Theorem fidomndrng 20492

Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
fidomndrng	⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Proof of Theorem fidomndrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 20480	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
3		domnnzr 20479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ NzRing)
5		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	5, 6	nzrnz 20444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
9	8	neneqd 2947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
10		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11	10, 6, 5	0unit 19837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
13	9, 12	mtbird 324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
14		disjsn 4644	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
15	13, 14	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	16, 10	unitss 19817	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵
18		reldisj 4382	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵 → (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
20	15, 19	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
22		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ Domn)
24		simpll 763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
26		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
27	16, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26	fidomndrnglem 20491	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
28		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
29	28, 16	opprbas 19784	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
30	28, 6	oppr0 19790	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
31	28, 5	oppr1 19791	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
32		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
33		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
34	28	opprdomn 20485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
36		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
37	29, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36	fidomndrnglem 20491	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
38	10, 5, 21, 28, 32	isunit 19814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
39	27, 37, 38	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	20, 39	eqelssd 3938	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
41	16, 10, 6	isdrng 19910	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	2, 40, 41	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ DivRing)
43	42	ex 412	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ DivRing))
44		drngdomn 20487	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
45	43, 44	impbid1 224	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  opp_rcoppr 19776  ∥_rcdsr 19795  Unitcui 19796  DivRingcdr 19906  NzRingcnzr 20441  Domncdomn 20464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-nzr 20442  df-rlreg 20467  df-domn 20468

This theorem is referenced by:  fiidomfld  20493