Theorem fidomndrng 20750

Description: A finite domain is a division ring. Note that Wedderburn's little theorem (not proved) states that finite division rings are fields. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
fidomndrng	⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Proof of Theorem fidomndrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnring 20684	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ Ring)
3		domnnzr 20683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ NzRing)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	5, 6	nzrnz 20492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
9	8	neneqd 2937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅))
10		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
11	10, 6, 5	0unit 20376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑅)))
13	9, 12	mtbird 325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
14		disjsn 4655	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ ¬ (0g‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
15	13, 14	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → ((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17	16, 10	unitss 20356	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵
18		reldisj 4393	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ⊆ 𝐵 → (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∩ {(0g‘𝑅)}) = ∅ ↔ (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
20	15, 19	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
23		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ Domn)
24		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝐵 ∈ Fin)
25		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
26		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
27	16, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26	fidomndrnglem 20749	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
28		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
29	28, 16	opprbas 20323	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
30	28, 6	oppr0 20329	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(oppr‘𝑅))
31	28, 5	oppr1 20330	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘(oppr‘𝑅))
32		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
33		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
34	28	opprdomn 20695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
35	23, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (oppr‘𝑅) ∈ Domn)
36		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦(.r‘(oppr‘𝑅))𝑥))
37	29, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36	fidomndrnglem 20749	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
38	10, 5, 21, 28, 32	isunit 20353	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑥(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑥(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
39	27, 37, 38	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	20, 39	eqelssd 3943	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
41	16, 10, 6	isdrng 20710	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	2, 40, 41	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) → 𝑅 ∈ DivRing)
43	42	ex 412	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ DivRing))
44		drngdomn 20726	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
45	43, 44	impbid1 225	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  opp_rcoppr 20316  ∥_rcdsr 20334  Unitcui 20335  NzRingcnzr 20489  Domncdomn 20669  DivRingcdr 20706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-ghm 19188  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-nzr 20490  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-drng 20708

This theorem is referenced by:  fiidomfld  20751