Theorem fta1glem1 26225

Description: Lemma for fta1g 26227. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1g.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
fta1g.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1g.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1g.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
fta1glem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1glem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
fta1glem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
fta1glem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))

Assertion

Ref	Expression
fta1glem1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11175	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		fta1g.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
3		isidom 20771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4		domnnzr 20752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	simplbiim 512	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20562	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		fta1g.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		fta1g.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		fta1g.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		fta1glem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13		fta1glem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		fta1glem.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
15		fta1glem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
16		fta1glem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
17		fta1g.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
18	3	simplbi 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
20		fta1glem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))
21		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
22		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
23	12	fvexi 6881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
25	17, 10, 21, 12	evl1rhm 22392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
27	11, 22	rhmf 20529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
29	28, 9	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
30	21, 12, 22, 2, 24, 29	pwselbas 17518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):𝐾⟶𝐾)
31	30	ffnd 6692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn 𝐾)
32		fniniseg 7041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
34	20, 33	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
35	34	simpld 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐾)
36		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
37		fta1g.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
38		fta1g.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
39	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38	ply1remlem 26222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
40	39	simp1d 1155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
41		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
42	41, 36	mon1puc1p 26208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
43	8, 40, 42	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
44		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
45	44, 10, 11, 41	q1pcl 26214	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
46	8, 9, 43, 45	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
47		fta1glem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
48		fta1glem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		peano2nn0 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
51	47, 50	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
52		fta1g.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
53	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 26147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
54	8, 9, 53	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
55	51, 54	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
56	34	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
57		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
58	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57	facth1 26224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
59	56, 58	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺(∥r‘𝑃)𝐹)
60		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
61	10, 57, 11, 41, 60, 44	dvdsq1p 26220	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
62	8, 9, 43, 61	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
63	59, 62	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))
64	63	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = 𝐹)
65	10	ply1crng 22257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
66	19, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
67		crngring 20291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
69	10, 11, 36	mon1pcl 26202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
70	40, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
71	11, 60, 52	ringlz 20339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
72	68, 70, 71	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
73	55, 64, 72	3netr4d 3034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
74		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
75	74	necon3i 2989	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
76	73, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
77	37, 10, 52, 11	deg1nn0cl 26145	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
78	8, 46, 76, 77	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
79	78	nn0cnd 12544	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
80	48	nn0cnd 12544	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
81	11, 60	crngcom 20297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
82	66, 46, 70, 81	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
83	63, 82	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
84	83	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
85		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
86	39	simp2d 1156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
87		1nn0 12497	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
88	86, 87	eqeltrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
89	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 26147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
90	8, 70, 89	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
91	88, 90	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
92		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
93	85, 92	unitrrg 20749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
94	8, 93	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
95	37, 92, 41	uc1pldg 26206	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
96	43, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
97	94, 96	sseldd 3937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
98	37, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76	deg1mul2 26171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
99	84, 47, 98	3eqtr3d 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
100		ax-1cn 11131	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
101		addcom 11369	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
102	80, 100, 101	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
103	86	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
104	99, 102, 103	3eqtr3rd 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
105	1, 79, 80, 104	addcanad 11388	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  {csn 4582   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  1c1 11074   + caddc 11076  ℕ₀cn0 12481  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  0_gc0g 17468   ↑_s cpws 17475  -_gcsg 18977  Ringcrg 20279  CRingccrg 20280  ∥_rcdsr 20399  Unitcui 20400   RingHom crh 20514  NzRingcnzr 20558  RLRegcrlreg 20737  Domncdomn 20738  IDomncidom 20739  algSccascl 21901  var₁cv1 22235  Poly₁cpl1 22236  coe₁cco1 22237  eval₁ce1 22374  deg₁cdg1 26111  Monic_1pcmn1 26183  Unic_1pcuc1p 26184  quot_1pcq1p 26185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-srg 20233  df-ring 20281  df-cring 20282  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-rhm 20517  df-nzr 20559  df-subrng 20592  df-subrg 20616  df-rlreg 20740  df-domn 20741  df-idom 20742  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-lsp 21036  df-cnfld 21422  df-assa 21902  df-asp 21903  df-ascl 21904  df-psr 21958  df-mvr 21959  df-mpl 21960  df-opsr 21962  df-evls 22124  df-evl 22125  df-psr1 22239  df-vr1 22240  df-ply1 22241  df-coe1 22242  df-evl1 22376  df-mdeg 26112  df-deg1 26113  df-mon1 26188  df-uc1p 26189  df-q1p 26190  df-r1p 26191

This theorem is referenced by:  fta1glem2  26226