MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnchr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem domnchr 21084
Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
domnchr (𝑅 ∈ Domn β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ∨ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
Proof of Theorem domnchr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2942 . . 3 ((chrβ€˜π‘…) β‰  0 ↔ Β¬ (chrβ€˜π‘…) = 0)
2 domnring 20912 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (chrβ€˜π‘…) = (chrβ€˜π‘…)
43chrcl 21078 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
52, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0)
7 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  0)
8 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 ((chrβ€˜π‘…) ∈ (β„•0 βˆ– {0}) ↔ ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„•0 ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0))
96, 7, 8sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ (β„•0 βˆ– {0}))
10 dfn2 12485 . . . . . . 7 β„• = (β„•0 βˆ– {0})
119, 10eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„•)
12 domnnzr 20911 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
13 nzrring 20295 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 chrnzr 21082 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
1615ibi 267 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  1)
1712, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  1)
1817adantr 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) β‰  1)
19 eluz2b3 12906 . . . . . 6 ((chrβ€˜π‘…) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„• ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  1))
2011, 18, 19sylanbrc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (β„€RHomβ€˜π‘…) = (β„€RHomβ€˜π‘…)
2322zrhrhm 21061 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
25 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
26 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
27 zringbas 21023 . . . . . . . . . . . 12 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
28 zringmulr 21027 . . . . . . . . . . . 12 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
3027, 28, 29rhmmul 20264 . . . . . . . . . . 11 (((β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
3124, 25, 26, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
3231eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜π‘…)))
33 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3527, 34rhmf 20263 . . . . . . . . . . . 12 ((β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
3624, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘…))
3736, 25ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3836, 26ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
39 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4034, 29, 39domneq0 20913 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
4133, 37, 38, 40syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
4232, 41bitrd 279 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
4342biimpd 228 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
44 zmulcl 12611 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
4544adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€)
463, 22, 39chrdvds 21080 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…)))
4721, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(π‘₯ Β· 𝑦)) = (0gβ€˜π‘…)))
483, 22, 39chrdvds 21080 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
4921, 25, 48syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
503, 22, 39chrdvds 21080 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ β„€) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…)))
5121, 26, 50syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦 ↔ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…)))
5249, 51orbi12d 918 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ (((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦) ↔ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) ∨ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘…))))
5343, 47, 523imtr4d 294 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑦 ∈ β„€)) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦)))
5453ralrimivva 3201 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦)))
55 isprm6 16651 . . . . 5 ((chrβ€˜π‘…) ∈ β„™ ↔ ((chrβ€˜π‘…) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„€ βˆ€π‘¦ ∈ β„€ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ ((chrβ€˜π‘…) βˆ₯ π‘₯ ∨ (chrβ€˜π‘…) βˆ₯ 𝑦))))
5620, 54, 55sylanbrc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chrβ€˜π‘…) β‰  0) β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™)
5756ex 414 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((chrβ€˜π‘…) β‰  0 β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
581, 57biimtrrid 242 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (Β¬ (chrβ€˜π‘…) = 0 β†’ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
5958orrd 862 1 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ∨ (chrβ€˜π‘…) ∈ β„™))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Ringcrg 20056   RingHom crh 20248  NzRingcnzr 20291  Domncdomn 20896  β„€ringczring 21017  β„€RHomczrh 21049  chrcchr 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-od 19396  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-domn 20900  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-chr 21055
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator