MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnchr 20497
Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
domnchr (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Proof of Theorem domnchr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . 3 ((chr‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (chr‘𝑅) = 0)
2 domnring 20334 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
43chrcl 20491 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
65adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
7 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 0)
8 eldifsn 4700 . . . . . . . 8 ((chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0))
96, 7, 8sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
10 dfn2 12103 . . . . . . 7 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
119, 10eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ)
12 domnnzr 20333 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
13 nzrring 20299 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
14 chrnzr 20495 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
1615ibi 270 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → (chr‘𝑅) ≠ 1)
1712, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ≠ 1)
1817adantr 484 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 1)
19 eluz2b3 12518 . . . . . 6 ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ ∧ (chr‘𝑅) ≠ 1))
2011, 18, 19sylanbrc 586 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℤ‘2))
212ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
2322zrhrhm 20478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
25 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
26 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
27 zringbas 20441 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
28 zringmulr 20444 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3027, 28, 29rhmmul 19747 . . . . . . . . . . 11 (((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
3124, 25, 26, 30syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
3231eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g𝑅)))
33 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Domn)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3527, 34rhmf 19746 . . . . . . . . . . . 12 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
3624, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
3736, 25ffvelrnd 6905 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
3836, 26ffvelrnd 6905 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
39 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4034, 29, 39domneq0 20335 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
4133, 37, 38, 40syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
4232, 41bitrd 282 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
4342biimpd 232 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅) → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
44 zmulcl 12226 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
4544adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
463, 22, 39chrdvds 20493 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅)))
4721, 45, 46syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g𝑅)))
483, 22, 39chrdvds 20493 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅)))
4921, 25, 48syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅)))
503, 22, 39chrdvds 20493 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅)))
5121, 26, 50syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅)))
5249, 51orbi12d 919 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g𝑅))))
5343, 47, 523imtr4d 297 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
5453ralrimivva 3112 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
55 isprm6 16271 . . . . 5 ((chr‘𝑅) ∈ ℙ ↔ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦))))
5620, 54, 55sylanbrc 586 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℙ)
5756ex 416 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) ≠ 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
581, 57syl5bir 246 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (¬ (chr‘𝑅) = 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
5958orrd 863 1 (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  cdif 3863  {csn 4541   class class class wbr 5053  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734  cn 11830  2c2 11885  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  cdvds 15815  cprime 16228  Basecbs 16760  .rcmulr 16803  0gc0g 16944  Ringcrg 19562   RingHom crh 19732  NzRingcnzr 20295  Domncdomn 20318  ringzring 20435  ℤRHomczrh 20466  chrcchr 20468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-od 18920  df-cmn 19172  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-rnghom 19735  df-subrg 19798  df-nzr 20296  df-domn 20322  df-cnfld 20364  df-zring 20436  df-zrh 20470  df-chr 20472
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator