MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fta1glem1 25683
Description: Lemma for fta1g 25685. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
fta1g.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
fta1g.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
fta1g.w π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
fta1g.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
fta1g.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
fta1glem.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
fta1glem.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
fta1glem.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
fta1glem.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘‡))
fta1glem.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fta1glem.4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}))
Assertion
Ref Expression
fta1glem1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) = 𝑁)
Proof of Theorem fta1glem1
StepHypRef Expression
1 1cnd 11209 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
2 fta1g.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
3 isidom 20922 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
4 domnnzr 20911 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
53, 4simplbiim 506 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
7 nzrring 20295 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 fta1g.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
10 fta1g.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
11 fta1g.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
12 fta1glem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
13 fta1glem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
14 fta1glem.m . . . . . . . 8 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
15 fta1glem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
16 fta1glem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑋 βˆ’ (π΄β€˜π‘‡))
17 fta1g.o . . . . . . . 8 𝑂 = (eval1β€˜π‘…)
183simplbi 499 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ CRing)
192, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
20 fta1glem.5 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}))
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾))
2312fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
2517, 10, 21, 12evl1rhm 21851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
2711, 22rhmf 20263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝐡⟢(Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
2928, 9ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 ↑s 𝐾)))
3021, 12, 22, 2, 24, 29pwselbas 17435 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ):𝐾⟢𝐾)
3130ffnd 6719 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜πΉ) Fn 𝐾)
32 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‚β€˜πΉ) Fn 𝐾 β†’ (𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (β—‘(π‘‚β€˜πΉ) β€œ {π‘Š}) ↔ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š)))
3420, 33mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ 𝐾 ∧ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š))
3534simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝐾)
36 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
37 fta1g.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
38 fta1g.w . . . . . . . 8 π‘Š = (0gβ€˜π‘…)
3910, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 36, 37, 38ply1remlem 25680 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜πΊ) = 1 ∧ (β—‘(π‘‚β€˜πΊ) β€œ {π‘Š}) = {𝑇}))
4039simp1d 1143 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…))
41 eqid 2733 . . . . . . 7 (Unic1pβ€˜π‘…) = (Unic1pβ€˜π‘…)
4241, 36mon1puc1p 25668 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…)) β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
438, 40, 42syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…))
44 eqid 2733 . . . . . 6 (quot1pβ€˜π‘…) = (quot1pβ€˜π‘…)
4544, 10, 11, 41q1pcl 25673 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡)
468, 9, 43, 45syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡)
47 fta1glem.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = (𝑁 + 1))
48 fta1glem.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
49 peano2nn0 12512 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„•0)
5147, 50eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
52 fta1g.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
5337, 10, 52, 11deg1nn0clb 25608 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0))
548, 9, 53syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0))
5551, 54mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0 )
5634simprd 497 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š)
57 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (βˆ₯rβ€˜π‘ƒ) = (βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)
5810, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 6, 19, 35, 9, 38, 57facth1 25682 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹 ↔ ((π‘‚β€˜πΉ)β€˜π‘‡) = π‘Š))
5956, 58mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹)
60 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
6110, 57, 11, 41, 60, 44dvdsq1p 25678 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…)) β†’ (𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)))
628, 9, 43, 61syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺(βˆ₯rβ€˜π‘ƒ)𝐹 ↔ 𝐹 = ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺)))
6359, 62mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))
6463eqcomd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = 𝐹)
6510ply1crng 21722 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
6619, 65syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CRing)
67 crngring 20068 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
6910, 11, 36mon1pcl 25662 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7040, 69syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
7111, 60, 52ringlz 20107 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = 0 )
7268, 70, 71syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = 0 )
7355, 64, 723netr4d 3019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) β‰  ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))
74 oveq1 7416 . . . . . 6 ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) = 0 β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺))
7574necon3i 2974 . . . . 5 (((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) β‰  ( 0 (.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) β‰  0 )
7673, 75syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) β‰  0 )
7737, 10, 52, 11deg1nn0cl 25606 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡 ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) β‰  0 ) β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ β„•0)
788, 46, 76, 77syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ β„•0)
7978nn0cnd 12534 . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) ∈ β„‚)
8048nn0cnd 12534 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
8111, 60crngcom 20074 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺) ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)))
8266, 46, 70, 81syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐺) = (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)))
8363, 82eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)))
8483fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = (π·β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
85 eqid 2733 . . . . 5 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
8639simp2d 1144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) = 1)
87 1nn0 12488 . . . . . . 7 1 ∈ β„•0
8886, 87eqeltrdi 2842 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0)
8937, 10, 52, 11deg1nn0clb 25608 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐺 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
908, 70, 89syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 β‰  0 ↔ (π·β€˜πΊ) ∈ β„•0))
9188, 90mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  0 )
92 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
9385, 92unitrrg 20909 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
948, 93syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (RLRegβ€˜π‘…))
9537, 92, 41uc1pldg 25666 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Unic1pβ€˜π‘…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9643, 95syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9794, 96sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π·β€˜πΊ)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
9837, 10, 85, 11, 60, 52, 8, 70, 91, 97, 46, 76deg1mul2 25632 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐺(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))) = ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
9984, 47, 983eqtr3d 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) = ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
100 ax-1cn 11168 . . . 4 1 ∈ β„‚
101 addcom 11400 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10280, 100, 101sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10386oveq1d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΊ) + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))) = (1 + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))))
10499, 102, 1033eqtr3rd 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (1 + (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺))) = (1 + 𝑁))
1051, 79, 80, 104addcanad 11419 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹(quot1pβ€˜π‘…)𝐺)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385   ↑s cpws 17392  -gcsg 18821  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  βˆ₯rcdsr 20168  Unitcui 20169   RingHom crh 20248  NzRingcnzr 20291  RLRegcrlreg 20895  Domncdomn 20896  IDomncidom 20897  algSccascl 21407  var1cv1 21700  Poly1cpl1 21701  coe1cco1 21702  eval1ce1 21833   deg1 cdg1 25569  Monic1pcmn1 25643  Unic1pcuc1p 25644  quot1pcq1p 25645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-rlreg 20899  df-domn 20900  df-idom 20901  df-cnfld 20945  df-assa 21408  df-asp 21409  df-ascl 21410  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464  df-opsr 21466  df-evls 21635  df-evl 21636  df-psr1 21704  df-vr1 21705  df-ply1 21706  df-coe1 21707  df-evl1 21835  df-mdeg 25570  df-deg1 25571  df-mon1 25648  df-uc1p 25649  df-q1p 25650  df-r1p 25651
This theorem is referenced by:  fta1glem2  25684
  Copyright terms: Public domain W3C validator