MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem2 26196
Description: Lemma for fta1g 26197. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = (deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
fta1glem.6 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
Assertion
Ref Expression
fta1glem2 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝐷,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝑁   𝑔,𝑂   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑔)   𝑇(𝑔)   𝐾(𝑔)   (𝑔)   𝑋(𝑔)   0 (𝑔)

Proof of Theorem fta1glem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fta1glem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
2 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
3 fta1glem.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
5 fta1g.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
63fvexi 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝐾 ∈ V
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐾 ∈ V)
8 isidom 20703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
98simplbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
11 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑂 = (eval1𝑅)
12 fta1g.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑃 = (Poly1𝑅)
1311, 12, 2, 3evl1rhm 22323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
1410, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
15 fta1g.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐵 = (Base‘𝑃)
1615, 4rhmf 20467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
18 fta1g.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐹𝐵)
1917, 18ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
202, 3, 4, 5, 7, 19pwselbas 17504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
2120ffnd 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
22 fniniseg 7073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
241, 23mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
2524simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
26 fta1glem.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (var1𝑅)
27 fta1glem.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (-g𝑃)
28 fta1glem.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 = (algSc‘𝑃)
29 fta1glem.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
308simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
31 domnnzr 20684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
335, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3424simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇𝐾)
35 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = (0g𝑅)
36 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
3712, 15, 3, 26, 27, 28, 29, 11, 33, 10, 34, 18, 35, 36facth1 26194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3825, 37mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
39 nzrring 20498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
4033, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
41 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
42 fta1g.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 = (deg1𝑅)
4312, 15, 3, 26, 27, 28, 29, 11, 33, 10, 34, 41, 42, 35ply1remlem 26192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4443simp1d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
45 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4645, 41mon1puc1p 26178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
4740, 44, 46syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
48 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (.r𝑃) = (.r𝑃)
49 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
5012, 36, 15, 45, 48, 49dvdsq1p 26190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5140, 18, 47, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5238, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
5352fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) = (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
5449, 12, 15, 45q1pcl 26184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5540, 18, 47, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
5612, 15, 41mon1pcl 26172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
5744, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺𝐵)
58 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (.r‘(𝑅s 𝐾)) = (.r‘(𝑅s 𝐾))
5915, 48, 58rhmmul 20468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6014, 55, 57, 59syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)))
6117, 55ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
6217, 57ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
63 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (.r𝑅)
642, 4, 5, 7, 61, 62, 63, 58pwsmulrval 17506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))(.r‘(𝑅s 𝐾))(𝑂𝐺)) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6553, 60, 643eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺)))
6665fveq1d 6903 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
6766adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥))
682, 3, 4, 5, 7, 61pwselbas 17504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)):𝐾𝐾)
6968ffnd 6729 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
7069adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾)
712, 3, 4, 5, 7, 62pwselbas 17504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
7271ffnd 6729 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
7372adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝐾 ∈ V)
75 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
76 fnfvof 7707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 ∧ (𝑂𝐺) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑥𝐾)) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7770, 73, 74, 75, 76syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∘f (.r𝑅)(𝑂𝐺))‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7867, 77eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐹)‘𝑥) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)))
7978eqeq1d 2728 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊))
805, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
8180adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Domn)
8268ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾)
8371ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾)
843, 63, 35domneq0 20686 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8581, 82, 83, 84syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥)(.r𝑅)((𝑂𝐺)‘𝑥)) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8679, 85bitrd 278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊 ↔ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8786pm5.32da 577 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ (𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
88 andi 1005 . . . . . 6 ((𝑥𝐾 ∧ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊 ∨ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
8987, 88bitrdi 286 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
90 fniniseg 7073 . . . . . 6 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
9121, 90syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑥) = 𝑊)))
92 elun 4148 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}))
93 fniniseg 7073 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9469, 93syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊)))
9543simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇})
9695eleq2d 2812 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑇}))
97 fniniseg 7073 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9872, 97syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
9996, 98bitr3d 280 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑇} ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊)))
10094, 99orbi12d 916 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∨ 𝑥 ∈ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10192, 100bitrid 282 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ↔ ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))‘𝑥) = 𝑊) ∨ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 𝑊))))
10289, 91, 1013bitr4d 310 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ 𝑥 ∈ (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
103102eqrdv 2724 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) = (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}))
104103fveq2d 6905 . 2 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) = (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})))
105 fvex 6914 . . . . . . . . . 10 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
106105cnvex 7938 . . . . . . . . 9 (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ V
107106imaex 7927 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V
108107a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V)
109 fta1glem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
110 fta1g.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝑃)
111 fta1glem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
11212, 15, 42, 11, 35, 110, 5, 18, 3, 26, 27, 28, 29, 109, 111, 1fta1glem1 26195 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
113 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝐷𝑔) = (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
114113eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝐷𝑔) = 𝑁 ↔ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁))
115 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
116115cnveqd 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (𝑂𝑔) = (𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
117116imaeq1d 6068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((𝑂𝑔) “ {𝑊}) = ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}))
118117fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) = (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})))
119118, 113breq12d 5166 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → ((♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔) ↔ (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
120114, 119imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) → (((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)) ↔ ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))))
121 fta1glem.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑔𝐵 ((𝐷𝑔) = 𝑁 → (♯‘((𝑂𝑔) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝑔)))
122120, 121, 55rspcdva 3609 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
123112, 122mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
124123, 112breqtrd 5179 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁)
125 hashbnd 14353 . . . . . . 7 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ≤ 𝑁) → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
126108, 109, 124, 125syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
127 snfi 9081 . . . . . 6 {𝑇} ∈ Fin
128 unfi 9210 . . . . . 6 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
129126, 127, 128sylancl 584 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin)
130 hashcl 14373 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇}) ∈ Fin → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
131129, 130syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℕ0)
132131nn0red 12585 . . 3 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ∈ ℝ)
133 hashcl 14373 . . . . . 6 (((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
134126, 133syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
135134nn0red 12585 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
136 peano2re 11437 . . . 4 ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) ∈ ℝ → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
137135, 136syl 17 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ∈ ℝ)
138 peano2nn0 12564 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
139109, 138syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
140111, 139eqeltrd 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
141140nn0red 12585 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ)
142 hashun2 14400 . . . . 5 ((((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑇} ∈ Fin) → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})))
143126, 127, 142sylancl 584 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})))
144 hashsng 14386 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) → (♯‘{𝑇}) = 1)
1451, 144syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑇}) = 1)
146145oveq2d 7440 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + (♯‘{𝑇})) = ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
147143, 146breqtrd 5179 . . 3 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1))
148109nn0red 12585 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
149 1red 11265 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
150135, 148, 149, 124leadd1dd 11878 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝑁 + 1))
151150, 111breqtrrd 5181 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊})) + 1) ≤ (𝐷𝐹))
152132, 137, 141, 147, 151letrd 11421 . 2 (𝜑 → (♯‘(((𝑂‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) “ {𝑊}) ∪ {𝑇})) ≤ (𝐷𝐹))
153104, 152eqbrtrd 5175 1 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝐹) “ {𝑊})) ≤ (𝐷𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3462  cun 3945  {csn 4633   class class class wbr 5153  ccnv 5681  cima 5685   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  f cof 7688  Fincfn 8974  cr 11157  1c1 11159   + caddc 11161  cle 11299  0cn0 12524  chash 14347  Basecbs 17213  .rcmulr 17267  0gc0g 17454  s cpws 17461  -gcsg 18930  Ringcrg 20216  CRingccrg 20217  rcdsr 20336   RingHom crh 20451  NzRingcnzr 20494  Domncdomn 20670  IDomncidom 20671  algSccascl 21850  var1cv1 22165  Poly1cpl1 22166  eval1ce1 22305  deg1cdg1 26078  Monic1pcmn1 26153  Unic1pcuc1p 26154  quot1pcq1p 26155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-srg 20170  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-rhm 20454  df-nzr 20495  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-rlreg 20672  df-domn 20673  df-idom 20674  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-cnfld 21344  df-assa 21851  df-asp 21852  df-ascl 21853  df-psr 21906  df-mvr 21907  df-mpl 21908  df-opsr 21910  df-evls 22087  df-evl 22088  df-psr1 22169  df-vr1 22170  df-ply1 22171  df-coe1 22172  df-evl1 22307  df-mdeg 26079  df-deg1 26080  df-mon1 26158  df-uc1p 26159  df-q1p 26160  df-r1p 26161
This theorem is referenced by:  fta1g  26197
  Copyright terms: Public domain W3C validator