Theorem lgsqrlem4 27330

Description: Lemma for lgsqr 27332. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥,𝑦)   ↑ (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2		lgsqr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
3		lgsqr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		lgsqr.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
5		lgsqr.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
6		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7		lgsqr.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
8		lgsqr.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑆)
9		lgsqr.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
10		lgsqr.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
11		lgsqr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12		lgsqr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13		lgsqr.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lgsqrlem2 27328	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
15		fvex 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑂‘𝑇) ∈ V
16	15	cnvex 7871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑂‘𝑇) ∈ V
17	16	imaex 7860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V
18	17	f1dom 8915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
20		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
21		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	12	eldifad 3902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
23	1	znfld 21554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
25		fldidom 20743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
27		isidom 20697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
28	27	simplbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
30		crngring 20221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
32	2	ply1ring 22225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
34		ringgrp 20214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
36		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37	36, 3	mgpbas 20121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
38	36	ringmgp 20215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
39	33, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
40		oddprm 16776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
41	12, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
42	41	nnnn0d 12493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43	7, 2, 3	vr1cl 22195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	31, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
45	37, 6, 39, 42, 44	mulgnn0cld 19066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
46	3, 9	ringidcl 20241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
47	33, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
48	3, 8	grpsubcl 18991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
49	35, 45, 47, 48	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
50	10, 49	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
51	10	fveq2i 6839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
52	41	nngt0d 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
53		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
54		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
55	2, 53, 54, 9	ply1scl1 22271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
56	31, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
57	56	fveq2d 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝐷‘ 1 ))
58		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
59	58, 54	ringidcl 20241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
60	31, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
61		domnnzr 20678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
62	27, 61	simplbiim 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
63	26, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ NzRing)
64	54, 20	nzrnz 20487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
66	4, 2, 58, 53, 20	deg1scl 26092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
67	31, 60, 65, 66	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
68	57, 67	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) = 0)
69	4, 2, 7, 36, 6	deg1pw 26100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
70	63, 42, 69	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
71	52, 68, 70	3brtr4d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
72	2, 4, 31, 3, 8, 45, 47, 71	deg1sub 26087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
73	51, 72	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
74	73, 70	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
75	74, 42	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0)
76	4, 2, 21, 3	deg1nn0clb 26069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
77	31, 50, 76	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
78	75, 77	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ (0g‘𝑆))
79	2, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 50, 78	fta1g 26149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (𝐷‘𝑇))
80	79, 74	breqtrd 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
81		hashfz1 14303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
82	42, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
83	80, 82	breqtrrd 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
84		hashbnd 14293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
85	17, 42, 80, 84	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
86		fzfid 13930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
87		hashdom 14336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
88	85, 86, 87	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
89	83, 88	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
90		sbth 9030	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
91	19, 89, 90	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
92		f1finf1o 9178	. . . . . . 7 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
93	91, 85, 92	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
94	14, 93	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
95		f1ocnv 6788	. . . . 5 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
96		f1of 6776	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
97	94, 95, 96	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
98		lgsqr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
99		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
100	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 98, 99	lgsqrlem3 27329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
101	97, 100	ffvelcdmd 7033	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
102	101	elfzelzd 13474	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ)
103		fvoveq1 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
104		fvoveq1 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
105	104	cbvmptv 5190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
106	13, 105	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
107		fvex 6849	. . . . . 6 ⊢ (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) ∈ V
108	103, 106, 107	fvmpt 6943	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
109	101, 108	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
110		f1ocnvfv2 7227	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
111	94, 100, 110	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
112	109, 111	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴))
113		prmnn 16638	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
114	22, 113	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
115	114	nnnn0d 12493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
116		zsqcl 14086	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
117	102, 116	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
118	1, 11	zndvds 21543	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
119	115, 117, 98, 118	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
120	112, 119	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
121		oveq1 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2))
122	121	oveq1d 7377	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
123	122	breq2d 5098	. . 3 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
124	123	rspcev 3565	. 2 ⊢ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
125	102, 120, 124	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5625   “ cima 5629  ⟶wf 6490  –1-1→wf1 6491  –1-1-onto→wf1o 6493  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ≈ cen 8885   ≼ cdom 8886  Fincfn 8888  0cc0 11033  1c1 11034   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ...cfz 13456  ↑cexp 14018  ♯chash 14287   ∥ cdvds 16216  ℙcprime 16635  Basecbs 17174  0_gc0g 17397  Mndcmnd 18697  Grpcgrp 18904  -_gcsg 18906  ._gcmg 19038  mulGrpcmgp 20116  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210  NzRingcnzr 20484  Domncdomn 20664  IDomncidom 20665  Fieldcfield 20702  ℤRHomczrh 21493  ℤ/nℤczn 21496  algSccascl 21846  var₁cv1 22153  Poly₁cpl1 22154  eval₁ce1 22293  deg₁cdg1 26033   /_L clgs 27275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-prm 16636  df-phi 16731  df-pc 16803  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-nsg 19095  df-eqg 19096  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-srg 20163  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-rhm 20447  df-nzr 20485  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-rlreg 20666  df-domn 20667  df-idom 20668  df-drng 20703  df-field 20704  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202  df-rsp 21203  df-2idl 21244  df-cnfld 21349  df-zring 21441  df-zrh 21497  df-zn 21500  df-assa 21847  df-asp 21848  df-ascl 21849  df-psr 21903  df-mvr 21904  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-evls 22066  df-evl 22067  df-psr1 22157  df-vr1 22158  df-ply1 22159  df-coe1 22160  df-evl1 22295  df-mdeg 26034  df-deg1 26035  df-mon1 26110  df-uc1p 26111  df-q1p 26112  df-r1p 26113  df-lgs 27276

This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  27331