MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrng Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fidomndrng 20918
Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
fidomndrng (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
Proof of Theorem fidomndrng
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnring 20904 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantl 482 . . . 4 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 domnnzr 20903 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
43adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
6 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
75, 6nzrnz 20286 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
84, 7syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ (1rβ€˜π‘…) β‰  (0gβ€˜π‘…))
98neneqd 2945 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ Β¬ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…))
10 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
1110, 6, 50unit 20202 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ ((0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)))
139, 12mtbird 324 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ Β¬ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
14 disjsn 4714 . . . . . . 7 (((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ… ↔ Β¬ (0gβ€˜π‘…) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
1513, 14sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ ((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ…)
16 fidomndrng.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1716, 10unitss 20182 . . . . . . 7 (Unitβ€˜π‘…) βŠ† 𝐡
18 reldisj 4450 . . . . . . 7 ((Unitβ€˜π‘…) βŠ† 𝐡 β†’ (((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ… ↔ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 (((Unitβ€˜π‘…) ∩ {(0gβ€˜π‘…)}) = βˆ… ↔ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
2015, 19sylib 217 . . . . 5 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
22 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
23 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
24 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝐡 ∈ Fin)
25 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
26 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
2716, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26fidomndrnglem 20917 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
28 eqid 2732 . . . . . . . 8 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
2928, 16opprbas 20149 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3028, 6oppr0 20155 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3128, 5oppr1 20156 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
32 eqid 2732 . . . . . . 7 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
33 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
3428opprdomn 20911 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Domn)
3523, 34syl 17 . . . . . . 7 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Domn)
36 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯)) = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (𝑦(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))π‘₯))
3729, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36fidomndrnglem 20917 . . . . . 6 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
3810, 5, 21, 28, 32isunit 20179 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘₯(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
3927, 37, 38sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
4020, 39eqelssd 4002 . . . 4 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4116, 10, 6isdrng 20311 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
422, 40, 41sylanbrc 583 . . 3 ((𝐡 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Domn) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
4342ex 413 . 2 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ DivRing))
44 drngdomn 20913 . 2 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Domn)
4543, 44impbid1 224 1 (𝐡 ∈ Fin β†’ (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ DivRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  1rcur 19998  Ringcrg 20049  opprcoppr 20141  βˆ₯rcdsr 20160  Unitcui 20161  NzRingcnzr 20283  DivRingcdr 20307  Domncdomn 20888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-nzr 20284  df-drng 20309  df-rlreg 20891  df-domn 20892
This theorem is referenced by:  fiidomfld  20919
  Copyright terms: Public domain W3C validator