Theorem domnchr 20736

Description: The characteristic of a domain can only be zero or a prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnchr	⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Proof of Theorem domnchr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2944	. . 3 ⊢ ((chr‘𝑅) ≠ 0 ↔ ¬ (chr‘𝑅) = 0)
2		domnring 20567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
4	3	chrcl 20730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
6	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ0)
7		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 0)
8		eldifsn 4720	. . . . . . . 8 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ0 ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0))
9	6, 7, 8	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
10		dfn2 12246	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
11	9, 10	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℕ)
12		domnnzr 20566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
13		nzrring 20532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
14		chrnzr 20734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝑅 ∈ NzRing ↔ (chr‘𝑅) ≠ 1))
16	15	ibi 266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (chr‘𝑅) ≠ 1)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (chr‘𝑅) ≠ 1)
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ≠ 1)
19		eluz2b3 12662	. . . . . 6 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((chr‘𝑅) ∈ ℕ ∧ (chr‘𝑅) ≠ 1))
20	11, 18, 19	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2))
21	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Ring)
22		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
23	22	zrhrhm 20713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
25		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
26		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
27		zringbas 20676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
28		zringmulr 20679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ · = (.r‘ℤring)
29		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
30	27, 28, 29	rhmmul 19971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
31	24, 25, 26, 30	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)))
32	31	eqeq1d 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅)))
33		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑅 ∈ Domn)
34		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
35	27, 34	rhmf 19970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
36	24, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
37	36, 25	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
38	36, 26	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
39		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
40	34, 29, 39	domneq0 20568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
41	33, 37, 38, 40	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
42	32, 41	bitrd 278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
43	42	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅) → (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
44		zmulcl 12369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
45	44	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
46	3, 22, 39	chrdvds 20732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
47	21, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘(𝑥 · 𝑦)) = (0g‘𝑅)))
48	3, 22, 39	chrdvds 20732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
49	21, 25, 48	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
50	3, 22, 39	chrdvds 20732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
51	21, 26, 50	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑦 ↔ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅)))
52	49, 51	orbi12d 916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦) ↔ (((ℤRHom‘𝑅)‘𝑥) = (0g‘𝑅) ∨ ((ℤRHom‘𝑅)‘𝑦) = (0g‘𝑅))))
53	43, 47, 52	3imtr4d 294	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
54	53	ralrimivva 3123	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦)))
55		isprm6 16419	. . . . 5 ⊢ ((chr‘𝑅) ∈ ℙ ↔ ((chr‘𝑅) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ ((chr‘𝑅) ∥ (𝑥 · 𝑦) → ((chr‘𝑅) ∥ 𝑥 ∨ (chr‘𝑅) ∥ 𝑦))))
56	20, 54, 55	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (chr‘𝑅) ≠ 0) → (chr‘𝑅) ∈ ℙ)
57	56	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) ≠ 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
58	1, 57	syl5bir 242	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (¬ (chr‘𝑅) = 0 → (chr‘𝑅) ∈ ℙ))
59	58	orrd 860	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((chr‘𝑅) = 0 ∨ (chr‘𝑅) ∈ ℙ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783   RingHom crh 19956  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20551  ℤ_ringczring 20670  ℤRHomczrh 20701  chrcchr 20703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-od 19136  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-rnghom 19959  df-subrg 20022  df-nzr 20529  df-domn 20555  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-chr 20707

This theorem is referenced by: (None)