MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnchr 21479
Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
domnchr (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Proof of Theorem domnchr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2930 . . 3 ((chr‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (chr‘𝑅) = 0)
2 domnring 21260 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
43chrcl 21471 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
65adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
7 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 0)
8 eldifsn 4792 . . . . . . . 8 ((chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0))
96, 7, 8sylanbrc 581 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
10 dfn2 12518 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
119, 10eleqtrrdi 2836 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ)
12 domnnzr 21259 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
13 nzrring 20467 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
14 chrnzr 21477 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
1615ibi 266 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (chr‘𝑅) ≠ 1)
1712, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ≠ 1)
1817adantr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 1)
19 eluz2b3 12939 . . . . . 6 ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ ∧ (chr‘𝑅) ≠ 1))
2011, 18, 19sylanbrc 581 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℤ‘2))
212ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
22 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
2322zrhrhm 21454 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
25 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
26 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
27 zringbas 21396 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
28 zringmulr 21400 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
29 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3027, 28, 29rhmmul 20437 . . . . . . . . . . 11 (((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
3124, 25, 26, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
3231eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g𝑅)))
33 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Domn)
34 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3527, 34rhmf 20436 . . . . . . . . . . . 12 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
3624, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
3736, 25ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
3836, 26ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
39 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4034, 29, 39domneq0 21261 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
4133, 37, 38, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
4232, 41bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
4342biimpd 228 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅) → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
44 zmulcl 12644 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
4544adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
463, 22, 39chrdvds 21473 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅)))
4721, 45, 46syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅)))
483, 22, 39chrdvds 21473 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅)))
4921, 25, 48syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅)))
503, 22, 39chrdvds 21473 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅)))
5121, 26, 50syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅)))
5249, 51orbi12d 916 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
5343, 47, 523imtr4d 293 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
5453ralrimivva 3190 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
55 isprm6 16688 . . . . 5 ((chr‘𝑅) ∈ ℙ ↔ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦))))
5620, 54, 55sylanbrc 581 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℙ)
5756ex 411 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) ≠ 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
581, 57biimtrrid 242 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (¬ (chr‘𝑅) = 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
5958orrd 861 1 (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  cdif 3941  {csn 4630   class class class wbr 5149  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  cdvds 16234  cprime 16645  Basecbs 17183  .rcmulr 17237  0gc0g 17424  Ringcrg 20185   RingHom crh 20420  NzRingcnzr 20463  Domncdomn 21244  ringczring 21389  ℤRHomczrh 21442  chrcchr 21444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-prm 16646  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-od 19495  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-rhm 20423  df-nzr 20464  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-domn 21248  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-chr 21448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator