Theorem fta1glem1 24761

Description: Lemma for fta1g 24763. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1g.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1g.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
fta1g.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1g.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1g.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
fta1glem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1glem.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
fta1glem.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g	⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
fta1glem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))

Assertion

Ref	Expression
fta1glem1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 10638	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2		fta1g.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
3		isidom 20079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4		domnnzr 20070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
5	3, 4	simplbiim 507	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
7		nzrring 20036	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9		fta1g.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		fta1g.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		fta1g.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
12		fta1glem.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13		fta1glem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
14		fta1glem.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑃)
15		fta1glem.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
16		fta1glem.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑋 − (𝐴‘𝑇))
17		fta1g.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
18	3	simplbi 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
19	2, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
20		fta1glem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}))
21		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
22		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
23	12	fvexi 6686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
25	17, 10, 21, 12	evl1rhm 20497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
27	11, 22	rhmf 19480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
29	28, 9	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
30	21, 12, 22, 2, 24, 29	pwselbas 16764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):𝐾⟶𝐾)
31	30	ffnd 6517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn 𝐾)
32		fniniseg 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
34	20, 33	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
35	34	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐾)
36		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
37		fta1g.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
38		fta1g.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
39	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38	ply1remlem 24758	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐺) = 1 ∧ (◡(𝑂‘𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
40	39	simp1d 1138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅))
41		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Unic1p‘𝑅) = (Unic1p‘𝑅)
42	41, 36	mon1puc1p 24746	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
43	8, 40, 42	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅))
44		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
45	44, 10, 11, 41	q1pcl 24751	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
46	8, 9, 43, 45	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
47		fta1glem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝑁 + 1))
48		fta1glem.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
49		peano2nn0 11940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
51	47, 50	eqeltrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
52		fta1g.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
53	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 24686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
54	8, 9, 53	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0))
55	51, 54	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
56	34	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
57		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑃) = (∥r‘𝑃)
58	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57	facth1 24760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂‘𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
59	56, 58	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺(∥r‘𝑃)𝐹)
60		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
61	10, 57, 11, 41, 60, 44	dvdsq1p 24756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅)) → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
62	8, 9, 43, 61	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺(∥r‘𝑃)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺)))
63	59, 62	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺))
64	63	eqcomd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = 𝐹)
65	10	ply1crng 20368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
66	19, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
67		crngring 19310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
69	10, 11, 36	mon1pcl 24740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (Monic1p‘𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐵)
70	40, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
71	11, 60, 52	ringlz 19339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
72	68, 70, 71	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) = 0 )
73	55, 64, 72	3netr4d 3095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
74		oveq1 7165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = ( 0 (.r‘𝑃)𝐺))
75	74	necon3i 3050	. . . . 5 ⊢ (((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r‘𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
76	73, 75	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 )
77	37, 10, 52, 11	deg1nn0cl 24684	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
78	8, 46, 76, 77	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
79	78	nn0cnd 11960	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
80	48	nn0cnd 11960	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
81	11, 60	crngcom 19314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
82	66, 46, 70, 81	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)(.r‘𝑃)𝐺) = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
83	63, 82	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)))
84	83	fveq2d 6676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
85		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
86	39	simp2d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
87		1nn0 11916	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
88	86, 87	eqeltrdi 2923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0)
89	37, 10, 52, 11	deg1nn0clb 24686	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
90	8, 70, 89	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ≠ 0 ↔ (𝐷‘𝐺) ∈ ℕ0))
91	88, 90	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
92		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
93	85, 92	unitrrg 20068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
94	8, 93	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
95	37, 92, 41	uc1pldg 24744	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ (Unic1p‘𝑅) → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
96	43, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
97	94, 96	sseldd 3970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
98	37, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76	deg1mul2 24710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r‘𝑃)(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
99	84, 47, 98	3eqtr3d 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
100		ax-1cn 10597	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
101		addcom 10828	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
102	80, 100, 101	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
103	86	oveq1d 7173	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))))
104	99, 102, 103	3eqtr3rd 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
105	1, 79, 80, 104	addcanad 10847	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p‘𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  {csn 4569   class class class wbr 5068  ^◡ccnv 5556   “ cima 5560   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  1c1 10540   + caddc 10542  ℕ₀cn0 11900  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  0_gc0g 16715   ↑_s cpws 16722  -_gcsg 18107  Ringcrg 19299  CRingccrg 19300  ∥_rcdsr 19390  Unitcui 19391   RingHom crh 19466  NzRingcnzr 20032  RLRegcrlreg 20054  Domncdomn 20055  IDomncidom 20056  algSccascl 20086  var₁cv1 20346  Poly₁cpl1 20347  coe₁cco1 20348  eval₁ce1 20479   deg₁ cdg1 24650  Monic_1pcmn1 24721  Unic_1pcuc1p 24722  quot_1pcq1p 24723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-srg 19258  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-rnghom 19469  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-nzr 20033  df-rlreg 20058  df-domn 20059  df-idom 20060  df-assa 20087  df-asp 20088  df-ascl 20089  df-psr 20138  df-mvr 20139  df-mpl 20140  df-opsr 20142  df-evls 20288  df-evl 20289  df-psr1 20350  df-vr1 20351  df-ply1 20352  df-coe1 20353  df-evl1 20481  df-cnfld 20548  df-mdeg 24651  df-deg1 24652  df-mon1 24726  df-uc1p 24727  df-q1p 24728  df-r1p 24729

This theorem is referenced by:  fta1glem2  24762