Theorem domnchr 21512

Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnchr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Proof of Theorem domnchr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2933	. . 3 ⊢ ((chr‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (chr‘𝑅) = 0)
2		domnring 20684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
4	3	chrcl 21504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 0)
8		eldifsn 4731	. . . . . . . 8 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0))
9	6, 7, 8	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
10		dfn2 12450	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
11	9, 10	eleqtrrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ)
12		domnnzr 20683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
13		nzrring 20493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
14		chrnzr 21510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
16	15	ibi 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (chr‘𝑅) ≠ 1)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ≠ 1)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 1)
19		eluz2b3 12872	. . . . . 6 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ ∧ (chr‘𝑅) ≠ 1))
20	11, 18, 19	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2))
21	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
23	22	zrhrhm 21491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
25		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
26		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
27		zringbas 21433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
28		zringmulr 21437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
29		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	27, 28, 29	rhmmul 20465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
31	24, 25, 26, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
32	31	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅)))
33		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Domn)
34		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35	27, 34	rhmf 20464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
36	24, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
37	36, 25	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
38	36, 26	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
39		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
40	34, 29, 39	domneq0 20685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
41	33, 37, 38, 40	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
42	32, 41	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
43	42	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
44		zmulcl 12576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
45	44	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
46	3, 22, 39	chrdvds 21506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
47	21, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
48	3, 22, 39	chrdvds 21506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
49	21, 25, 48	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
50	3, 22, 39	chrdvds 21506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
51	21, 26, 50	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
52	49, 51	orbi12d 919	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
53	43, 47, 52	3imtr4d 294	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
54	53	ralrimivva 3180	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
55		isprm6 16684	. . . . 5 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ ℙ ↔ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦))))
56	20, 54, 55	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℙ)
57	56	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) ≠ 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
58	1, 57	biimtrrid 243	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (¬ (chr‘𝑅) = 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
59	58	orrd 864	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3886  {csn 4567   class class class wbr 5085  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Ringcrg 20214   RingHom crh 20449  NzRingcnzr 20489  Domncdomn 20669  ℤ_ringczring 21426  ℤRHomczrh 21479  chrcchr 21481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-od 19503  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-nzr 20490  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-domn 20672  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-chr 21485

This theorem is referenced by: (None)