MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnchr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem domnchr 21391
Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
domnchr (𝑅 ∈ Domn β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ∨ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
Proof of Theorem domnchr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2933 . . 3 ((chrβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ Β¬ (chrβ€˜π‘…) = 0)
2 domnring 21196 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (chrβ€˜π‘…) = (chrβ€˜π‘…)
43chrcl 21383 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
7 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  0)
8 eldifsn 4782 . . . . . . . 8 ((chrβ€˜π‘…) ∈ (β„•0 βˆ– {0}) ↔ ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0 ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0))
96, 7, 8sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ (β„•0 βˆ– {0}))
10 dfn2 12482 . . . . . . 7 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
119, 10eleqtrrdi 2836 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•)
12 domnnzr 21195 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
13 nzrring 20408 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 chrnzr 21389 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
1615ibi 267 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  1)
1712, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  1)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  1)
19 eluz2b3 12903 . . . . . 6 ((chrβ€˜π‘…) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„• ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
2011, 18, 19sylanbrc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
212ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (β„€RHomβ€˜π‘…) = (β„€RHomβ€˜π‘…)
2322zrhrhm 21366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
25 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
26 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
27 zringbas 21308 . . . . . . . . . . . 12 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
28 zringmulr 21312 . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
29 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3027, 28, 29rhmmul 20378 . . . . . . . . . . 11 (((β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
3124, 25, 26, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
3231eqeq1d 2726 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜π‘…)))
33 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
34 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3527, 34rhmf 20377 . . . . . . . . . . . 12 ((β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
3624, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
3736, 25ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3836, 26ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
39 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4034, 29, 39domneq0 21197 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
4133, 37, 38, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
4232, 41bitrd 279 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
4342biimpd 228 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
44 zmulcl 12608 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
4544adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
463, 22, 39chrdvds 21385 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…)))
4721, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…)))
483, 22, 39chrdvds 21385 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
4921, 25, 48syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
503, 22, 39chrdvds 21385 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…)))
5121, 26, 50syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…)))
5249, 51orbi12d 915 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
5343, 47, 523imtr4d 294 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦)))
5453ralrimivva 3192 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦)))
55 isprm6 16648 . . . . 5 ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„™ ↔ ((chrβ€˜π‘…) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦))))
5620, 54, 55sylanbrc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™)
5756ex 412 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((chrβ€˜π‘…) β‰  0 β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
581, 57biimtrrid 242 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (Β¬ (chrβ€˜π‘…) = 0 β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
5958orrd 860 1 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ∨ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   βˆ– cdif 3937  {csn 4620   class class class wbr 5138  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819   βˆ₯ cdvds 16194  β„™cprime 16605  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Ringcrg 20128   RingHom crh 20361  NzRingcnzr 20404  Domncdomn 21180  β„€ringczring 21301  β„€RHomczrh 21354  chrcchr 21356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433  df-prm 16606  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-od 19438  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-nzr 20405  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-domn 21184  df-cnfld 21229  df-zring 21302  df-zrh 21358  df-chr 21360
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator