	57, 59	mpbird 249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺(∥r‘𝑃)𝐹)
61		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
62	11, 58, 12, 42, 61, 45	dvdsq1p 24261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
63	9, 10, 44, 62	syl3anc 1491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
64	60, 63	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))
65	64	eqcomd 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = 𝐹)
66	11	ply1crng 19890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
67	20, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
68		crngring 18874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
70	11, 12, 37	mon1pcl 24245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
71	41, 70	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
72	12, 61, 53	ringlz 18903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
73	69, 71, 72	syl2anc 580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
74	56, 65, 73	3netr4d 3048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
75		oveq1 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
76	75	necon3i 3003	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
77	74, 76	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
78	38, 11, 53, 12	deg1nn0cl 24189	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
79	9, 47, 77, 78	syl3anc 1491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
80	79	nn0cnd 11642	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
81	49	nn0cnd 11642	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
82	12, 61	crngcom 18878	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
83	67, 47, 71, 82	syl3anc 1491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
84	64, 83	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
85	84	fveq2d 6415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
86		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
87	40	simp2d 1174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
88		1nn0 11598	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
89	87, 88	syl6eqel 2886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
90	38, 11, 53, 12	deg1nn0clb 24191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
91	9, 71, 90	syl2anc 580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
92	89, 91	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
93		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
94	86, 93	unitrrg 19616	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
95	9, 94	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
96	38, 93, 42	uc1pldg 24249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
97	44, 96	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
98	95, 97	sseldd 3799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
99	38, 11, 86, 12, 61, 53, 9, 71, 92, 98, 47, 77	deg1mul2 24215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
100	85, 48, 99	3eqtr3d 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
101		ax-1cn 10282	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
102		addcom 10512	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
103	81, 101, 102	sylancl 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
104	87	oveq1d 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
105	100, 103, 104	3eqtr3rd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
106	1, 80, 81, 105	addcanad 10531	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  Vcvv 3385   ⊆ wss 3769  {csn 4368   class class class wbr 4843  ^◡ccnv 5311   “ cima 5315   Fn wfn 6096  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  1c1 10225   + caddc 10227  ℕ₀cn0 11580  Basecbs 16184  ._rcmulr 16268  0_gc0g 16415   ↑_s cpws 16422  -_gcsg 17740  Ringcrg 18863  CRingccrg 18864  ∥_rcdsr 18954  Unitcui 18955   RingHom crh 19030  NzRingcnzr 19580  RLRegcrlreg 19602  Domncdomn 19603  IDomncidom 19604  algSccascl 19634  var₁cv1 19868  Poly₁cpl1 19869  coe₁cco1 19870  eval₁ce1 20001   deg₁ cdg1 24155  Monic_1pcmn1 24226  Unic_1pcuc1p 24227  quot_1pcq1p 24228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-srg 18822  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-rnghom 19033  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-nzr 19581  df-rlreg 19606  df-domn 19607  df-idom 19608  df-assa 19635  df-asp 19636  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-evls 19828  df-evl 19829  df-psr1 19872  df-vr1 19873  df-ply1 19874  df-coe1 19875  df-evl1 20003  df-cnfld 20069  df-mdeg 24156  df-deg1 24157  df-mon1 24231  df-uc1p 24232  df-q1p 24233  df-r1p 24234

This theorem is referenced by:  fta1glem2  24267