Theorem lgsqrlem4 26779

Description: Lemma for lgsqr 26781. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥,𝑦)   ↑ (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2		lgsqr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
3		lgsqr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		lgsqr.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
5		lgsqr.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
6		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7		lgsqr.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
8		lgsqr.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑆)
9		lgsqr.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
10		lgsqr.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
11		lgsqr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12		lgsqr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13		lgsqr.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lgsqrlem2 26777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
15		fvex 6891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑂‘𝑇) ∈ V
16	15	cnvex 7898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑂‘𝑇) ∈ V
17	16	imaex 7889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V
18	17	f1dom 8953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
20		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
21		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	12	eldifad 3956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
23	1	znfld 21049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
25		fldidom 20857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
27		isidom 20856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
28	27	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
30		crngring 20026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
32	2	ply1ring 21701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
34		ringgrp 20019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
36		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37	36, 3	mgpbas 19952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
38	36	ringmgp 20020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
39	33, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
40		oddprm 16725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
41	12, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
42	41	nnnn0d 12514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43	7, 2, 3	vr1cl 21670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	31, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
45	37, 6, 39, 42, 44	mulgnn0cld 18947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
46	3, 9	ringidcl 20040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
47	33, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
48	3, 8	grpsubcl 18877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
49	35, 45, 47, 48	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
50	10, 49	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
51	10	fveq2i 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
52	41	nngt0d 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
53		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
54		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
55	2, 53, 54, 9	ply1scl1 21745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
56	31, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
57	56	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝐷‘ 1 ))
58		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
59	58, 54	ringidcl 20040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
60	31, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
61		domnnzr 20847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
62	27, 61	simplbiim 505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
63	26, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ NzRing)
64	54, 20	nzrnz 20244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
66	4, 2, 58, 53, 20	deg1scl 25560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
67	31, 60, 65, 66	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
68	57, 67	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) = 0)
69	4, 2, 7, 36, 6	deg1pw 25567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
70	63, 42, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
71	52, 68, 70	3brtr4d 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
72	2, 4, 31, 3, 8, 45, 47, 71	deg1sub 25555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
73	51, 72	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
74	73, 70	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
75	74, 42	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0)
76	4, 2, 21, 3	deg1nn0clb 25537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
77	31, 50, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
78	75, 77	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ (0g‘𝑆))
79	2, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 50, 78	fta1g 25614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (𝐷‘𝑇))
80	79, 74	breqtrd 5167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
81		hashfz1 14288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
82	42, 81	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
83	80, 82	breqtrrd 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
84		hashbnd 14278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
85	17, 42, 80, 84	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
86		fzfid 13920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
87		hashdom 14321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
88	85, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
89	83, 88	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
90		sbth 9076	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
91	19, 89, 90	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
92		f1finf1o 9254	. . . . . . 7 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
93	91, 85, 92	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
94	14, 93	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
95		f1ocnv 6832	. . . . 5 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
96		f1of 6820	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
97	94, 95, 96	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
98		lgsqr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
99		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
100	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 98, 99	lgsqrlem3 26778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
101	97, 100	ffvelcdmd 7072	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
102	101	elfzelzd 13484	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ)
103		fvoveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
104		fvoveq1 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
105	104	cbvmptv 5254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
106	13, 105	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
107		fvex 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) ∈ V
108	103, 106, 107	fvmpt 6984	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
109	101, 108	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
110		f1ocnvfv2 7259	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
111	94, 100, 110	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
112	109, 111	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴))
113		prmnn 16593	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
114	22, 113	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
115	114	nnnn0d 12514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
116		zsqcl 14076	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
117	102, 116	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
118	1, 11	zndvds 21038	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
119	115, 117, 98, 118	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
120	112, 119	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
121		oveq1 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2))
122	121	oveq1d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
123	122	breq2d 5153	. . 3 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
124	123	rspcev 3609	. 2 ⊢ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
125	102, 120, 124	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ∖ cdif 3941  {csn 4622   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5668   “ cima 5672  ⟶wf 6528  –1-1→wf1 6529  –1-1-onto→wf1o 6531  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   ≈ cen 8919   ≼ cdom 8920  Fincfn 8922  0cc0 11092  1c1 11093   < clt 11230   ≤ cle 11231   − cmin 11426   / cdiv 11853  ℕcn 12194  2c2 12249  ℕ₀cn0 12454  ℤcz 12540  ...cfz 13466  ↑cexp 14009  ♯chash 14272   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16590  Basecbs 17126  0_gc0g 17367  Mndcmnd 18602  Grpcgrp 18794  -_gcsg 18796  ._gcmg 18922  mulGrpcmgp 19946  1_rcur 19963  Ringcrg 20014  CRingccrg 20015  NzRingcnzr 20241  Fieldcfield 20266  Domncdomn 20832  IDomncidom 20833  ℤRHomczrh 20982  ℤ/nℤczn 20985  algSccascl 21340  var₁cv1 21629  Poly₁cpl1 21630  eval₁ce1 21762   deg₁ cdg1 25498   /_L clgs 26724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-ec 8688  df-qs 8692  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-prm 16591  df-phi 16681  df-pc 16752  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-imas 17436  df-qus 17437  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-nsg 18976  df-eqg 18977  df-ghm 19056  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-srg 19968  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-rnghom 20201  df-nzr 20242  df-drng 20267  df-field 20268  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-lidl 20736  df-rsp 20737  df-2idl 20803  df-rlreg 20835  df-domn 20836  df-idom 20837  df-cnfld 20879  df-zring 20952  df-zrh 20986  df-zn 20989  df-assa 21341  df-asp 21342  df-ascl 21343  df-psr 21393  df-mvr 21394  df-mpl 21395  df-opsr 21397  df-evls 21564  df-evl 21565  df-psr1 21633  df-vr1 21634  df-ply1 21635  df-coe1 21636  df-evl1 21764  df-mdeg 25499  df-deg1 25500  df-mon1 25577  df-uc1p 25578  df-q1p 25579  df-r1p 25580  df-lgs 26725

This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  26780