MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem1 24693
Description: Lemma for fta1g 24695. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
Assertion
Ref Expression
fta1glem1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1
StepHypRef Expression
1 1cnd 10630 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2 fta1g.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
3 isidom 20012 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4 domnnzr 20003 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
53, 4simplbiim 505 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
7 nzrring 19969 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
9 fta1g.2 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
10 fta1g.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
11 fta1g.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
12 fta1glem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
13 fta1glem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
14 fta1glem.m . . . . . . . 8 = (-g𝑃)
15 fta1glem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
16 fta1glem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
17 fta1g.o . . . . . . . 8 𝑂 = (eval1𝑅)
183simplbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
192, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
20 fta1glem.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
21 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
22 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
2312fvexi 6683 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ V)
2517, 10, 21, 12evl1rhm 20430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2711, 22rhmf 19414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
2928, 9ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
3021, 12, 22, 2, 24, 29pwselbas 16757 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
3130ffnd 6514 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
32 fniniseg 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3420, 33mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3534simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇𝐾)
36 eqid 2826 . . . . . . . 8 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
37 fta1g.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
38 fta1g.w . . . . . . . 8 𝑊 = (0g𝑅)
3910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38ply1remlem 24690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4039simp1d 1136 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
41 eqid 2826 . . . . . . 7 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4241, 36mon1puc1p 24678 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
438, 40, 42syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
44 eqid 2826 . . . . . 6 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
4544, 10, 11, 41q1pcl 24683 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
468, 9, 43, 45syl3anc 1365 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
47 fta1glem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
48 fta1glem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
49 peano2nn0 11931 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5147, 50eqeltrd 2918 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
52 fta1g.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑃)
5337, 10, 52, 11deg1nn0clb 24618 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
548, 9, 53syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
5551, 54mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑𝐹0 )
5634simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
57 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
5810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57facth1 24692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
5956, 58mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
60 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
6110, 57, 11, 41, 60, 44dvdsq1p 24688 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
628, 9, 43, 61syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
6359, 62mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
6463eqcomd 2832 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = 𝐹)
6510ply1crng 20301 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
6619, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ CRing)
67 crngring 19244 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
6910, 11, 36mon1pcl 24672 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
7040, 69syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐵)
7111, 60, 52ringlz 19273 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7268, 70, 71syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7355, 64, 723netr4d 3098 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺))
74 oveq1 7157 . . . . . 6 ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = ( 0 (.r𝑃)𝐺))
7574necon3i 3053 . . . . 5 (((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
7673, 75syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
7737, 10, 52, 11deg1nn0cl 24616 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
788, 46, 76, 77syl3anc 1365 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
7978nn0cnd 11951 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
8048nn0cnd 11951 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8111, 60crngcom 19248 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8266, 46, 70, 81syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8363, 82eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8483fveq2d 6673 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
85 eqid 2826 . . . . 5 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8639simp2d 1137 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
87 1nn0 11907 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8886, 87syl6eqel 2926 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
8937, 10, 52, 11deg1nn0clb 24618 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
908, 70, 89syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
9188, 90mpbird 258 . . . . 5 (𝜑𝐺0 )
92 eqid 2826 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
9385, 92unitrrg 20001 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
948, 93syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
9537, 92, 41uc1pldg 24676 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Unic1p𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
9643, 95syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
9794, 96sseldd 3972 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
9837, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76deg1mul2 24642 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
9984, 47, 983eqtr3d 2869 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
100 ax-1cn 10589 . . . 4 1 ∈ ℂ
101 addcom 10820 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10280, 100, 101sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10386oveq1d 7165 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
10499, 102, 1033eqtr3rd 2870 . 2 (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
1051, 79, 80, 104addcanad 10839 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  Vcvv 3500  wss 3940  {csn 4564   class class class wbr 5063  ccnv 5553  cima 5557   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  1c1 10532   + caddc 10534  0cn0 11891  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  s cpws 16715  -gcsg 18050  Ringcrg 19233  CRingccrg 19234  rcdsr 19324  Unitcui 19325   RingHom crh 19400  NzRingcnzr 19965  RLRegcrlreg 19987  Domncdomn 19988  IDomncidom 19989  algSccascl 20019  var1cv1 20279  Poly1cpl1 20280  coe1cco1 20281  eval1ce1 20412   deg1 cdg1 24582  Monic1pcmn1 24653  Unic1pcuc1p 24654  quot1pcq1p 24655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13686  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-srg 19192  df-ring 19235  df-cring 19236  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-rnghom 19403  df-subrg 19469  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-lsp 19680  df-nzr 19966  df-rlreg 19991  df-domn 19992  df-idom 19993  df-assa 20020  df-asp 20021  df-ascl 20022  df-psr 20071  df-mvr 20072  df-mpl 20073  df-opsr 20075  df-evls 20221  df-evl 20222  df-psr1 20283  df-vr1 20284  df-ply1 20285  df-coe1 20286  df-evl1 20414  df-cnfld 20481  df-mdeg 24583  df-deg1 24584  df-mon1 24658  df-uc1p 24659  df-q1p 24660  df-r1p 24661
This theorem is referenced by:  fta1glem2  24694
  Copyright terms: Public domain W3C validator