MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrng Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fidomndrng 21126
Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
fidomndrng (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
Proof of Theorem fidomndrng
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 21112 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantl 480 . . . 4 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 domnnzr 21111 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
43adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
5 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
6 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
75, 6nzrnz 20406 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
84, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
98neneqd 2943 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
10 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
1110, 6, 50unit 20287 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
139, 12mtbird 324 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ Β¬ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
14 disjsn 4714 . . . . . . 7 (((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ… ↔ Β¬ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
1513, 14sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ ((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ…)
16 fidomndrng.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1716, 10unitss 20267 . . . . . . 7 (Unitβ€˜π‘…) βŠ† 𝐡
18 reldisj 4450 . . . . . . 7 ((Unitβ€˜π‘…) βŠ† 𝐡 β†’ (((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ… ↔ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 (((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ… ↔ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
2015, 19sylib 217 . . . . 5 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
21 eqid 2730 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
22 eqid 2730 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
23 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
24 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
25 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
26 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
2716, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26fidomndrnglem 21125 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
28 eqid 2730 . . . . . . . 8 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
2928, 16opprbas 20232 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3028, 6oppr0 20240 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3128, 5oppr1 20241 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
32 eqid 2730 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
33 eqid 2730 . . . . . . 7 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3428opprdomn 21119 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Domn)
3523, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Domn)
36 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯))
3729, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36fidomndrnglem 21125 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
3810, 5, 21, 28, 32isunit 20264 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
3927, 37, 38sylanbrc 581 . . . . 5 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
4020, 39eqelssd 4002 . . . 4 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4116, 10, 6isdrng 20504 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
422, 40, 41sylanbrc 581 . . 3 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
4342ex 411 . 2 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ DivRing))
44 drngdomn 21121 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Domn)
4543, 44impbid1 224 1 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  1rcur 20075  Ringcrg 20127  opprcoppr 20224  βˆ₯rcdsr 20245  Unitcui 20246  NzRingcnzr 20403  DivRingcdr 20500  Domncdomn 21096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-nzr 20404  df-drng 20502  df-rlreg 21099  df-domn 21100
This theorem is referenced by:  fiidomfld  21127
  Copyright terms: Public domain W3C validator