Theorem lgsqrlem4 27625

Description: Lemma for lgsqr 27627. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥, 𝑦)   ↑ (𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑥, 𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2		lgsqr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
3		lgsqr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		lgsqr.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
5		lgsqr.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
6		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7		lgsqr.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
8		lgsqr.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑆)
9		lgsqr.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
10		lgsqr.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
11		lgsqr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12		lgsqr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13		lgsqr.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lgsqrlem2 27623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
15		fvex 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑂‘𝑇) ∈ V
16	15	cnvex 7921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑂‘𝑇) ∈ V
17	16	imaex 7910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V
18	17	f1dom 8979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
19	14, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
20		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
21		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	12	eldifad 3911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
23	1	znfld 21813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
25		fldidom 20976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
27		isidom 20923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
28	27	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
30		crngring 20419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
32	2	ply1ring 22512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
34		ringgrp 20411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
36		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37	36, 3	mgpbas 20312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
38	36	ringmgp 20412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
39	33, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
40		oddprm 16935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
41	12, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
42	41	nnnn0d 12622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43	7, 2, 3	vr1cl 22482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	31, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
45	37, 6, 39, 42, 44	mulgnn0cld 19252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
46	3, 9	ringidcl 20441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
47	33, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
48	3, 8	grpsubcl 19177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
49	35, 45, 47, 48	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
50	10, 49	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
51	10	fveq2i 6877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
52	41	nngt0d 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
53		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
54		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
55	2, 53, 54, 9	ply1scl1 22558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
56	31, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
57	56	fveq2d 6878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝐷‘ 1 ))
58		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
59	58, 54	ringidcl 20441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
60	31, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
61		domnnzr 20905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
62	27, 61	simplbiim 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
63	26, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ NzRing)
64	54, 20	nzrnz 20712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
65	63, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
66	4, 2, 58, 53, 20	deg1scl 26378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
67	31, 60, 65, 66	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
68	57, 67	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) = 0)
69	4, 2, 7, 36, 6	deg1pw 26386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
70	63, 42, 69	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
71	52, 68, 70	3brtr4d 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
72	2, 4, 31, 3, 8, 45, 47, 71	deg1sub 26373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
73	51, 72	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
74	73, 70	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
75	74, 42	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0)
76	4, 2, 21, 3	deg1nn0clb 26355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
77	31, 50, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
78	75, 77	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ (0g‘𝑆))
79	2, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 50, 78	fta1g 26435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (𝐷‘𝑇))
80	79, 74	breqtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
81		hashfz1 14443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
82	42, 81	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
83	80, 82	breqtrrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
84		hashbnd 14433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
85	17, 42, 80, 84	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
86		fzfid 14070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
87		hashdom 14476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
88	85, 86, 87	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
89	83, 88	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
90		sbth 9095	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
91	19, 89, 90	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
92		f1finf1o 9243	. . . . . . 7 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
93	91, 85, 92	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
94	14, 93	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
95		f1ocnv 6826	. . . . 5 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
96		f1of 6813	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
97	94, 95, 96	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
98		lgsqr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
99		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
100	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 98, 99	lgsqrlem3 27624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
101	97, 100	ffvelcdmd 7074	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
102	101	elfzelzd 13612	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ)
103		fvoveq1 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
104		fvoveq1 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
105	104	cbvmptv 5209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
106	13, 105	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
107		fvex 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) ∈ V
108	103, 106, 107	fvmpt 6982	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
109	101, 108	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
110		f1ocnvfv2 7274	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
111	94, 100, 110	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
112	109, 111	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴))
113		prmnn 16797	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
114	22, 113	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
115	114	nnnn0d 12622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
116		zsqcl 14226	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
117	102, 116	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
118	1, 11	zndvds 21802	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
119	115, 117, 98, 118	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
120	112, 119	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
121		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2))
122	121	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
123	122	breq2d 5115	. . 3 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
124	123	rspcev 3576	. 2 ⊢ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
125	102, 120, 124	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5647   “ cima 5651  ⟶wf 6524  –1-1→wf1 6525  –1-1-onto→wf1o 6527  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950  Fincfn 8952  0cc0 11157  1c1 11158   < clt 11300   ≤ cle 11301   − cmin 11498   / cdiv 11928  ℕcn 12290  2c2 12352  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ...cfz 13594  ↑cexp 14158  ♯chash 14427   ∥ cdvds 16375  ℙcprime 16794  Basecbs 17334  0_gc0g 17557  Mndcmnd 18870  Grpcgrp 19091  -_gcsg 19093  ._gcmg 19224  mulGrpcmgp 20307  1_rcur 20354  Ringcrg 20406  CRingccrg 20407  NzRingcnzr 20709  Domncdomn 20891  IDomncidom 20892  Fieldcfield 20928  ℤRHomczrh 21752  ℤ/nℤczn 21755  algSccascl 22107  var₁cv1 22441  Poly₁cpl1 22442  eval₁ce1 22579  deg₁cdg1 26319   /_L clgs 27570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236  ax-mulf 11237

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-dvds 16376  df-gcd 16618  df-prm 16795  df-phi 16890  df-pc 16962  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-imas 17627  df-qus 17628  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-nsg 19281  df-eqg 19282  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-srg 20360  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-dvr 20578  df-rhm 20649  df-nzr 20710  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-rlreg 20893  df-domn 20894  df-idom 20895  df-drng 20929  df-field 20930  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-lidl 21433  df-rsp 21434  df-2idl 21490  df-cnfld 21626  df-zring 21700  df-zrh 21756  df-zn 21759  df-assa 22108  df-asp 22109  df-ascl 22110  df-psr 22164  df-mvr 22165  df-mpl 22166  df-opsr 22168  df-evls 22330  df-evl 22331  df-psr1 22445  df-vr1 22446  df-ply1 22447  df-coe1 22448  df-evl1 22581  df-mdeg 26320  df-deg1 26321  df-mon1 26396  df-uc1p 26397  df-q1p 26398  df-r1p 26399  df-lgs 27571

This theorem is used by:  lgsqrlem5  27626