MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem2 26223
Description: Lemma for fta1g 26224. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = (deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
fta1glem.6 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
Assertion
Ref Expression
fta1glem2 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑁   𝑔,𝑂   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐾(𝑔)   (𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem fta1glem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fta1glem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
2 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
3 fta1glem.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
5 fta1g.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
63fvexi 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐾 ∈ V
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐾 ∈ V)
8 isidom 20742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
98simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
11 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑂 = (eval1𝑅)
12 fta1g.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑃 = (Poly1𝑅)
1311, 12, 2, 3evl1rhm 22352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
15 fta1g.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐵 = (Base‘𝑃)
1615, 4rhmf 20502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
18 fta1g.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹𝐵)
1917, 18ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
202, 3, 4, 5, 7, 19pwselbas 17536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
2120ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
22 fniniseg 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
241, 23mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
2524simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
26 fta1glem.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (var1𝑅)
27 fta1glem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (-g𝑃)
28 fta1glem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (algSc‘𝑃)
29 fta1glem.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
308simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
31 domnnzr 20723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
335, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3424simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇𝐾)
35 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = (0g𝑅)
36 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
3712, 15, 3, 26, 27, 28, 29, 11, 33, 10, 34, 18, 35, 36facth1 26221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3825, 37mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
39 nzrring 20533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4033, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
41 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
42 fta1g.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (deg1𝑅)
4312, 15, 3, 26, 27, 28, 29, 11, 33, 10, 34, 41, 42, 35ply1remlem 26219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4443simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
45 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4645, 41mon1puc1p 26205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
4740, 44, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
48 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑃) = (.r𝑃)
49 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
5012, 36, 15, 45, 48, 49dvdsq1p 26217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5140, 18, 47, 50syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5238, 51mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
5352fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) = (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5449, 12, 15, 45q1pcl 26211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5540, 18, 47, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5612, 15, 41mon1pcl 26199 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
5744, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝐵)
58 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
5915, 48, 58rhmmul 20503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6014, 55, 57, 59syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6117, 55ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
6217, 57ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
63 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
642, 4, 5, 7, 61, 62, 63, 58pwsmulrval 17538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6553, 60, 643eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6665fveq1d 6909 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
6766adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
682, 3, 4, 5, 7, 61pwselbas 17536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)):𝐾𝐾)
6968ffnd 6738 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
712, 3, 4, 5, 7, 62pwselbas 17536 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
7271ffnd 6738 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
7372adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐾 ∈ V)
75 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
76 fnfvof 7714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7770, 73, 74, 75, 76syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7867, 77eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7978eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊))
805, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
8180adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Domn)
8268ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾)
8371ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾)
843, 63, 35domneq0 20725 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8581, 82, 83, 84syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8679, 85bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8786pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
88 andi 1009 . . . . . 6 ((𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8987, 88bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
90 fniniseg 7080 . . . . . 6 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
9121, 90syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
92 elun 4163 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}))
93 fniniseg 7080 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9469, 93syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9543simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇})
9695eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑇}))
97 fniniseg 7080 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9872, 97syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9996, 98bitr3d 281 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑇} ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
10094, 99orbi12d 918 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10192, 100bitrid 283 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10289, 91, 1013bitr4d 311 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
103102eqrdv 2733 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}))
104103fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) = (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
105 fvex 6920 . . . . . . . . . 10 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
106105cnvex 7948 . . . . . . . . 9 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
107106imaex 7937 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V
108107a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V)
109 fta1glem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
110 fta1g.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑃)
111 fta1glem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
11212, 15, 42, 11, 35, 110, 5, 18, 3, 26, 27, 28, 29, 109, 111, 1fta1glem1 26222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
113 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝐷𝑔) = (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
114113eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝐷𝑔) = 𝑁 ↔ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁))
115 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
116115cnveqd 5889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
117116imaeq1d 6079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝑂𝑔) “ {𝑊}) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}))
118117fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) = (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})))
119118, 113breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔) ↔ (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
120114, 119imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)) ↔ ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))))
121 fta1glem.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
122120, 121, 55rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
123112, 122mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
124123, 112breqtrd 5174 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁)
125 hashbnd 14372 . . . . . . 7 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
126108, 109, 124, 125syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
127 snfi 9082 . . . . . 6 {𝑇} ∈ Fin
128 unfi 9210 . . . . . 6 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
129126, 127, 128sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
130 hashcl 14392 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
131129, 130syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
132131nn0red 12586 . . 3 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℝ)
133 hashcl 14392 . . . . . 6 (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
134126, 133syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
135134nn0red 12586 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
136 peano2re 11432 . . . 4 ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
137135, 136syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
138 peano2nn0 12564 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
139109, 138syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
140111, 139eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
141140nn0red 12586 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
142 hashun2 14419 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})))
143126, 127, 142sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})))
144 hashsng 14405 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) → (♯‘{𝑇}) = 1)
1451, 144syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑇}) = 1)
146145oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})) = ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
147143, 146breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
148109nn0red 12586 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
149 1red 11260 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
150135, 148, 149, 124leadd1dd 11875 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝑁 + 1))
151150, 111breqtrrd 5176 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝐷𝐹))
152132, 137, 141, 147, 151letrd 11416 . 2 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ (𝐷𝐹))
153104, 152eqbrtrd 5170 1 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cun 3961  {csn 4631   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Fincfn 8984  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  cle 11294  0cn0 12524  chash 14366  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  s cpws 17493  -gcsg 18966  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  rcdsr 20371   RingHom crh 20486  NzRingcnzr 20529  Domncdomn 20709  IDomncidom 20710  algSccascl 21890  var1cv1 22193  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334  deg1cdg1 26108  Monic1pcmn1 26180  Unic1pcuc1p 26181  quot1pcq1p 26182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-cnfld 21383  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evl1 22336  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-mon1 26185  df-uc1p 26186  df-q1p 26187  df-r1p 26188
This theorem is referenced by:  fta1g  26224
  Copyright terms: Public domain W3C validator