MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnchr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem domnchr 21455
Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
domnchr (𝑅 ∈ Domn β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ∨ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
Proof of Theorem domnchr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2936 . . 3 ((chrβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ Β¬ (chrβ€˜π‘…) = 0)
2 domnring 21236 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (chrβ€˜π‘…) = (chrβ€˜π‘…)
43chrcl 21447 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
7 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  0)
8 eldifsn 4786 . . . . . . . 8 ((chrβ€˜π‘…) ∈ (β„•0 βˆ– {0}) ↔ ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0 ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0))
96, 7, 8sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ (β„•0 βˆ– {0}))
10 dfn2 12509 . . . . . . 7 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
119, 10eleqtrrdi 2839 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•)
12 domnnzr 21235 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
13 nzrring 20448 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 chrnzr 21453 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
1615ibi 267 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  1)
1712, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  1)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  1)
19 eluz2b3 12930 . . . . . 6 ((chrβ€˜π‘…) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„• ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
2011, 18, 19sylanbrc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (β„€RHomβ€˜π‘…) = (β„€RHomβ€˜π‘…)
2322zrhrhm 21430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
25 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
26 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
27 zringbas 21372 . . . . . . . . . . . 12 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
28 zringmulr 21376 . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
29 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3027, 28, 29rhmmul 20418 . . . . . . . . . . 11 (((β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
3124, 25, 26, 30syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
3231eqeq1d 2729 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜π‘…)))
33 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
34 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3527, 34rhmf 20417 . . . . . . . . . . . 12 ((β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
3624, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
3736, 25ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3836, 26ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
39 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4034, 29, 39domneq0 21237 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
4133, 37, 38, 40syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
4232, 41bitrd 279 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
4342biimpd 228 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
44 zmulcl 12635 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
4544adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
463, 22, 39chrdvds 21449 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…)))
4721, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…)))
483, 22, 39chrdvds 21449 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
4921, 25, 48syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
503, 22, 39chrdvds 21449 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…)))
5121, 26, 50syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…)))
5249, 51orbi12d 917 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
5343, 47, 523imtr4d 294 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦)))
5453ralrimivva 3195 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦)))
55 isprm6 16678 . . . . 5 ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„™ ↔ ((chrβ€˜π‘…) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦))))
5620, 54, 55sylanbrc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™)
5756ex 412 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((chrβ€˜π‘…) β‰  0 β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
581, 57biimtrrid 242 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (Β¬ (chrβ€˜π‘…) = 0 β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
5958orrd 862 1 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ∨ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   βˆ– cdif 3941  {csn 4624   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133   Β· cmul 11137  β„•cn 12236  2c2 12291  β„•0cn0 12496  β„€cz 12582  β„€β‰₯cuz 12846   βˆ₯ cdvds 16224  β„™cprime 16635  Basecbs 17173  .rcmulr 17227  0gc0g 17414  Ringcrg 20166   RingHom crh 20401  NzRingcnzr 20444  Domncdomn 21220  β„€ringczring 21365  β„€RHomczrh 21418  chrcchr 21420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-prm 16636  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-od 19476  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-rhm 20404  df-nzr 20445  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-domn 21224  df-cnfld 21273  df-zring 21366  df-zrh 21422  df-chr 21424
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator