Theorem fidomndrng 20192

Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
fidomndrng	⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Proof of Theorem fidomndrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 20181	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
3		domnnzr 20180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
4	3	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ NzRing)
5		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	5, 6	nzrnz 20145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
9	8	neneqd 2939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
10		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11	10, 6, 5	0unit 19545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
13	9, 12	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
14		disjsn 4599	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	16, 10	unitss 19525	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵
18		reldisj 4338	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵 → (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
20	15, 19	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
22		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ Domn)
24		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
26		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
27	16, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26	fidomndrnglem 20191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
28		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
29	28, 16	opprbas 19494	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
30	28, 6	oppr0 19498	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
31	28, 5	oppr1 19499	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
32		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
33		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
34	28	opprdomn 20186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
36		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
37	29, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36	fidomndrnglem 20191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
38	10, 5, 21, 28, 32	isunit 19522	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
39	27, 37, 38	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	20, 39	eqelssd 3896	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
41	16, 10, 6	isdrng 19618	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	2, 40, 41	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ DivRing)
43	42	ex 416	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ DivRing))
44		drngdomn 20188	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
45	43, 44	impbid1 228	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3838   ∩ cin 3840   ⊆ wss 3841  ∅c0 4209  {csn 4513   class class class wbr 5027   ↦ cmpt 5107  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  Basecbs 16579  ._rcmulr 16662  0_gc0g 16809  1_rcur 19363  Ringcrg 19409  opp_rcoppr 19487  ∥_rcdsr 19503  Unitcui 19504  DivRingcdr 19614  NzRingcnzr 20142  Domncdomn 20165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-ghm 18467  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-drng 19616  df-nzr 20143  df-rlreg 20168  df-domn 20169

This theorem is referenced by:  fiidomfld  20193