MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomndrng 20192
Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
fidomndrng (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Proof of Theorem fidomndrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 20181 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
21adantl 485 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
3 domnnzr 20180 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
43adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ NzRing)
5 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
6 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
75, 6nzrnz 20145 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
84, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
98neneqd 2939 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (1r𝑅) = (0g𝑅))
10 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
1110, 6, 50unit 19545 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → ((0g𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r𝑅) = (0g𝑅)))
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((0g𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r𝑅) = (0g𝑅)))
139, 12mtbird 328 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (0g𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
14 disjsn 4599 . . . . . . 7 (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g𝑅)}) = ∅ ↔ ¬ (0g𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
1513, 14sylibr 237 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((Unit‘𝑅) ∩ {(0g𝑅)}) = ∅)
16 fidomndrng.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
1716, 10unitss 19525 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵
18 reldisj 4338 . . . . . . 7 ((Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵 → (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
2015, 19sylib 221 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
21 eqid 2738 . . . . . . 7 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
22 eqid 2738 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑅 ∈ Domn)
24 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝐵 ∈ Fin)
25 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
26 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦(.r𝑅)𝑥))
2716, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26fidomndrnglem 20191 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅))
28 eqid 2738 . . . . . . . 8 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
2928, 16opprbas 19494 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
3028, 6oppr0 19498 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g‘(oppr𝑅))
3128, 5oppr1 19499 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r‘(oppr𝑅))
32 eqid 2738 . . . . . . 7 (∥r‘(oppr𝑅)) = (∥r‘(oppr𝑅))
33 eqid 2738 . . . . . . 7 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
3428opprdomn 20186 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → (oppr𝑅) ∈ Domn)
3523, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → (oppr𝑅) ∈ Domn)
36 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr𝑅))𝑥))
3729, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36fidomndrnglem 20191 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅))
3810, 5, 21, 28, 32isunit 19522 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r𝑅)(1r𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr𝑅))(1r𝑅)))
3927, 37, 38sylanbrc 586 . . . . 5 (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
4020, 39eqelssd 3896 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
4116, 10, 6isdrng 19618 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
422, 40, 41sylanbrc 586 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ DivRing)
4342ex 416 . 2 (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ DivRing))
44 drngdomn 20188 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
4543, 44impbid1 228 1 (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  cdif 3838  cin 3840  wss 3841  c0 4209  {csn 4513   class class class wbr 5027  cmpt 5107  cfv 6333  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  Basecbs 16579  .rcmulr 16662  0gc0g 16809  1rcur 19363  Ringcrg 19409  opprcoppr 19487  rcdsr 19503  Unitcui 19504  DivRingcdr 19614  NzRingcnzr 20142  Domncdomn 20165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-ghm 18467  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-drng 19616  df-nzr 20143  df-rlreg 20168  df-domn 20169
This theorem is referenced by:  fiidomfld  20193
  Copyright terms: Public domain W3C validator