Theorem domnchr 21571

Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnchr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Proof of Theorem domnchr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2957	. . 3 ⊢ ((chr‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (chr‘𝑅) = 0)
2		domnring 20743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
4	3	chrcl 21563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
7		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 0)
8		eldifsn 4743	. . . . . . . 8 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0))
9	6, 7, 8	sylanbrc 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
10		dfn2 12487	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
11	9, 10	eleqtrrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ)
12		domnnzr 20742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
13		nzrring 20552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
14		chrnzr 21569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
16	15	ibi 269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (chr‘𝑅) ≠ 1)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ≠ 1)
18	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 1)
19		eluz2b3 12916	. . . . . 6 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ ∧ (chr‘𝑅) ≠ 1))
20	11, 18, 19	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2))
21	2	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
23	22	zrhrhm 21550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
25		simprl 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
26		simprr 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
27		zringbas 21492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
28		zringmulr 21496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
29		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	27, 28, 29	rhmmul 20521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
31	24, 25, 26, 30	syl3anc 1389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
32	31	eqeq1d 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅)))
33		simpll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Domn)
34		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35	27, 34	rhmf 20519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
36	24, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
37	36, 25	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
38	36, 26	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
39		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
40	34, 29, 39	domneq0 20744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
41	33, 37, 38, 40	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
42	32, 41	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
43	42	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
44		zmulcl 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
45	44	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
46	3, 22, 39	chrdvds 21565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
47	21, 45, 46	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
48	3, 22, 39	chrdvds 21565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
49	21, 25, 48	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
50	3, 22, 39	chrdvds 21565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
51	21, 26, 50	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
52	49, 51	orbi12d 929	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
53	43, 47, 52	3imtr4d 296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
54	53	ralrimivva 3204	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
55		isprm6 16739	. . . . 5 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ ℙ ↔ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦))))
56	20, 54, 55	sylanbrc 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℙ)
57	56	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) ≠ 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
58	1, 57	biimtrrid 245	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (¬ (chr‘𝑅) = 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
59	58	orrd 874	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ∖ cdif 3899  {csn 4579   class class class wbr 5097  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11066  1c1 11067   · cmul 11071  ℕcn 12203  2c2 12265  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832   ∥ cdvds 16276  ℙcprime 16695  Basecbs 17235  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Ringcrg 20269   RingHom crh 20504  NzRingcnzr 20548  Domncdomn 20728  ℤ_ringczring 21485  ℤRHomczrh 21538  chrcchr 21540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145  ax-mulf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-inf 9382  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-dvds 16277  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-od 19558  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-ring 20271  df-cring 20272  df-rhm 20507  df-nzr 20549  df-subrng 20582  df-subrg 20606  df-domn 20731  df-cnfld 21412  df-zring 21486  df-zrh 21542  df-chr 21544

This theorem is referenced by: (None)