MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem2 24146
Description: Lemma for fta1g 24147. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
fta1glem.6 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
Assertion
Ref Expression
fta1glem2 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑁   𝑔,𝑂   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐾(𝑔)   (𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem fta1glem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fta1glem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
2 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
3 fta1glem.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
5 fta1g.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
6 fvex 6342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Base‘𝑅) ∈ V
73, 6eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐾 ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐾 ∈ V)
9 isidom 19519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
109simplbi 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
115, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
12 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑂 = (eval1𝑅)
13 fta1g.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑃 = (Poly1𝑅)
1412, 13, 2, 3evl1rhm 19911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
16 fta1g.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐵 = (Base‘𝑃)
1716, 4rhmf 18936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
19 fta1g.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹𝐵)
2018, 19ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
212, 3, 4, 5, 8, 20pwselbas 16357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
2221ffnd 6186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
23 fniniseg 6481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
251, 24mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
2625simprd 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
27 fta1glem.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (var1𝑅)
28 fta1glem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (-g𝑃)
29 fta1glem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (algSc‘𝑃)
30 fta1glem.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
319simprbi 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
32 domnnzr 19510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
345, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3525simpld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇𝐾)
36 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = (0g𝑅)
37 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
3813, 16, 3, 27, 28, 29, 30, 12, 34, 11, 35, 19, 36, 37facth1 24144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3926, 38mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
40 nzrring 19476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4134, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
42 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
43 fta1g.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = ( deg1𝑅)
4413, 16, 3, 27, 28, 29, 30, 12, 34, 11, 35, 42, 43, 36ply1remlem 24142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4544simp1d 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
46 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4746, 42mon1puc1p 24130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
4841, 45, 47syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
49 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑃) = (.r𝑃)
50 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
5113, 37, 16, 46, 49, 50dvdsq1p 24140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5241, 19, 48, 51syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5339, 52mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
5453fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) = (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5550, 13, 16, 46q1pcl 24135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5641, 19, 48, 55syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5713, 16, 42mon1pcl 24124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
5845, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝐵)
59 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
6016, 49, 59rhmmul 18937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6115, 56, 58, 60syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6218, 56ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
6318, 58ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
64 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
652, 4, 5, 8, 62, 63, 64, 59pwsmulrval 16359 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6654, 61, 653eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6766fveq1d 6334 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
6867adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
692, 3, 4, 5, 8, 62pwselbas 16357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)):𝐾𝐾)
7069ffnd 6186 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
7170adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
722, 3, 4, 5, 8, 63pwselbas 16357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
7372ffnd 6186 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
7473adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
757a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐾 ∈ V)
76 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
77 fnfvof 7058 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7871, 74, 75, 76, 77syl22anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7968, 78eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
8079eqeq1d 2773 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊))
815, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
8281adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Domn)
8369ffvelrnda 6502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾)
8472ffvelrnda 6502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾)
853, 64, 36domneq0 19512 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8682, 83, 84, 85syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8780, 86bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8887pm5.32da 568 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
89 andi 992 . . . . . 6 ((𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9088, 89syl6bb 276 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
91 fniniseg 6481 . . . . . 6 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
9222, 91syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
93 elun 3904 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}))
94 fniniseg 6481 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9570, 94syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9644simp3d 1138 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇})
9796eleq2d 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑇}))
98 fniniseg 6481 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9973, 98syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
10097, 99bitr3d 270 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑇} ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
10195, 100orbi12d 904 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10293, 101syl5bb 272 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10390, 92, 1023bitr4d 300 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
104103eqrdv 2769 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}))
105104fveq2d 6336 . 2 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) = (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
106 fvex 6342 . . . . . . . . . 10 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
107106cnvex 7260 . . . . . . . . 9 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
108107imaex 7251 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V
109108a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V)
110 fta1glem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
111 fta1g.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑃)
112 fta1glem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
11313, 16, 43, 12, 36, 111, 5, 19, 3, 27, 28, 29, 30, 110, 112, 1fta1glem1 24145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
114 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝐷𝑔) = (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
115114eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝐷𝑔) = 𝑁 ↔ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁))
116 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
117116cnveqd 5436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
118117imaeq1d 5606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝑂𝑔) “ {𝑊}) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}))
119118fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) = (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})))
120119, 114breq12d 4799 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔) ↔ (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
121115, 120imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)) ↔ ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))))
122 fta1glem.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
123121, 122, 56rspcdva 3466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
124113, 123mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
125124, 113breqtrd 4812 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁)
126 hashbnd 13327 . . . . . . 7 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
127109, 110, 125, 126syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
128 snfi 8194 . . . . . 6 {𝑇} ∈ Fin
129 unfi 8383 . . . . . 6 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
130127, 128, 129sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
131 hashcl 13349 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
132130, 131syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
133132nn0red 11554 . . 3 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℝ)
134 hashcl 13349 . . . . . 6 (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
135127, 134syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
136135nn0red 11554 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
137 peano2re 10411 . . . 4 ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
138136, 137syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
139 peano2nn0 11535 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
140110, 139syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
141112, 140eqeltrd 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
142141nn0red 11554 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
143 hashun2 13374 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})))
144127, 128, 143sylancl 574 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})))
145 hashsng 13361 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) → (♯‘{𝑇}) = 1)
1461, 145syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑇}) = 1)
147146oveq2d 6809 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})) = ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
148144, 147breqtrd 4812 . . 3 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
149110nn0red 11554 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
150 1red 10257 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
151136, 149, 150, 125leadd1dd 10843 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝑁 + 1))
152151, 112breqtrrd 4814 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝐷𝐹))
153133, 138, 142, 148, 152letrd 10396 . 2 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ (𝐷𝐹))
154105, 153eqbrtrd 4808 1 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  cun 3721  {csn 4316   class class class wbr 4786  ccnv 5248  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042  Fincfn 8109  cr 10137  1c1 10139   + caddc 10141  cle 10277  0cn0 11494  chash 13321  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  0gc0g 16308  s cpws 16315  -gcsg 17632  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756  rcdsr 18846   RingHom crh 18922  NzRingcnzr 19472  Domncdomn 19495  IDomncidom 19496  algSccascl 19526  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762  eval1ce1 19894   deg1 cdg1 24034  Monic1pcmn1 24105  Unic1pcuc1p 24106  quot1pcq1p 24107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-srg 18714  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-rnghom 18925  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-nzr 19473  df-rlreg 19498  df-domn 19499  df-idom 19500  df-assa 19527  df-asp 19528  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-evls 19721  df-evl 19722  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768  df-evl1 19896  df-cnfld 19962  df-mdeg 24035  df-deg1 24036  df-mon1 24110  df-uc1p 24111  df-q1p 24112  df-r1p 24113
This theorem is referenced by:  fta1g  24147
  Copyright terms: Public domain W3C validator