Theorem fidomndrng 20579

Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
fidomndrng	⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Proof of Theorem fidomndrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 20567	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
3		domnnzr 20566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
4	3	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ NzRing)
5		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	5, 6	nzrnz 20531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
9	8	neneqd 2948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
10		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11	10, 6, 5	0unit 19922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
13	9, 12	mtbird 325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
14		disjsn 4647	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
15	13, 14	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	16, 10	unitss 19902	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵
18		reldisj 4385	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵 → (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
20	15, 19	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
22		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ Domn)
24		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
26		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
27	16, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26	fidomndrnglem 20578	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
28		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
29	28, 16	opprbas 19869	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
30	28, 6	oppr0 19875	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
31	28, 5	oppr1 19876	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
32		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
33		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
34	28	opprdomn 20572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
36		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
37	29, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36	fidomndrnglem 20578	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
38	10, 5, 21, 28, 32	isunit 19899	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
39	27, 37, 38	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	20, 39	eqelssd 3942	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
41	16, 10, 6	isdrng 19995	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	2, 40, 41	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ DivRing)
43	42	ex 413	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ DivRing))
44		drngdomn 20574	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
45	43, 44	impbid1 224	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  opp_rcoppr 19861  ∥_rcdsr 19880  Unitcui 19881  DivRingcdr 19991  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-nzr 20529  df-rlreg 20554  df-domn 20555

This theorem is referenced by:  fiidomfld  20580