Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnchr 20229
 Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
domnchr (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Proof of Theorem domnchr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2988 . . 3 ((chr‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (chr‘𝑅) = 0)
2 domnring 20066 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
43chrcl 20223 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
65adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
7 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 0)
8 eldifsn 4680 . . . . . . . 8 ((chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0))
96, 7, 8sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
10 dfn2 11901 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
119, 10eleqtrrdi 2901 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ)
12 domnnzr 20065 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
13 nzrring 20031 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
14 chrnzr 20227 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
1615ibi 270 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (chr‘𝑅) ≠ 1)
1712, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ≠ 1)
1817adantr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 1)
19 eluz2b3 12313 . . . . . 6 ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ ∧ (chr‘𝑅) ≠ 1))
2011, 18, 19sylanbrc 586 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℤ‘2))
212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
22 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
2322zrhrhm 20210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
25 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
26 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
27 zringbas 20173 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
28 zringmulr 20176 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
29 eqid 2798 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3027, 28, 29rhmmul 19479 . . . . . . . . . . 11 (((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
3124, 25, 26, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
3231eqeq1d 2800 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g𝑅)))
33 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Domn)
34 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3527, 34rhmf 19478 . . . . . . . . . . . 12 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
3624, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
3736, 25ffvelrnd 6830 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
3836, 26ffvelrnd 6830 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
39 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4034, 29, 39domneq0 20067 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
4133, 37, 38, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
4232, 41bitrd 282 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
4342biimpd 232 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅) → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
44 zmulcl 12022 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
4544adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
463, 22, 39chrdvds 20225 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅)))
4721, 45, 46syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅)))
483, 22, 39chrdvds 20225 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅)))
4921, 25, 48syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅)))
503, 22, 39chrdvds 20225 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅)))
5121, 26, 50syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅)))
5249, 51orbi12d 916 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
5343, 47, 523imtr4d 297 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
5453ralrimivva 3156 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
55 isprm6 16051 . . . . 5 ((chr‘𝑅) ∈ ℙ ↔ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦))))
5620, 54, 55sylanbrc 586 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℙ)
5756ex 416 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) ≠ 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
581, 57syl5bir 246 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (¬ (chr‘𝑅) = 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
5958orrd 860 1 (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ∖ cdif 3878  {csn 4525   class class class wbr 5031  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534  ℕcn 11628  2c2 11683  ℕ0cn0 11888  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234   ∥ cdvds 15602  ℙcprime 16008  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  Ringcrg 19294   RingHom crh 19464  NzRingcnzr 20027  Domncdomn 20050  ℤringzring 20167  ℤRHomczrh 20198  chrcchr 20200 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8893  df-inf 8894  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fl 13160  df-mod 13236  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15837  df-prm 16009  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-od 18652  df-cmn 18904  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-nzr 20028  df-domn 20054  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20202  df-chr 20204 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator