MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrng Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fidomndrng 20926
Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
fidomndrng (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
Proof of Theorem fidomndrng
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 20912 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantl 483 . . . 4 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 domnnzr 20911 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
43adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
5 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
6 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
75, 6nzrnz 20294 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
84, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
98neneqd 2946 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
10 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
1110, 6, 50unit 20210 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
139, 12mtbird 325 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ Β¬ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
14 disjsn 4716 . . . . . . 7 (((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ… ↔ Β¬ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
1513, 14sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ ((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ…)
16 fidomndrng.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1716, 10unitss 20190 . . . . . . 7 (Unitβ€˜π‘…) βŠ† 𝐡
18 reldisj 4452 . . . . . . 7 ((Unitβ€˜π‘…) βŠ† 𝐡 β†’ (((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ… ↔ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 (((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ… ↔ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
2015, 19sylib 217 . . . . 5 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
22 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
23 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
24 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
25 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
26 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
2716, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26fidomndrnglem 20925 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
2928, 16opprbas 20157 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3028, 6oppr0 20163 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3128, 5oppr1 20164 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
32 eqid 2733 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
33 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3428opprdomn 20919 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Domn)
3523, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Domn)
36 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯))
3729, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36fidomndrnglem 20925 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
3810, 5, 21, 28, 32isunit 20187 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
3927, 37, 38sylanbrc 584 . . . . 5 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
4020, 39eqelssd 4004 . . . 4 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4116, 10, 6isdrng 20361 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
422, 40, 41sylanbrc 584 . . 3 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
4342ex 414 . 2 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ DivRing))
44 drngdomn 20921 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Domn)
4543, 44impbid1 224 1 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  1rcur 20004  Ringcrg 20056  opprcoppr 20149  βˆ₯rcdsr 20168  Unitcui 20169  NzRingcnzr 20291  DivRingcdr 20357  Domncdomn 20896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-ghm 19090  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-nzr 20292  df-drng 20359  df-rlreg 20899  df-domn 20900
This theorem is referenced by:  fiidomfld  20927
  Copyright terms: Public domain W3C validator