Theorem fidomndrng 20676

Description: A finite domain is a division ring. Note that Wedderburn's little theorem (not proved) states that finite division rings are fields. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
fidomndrng	⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Proof of Theorem fidomndrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 20610	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
3		domnnzr 20609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ NzRing)
5		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	5, 6	nzrnz 20418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
9	8	neneqd 2930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
10		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11	10, 6, 5	0unit 20299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
13	9, 12	mtbird 325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
14		disjsn 4665	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
15	13, 14	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	16, 10	unitss 20279	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵
18		reldisj 4406	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵 → (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
20	15, 19	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
21		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ Domn)
24		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
26		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
27	16, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26	fidomndrnglem 20675	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
28		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
29	28, 16	opprbas 20246	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
30	28, 6	oppr0 20252	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
31	28, 5	oppr1 20253	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
32		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
33		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
34	28	opprdomn 20621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
36		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
37	29, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36	fidomndrnglem 20675	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
38	10, 5, 21, 28, 32	isunit 20276	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
39	27, 37, 38	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	20, 39	eqelssd 3959	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
41	16, 10, 6	isdrng 20636	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	2, 40, 41	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ DivRing)
43	42	ex 412	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ DivRing))
44		drngdomn 20652	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
45	43, 44	impbid1 225	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  opp_rcoppr 20239  ∥_rcdsr 20257  Unitcui 20258  NzRingcnzr 20415  Domncdomn 20595  DivRingcdr 20632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-ghm 19110  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-nzr 20416  df-rlreg 20597  df-domn 20598  df-drng 20634

This theorem is referenced by:  fiidomfld  20677