MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem4 27393
Description: Lemma for lgsqr 27395. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = (deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2 lgsqr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Poly1𝑌)
3 lgsqr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 lgsqr.d . . . . . . 7 𝐷 = (deg1𝑌)
5 lgsqr.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑌)
6 lgsqr.e . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7 lgsqr.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑌)
8 lgsqr.m . . . . . . 7 = (-g𝑆)
9 lgsqr.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑆)
10 lgsqr.t . . . . . . 7 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
11 lgsqr.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13 lgsqr.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 27391 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
15 fvex 6919 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂𝑇) ∈ V
1615cnvex 7947 . . . . . . . . . . 11 (𝑂𝑇) ∈ V
1716imaex 7936 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V
1817f1dom 9014 . . . . . . . . 9 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
20 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2212eldifad 3963 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
231znfld 21579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ Field)
25 fldidom 20771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
27 isidom 20725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
2827simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
30 crngring 20242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
322ply1ring 22249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
34 ringgrp 20235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
36 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3736, 3mgpbas 20142 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
3836ringmgp 20236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
3933, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
40 oddprm 16848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4112, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4241nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
437, 2, 3vr1cl 22219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4431, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋𝐵)
4537, 6, 39, 42, 44mulgnn0cld 19113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
463, 9ringidcl 20262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
4733, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑1𝐵)
483, 8grpsubcl 19038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
4935, 45, 47, 48syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
5010, 49eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝐵)
5110fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))
5241nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
53 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
54 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1r𝑌) = (1r𝑌)
552, 53, 54, 9ply1scl1 22296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5631, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5756fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = (𝐷1 ))
58 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5958, 54ringidcl 20262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
6031, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
61 domnnzr 20706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
6227, 61simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
6326, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ NzRing)
6454, 20nzrnz 20515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ NzRing → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
664, 2, 58, 53, 20deg1scl 26152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ≠ (0g𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6731, 60, 65, 66syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6857, 67eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷1 ) = 0)
694, 2, 7, 36, 6deg1pw 26160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7063, 42, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7152, 68, 703brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
722, 4, 31, 3, 8, 45, 47, 71deg1sub 26147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7351, 72eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7473, 70eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
7574, 42eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝑇) ∈ ℕ0)
764, 2, 21, 3deg1nn0clb 26129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵) → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7731, 50, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7875, 77mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ (0g𝑆))
792, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 50, 78fta1g 26209 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (𝐷𝑇))
8079, 74breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
81 hashfz1 14385 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8242, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8380, 82breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
84 hashbnd 14375 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
8517, 42, 80, 84mp3an2i 1468 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
86 fzfid 14014 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
87 hashdom 14418 . . . . . . . . . 10 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
8983, 88mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
90 sbth 9133 . . . . . . . 8 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
9119, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
92 f1finf1o 9305 . . . . . . 7 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9391, 85, 92syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9414, 93mpbid 232 . . . . 5 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
95 f1ocnv 6860 . . . . 5 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
96 f1of 6848 . . . . 5 (𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
9794, 95, 963syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
98 lgsqr.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
99 lgsqr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
1001, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 98, 99lgsqrlem3 27392 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
10197, 100ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
102101elfzelzd 13565 . 2 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ)
103 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
104 fvoveq1 7454 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
105104cbvmptv 5255 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
10613, 105eqtri 2765 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
107 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) ∈ V
108103, 106, 107fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
109101, 108syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
110 f1ocnvfv2 7297 . . . . 5 ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
11194, 100, 110syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
112109, 111eqtr3d 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴))
113 prmnn 16711 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11422, 113syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
115114nnnn0d 12587 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
116 zsqcl 14169 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
117102, 116syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
1181, 11zndvds 21568 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
119115, 117, 98, 118syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
120112, 119mpbid 232 . 2 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
121 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑥↑2) = ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2))
122121oveq1d 7446 . . . 4 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
123122breq2d 5155 . . 3 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
124123rspcev 3622 . 2 (((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
125102, 120, 124syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  wf 6557  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cen 8982  cdom 8983  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  ...cfz 13547  cexp 14102  chash 14369  cdvds 16290  cprime 16708  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  .gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  NzRingcnzr 20512  Domncdomn 20692  IDomncidom 20693  Fieldcfield 20730  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513  algSccascl 21872  var1cv1 22177  Poly1cpl1 22178  eval1ce1 22318  deg1cdg1 26093   /L clgs 27338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-evl1 22320  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-mon1 26170  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173  df-lgs 27339
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  27394
  Copyright terms: Public domain W3C validator