Theorem domnchr 20648

Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnchr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Proof of Theorem domnchr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2943	. . 3 ⊢ ((chr‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (chr‘𝑅) = 0)
2		domnring 20480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
4	3	chrcl 20642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 0)
8		eldifsn 4717	. . . . . . . 8 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0))
9	6, 7, 8	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
10		dfn2 12176	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
11	9, 10	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ)
12		domnnzr 20479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
13		nzrring 20445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
14		chrnzr 20646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
16	15	ibi 266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (chr‘𝑅) ≠ 1)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ≠ 1)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 1)
19		eluz2b3 12591	. . . . . 6 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ ∧ (chr‘𝑅) ≠ 1))
20	11, 18, 19	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2))
21	2	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
23	22	zrhrhm 20625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
25		simprl 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
26		simprr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
27		zringbas 20588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
28		zringmulr 20591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
29		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	27, 28, 29	rhmmul 19886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
31	24, 25, 26, 30	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
32	31	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅)))
33		simpll 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Domn)
34		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35	27, 34	rhmf 19885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
36	24, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
37	36, 25	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
38	36, 26	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
39		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
40	34, 29, 39	domneq0 20481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
41	33, 37, 38, 40	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
42	32, 41	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
43	42	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
44		zmulcl 12299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
45	44	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
46	3, 22, 39	chrdvds 20644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
47	21, 45, 46	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
48	3, 22, 39	chrdvds 20644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
49	21, 25, 48	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
50	3, 22, 39	chrdvds 20644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
51	21, 26, 50	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
52	49, 51	orbi12d 915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
53	43, 47, 52	3imtr4d 293	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
54	53	ralrimivva 3114	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
55		isprm6 16347	. . . . 5 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ ℙ ↔ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦))))
56	20, 54, 55	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℙ)
57	56	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) ≠ 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
58	1, 57	syl5bir 242	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (¬ (chr‘𝑅) = 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
59	58	orrd 859	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880  {csn 4558   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698   RingHom crh 19871  NzRingcnzr 20441  Domncdomn 20464  ℤ_ringzring 20582  ℤRHomczrh 20613  chrcchr 20615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-od 19051  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-rnghom 19874  df-subrg 19937  df-nzr 20442  df-domn 20468  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-chr 20619

This theorem is referenced by: (None)