MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem4 26779
Description: Lemma for lgsqr 26781. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2 lgsqr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Poly1𝑌)
3 lgsqr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 lgsqr.d . . . . . . 7 𝐷 = ( deg1𝑌)
5 lgsqr.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑌)
6 lgsqr.e . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7 lgsqr.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑌)
8 lgsqr.m . . . . . . 7 = (-g𝑆)
9 lgsqr.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑆)
10 lgsqr.t . . . . . . 7 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
11 lgsqr.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13 lgsqr.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 26777 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
15 fvex 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂𝑇) ∈ V
1615cnvex 7898 . . . . . . . . . . 11 (𝑂𝑇) ∈ V
1716imaex 7889 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V
1817f1dom 8953 . . . . . . . . 9 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
20 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
21 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2212eldifad 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
231znfld 21049 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ Field)
25 fldidom 20857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
27 isidom 20856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
2827simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
30 crngring 20026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
322ply1ring 21701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
34 ringgrp 20019 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
36 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3736, 3mgpbas 19952 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
3836ringmgp 20020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
3933, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
40 oddprm 16725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4112, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4241nnnn0d 12514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
437, 2, 3vr1cl 21670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4431, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋𝐵)
4537, 6, 39, 42, 44mulgnn0cld 18947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
463, 9ringidcl 20040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
4733, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑1𝐵)
483, 8grpsubcl 18877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
4935, 45, 47, 48syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
5010, 49eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝐵)
5110fveq2i 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))
5241nngt0d 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
53 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
54 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1r𝑌) = (1r𝑌)
552, 53, 54, 9ply1scl1 21745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5631, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5756fveq2d 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = (𝐷1 ))
58 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5958, 54ringidcl 20040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
6031, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
61 domnnzr 20847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
6227, 61simplbiim 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
6326, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ NzRing)
6454, 20nzrnz 20244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ NzRing → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
664, 2, 58, 53, 20deg1scl 25560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ≠ (0g𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6731, 60, 65, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6857, 67eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷1 ) = 0)
694, 2, 7, 36, 6deg1pw 25567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7063, 42, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7152, 68, 703brtr4d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
722, 4, 31, 3, 8, 45, 47, 71deg1sub 25555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7351, 72eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7473, 70eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
7574, 42eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝑇) ∈ ℕ0)
764, 2, 21, 3deg1nn0clb 25537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵) → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7731, 50, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7875, 77mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ (0g𝑆))
792, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 50, 78fta1g 25614 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (𝐷𝑇))
8079, 74breqtrd 5167 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
81 hashfz1 14288 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8242, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8380, 82breqtrrd 5169 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
84 hashbnd 14278 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
8517, 42, 80, 84mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
86 fzfid 13920 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
87 hashdom 14321 . . . . . . . . . 10 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
8983, 88mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
90 sbth 9076 . . . . . . . 8 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
9119, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
92 f1finf1o 9254 . . . . . . 7 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9391, 85, 92syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9414, 93mpbid 231 . . . . 5 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
95 f1ocnv 6832 . . . . 5 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
96 f1of 6820 . . . . 5 (𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
9794, 95, 963syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
98 lgsqr.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
99 lgsqr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
1001, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 98, 99lgsqrlem3 26778 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
10197, 100ffvelcdmd 7072 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
102101elfzelzd 13484 . 2 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ)
103 fvoveq1 7416 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
104 fvoveq1 7416 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
105104cbvmptv 5254 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
10613, 105eqtri 2759 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
107 fvex 6891 . . . . . 6 (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) ∈ V
108103, 106, 107fvmpt 6984 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
109101, 108syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
110 f1ocnvfv2 7259 . . . . 5 ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
11194, 100, 110syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
112109, 111eqtr3d 2773 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴))
113 prmnn 16593 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11422, 113syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
115114nnnn0d 12514 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
116 zsqcl 14076 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
117102, 116syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
1181, 11zndvds 21038 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
119115, 117, 98, 118syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
120112, 119mpbid 231 . 2 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
121 oveq1 7400 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑥↑2) = ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2))
122121oveq1d 7408 . . . 4 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
123122breq2d 5153 . . 3 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
124123rspcev 3609 . 2 (((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
125102, 120, 124syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wrex 3069  Vcvv 3473  cdif 3941  {csn 4622   class class class wbr 5141  cmpt 5224  ccnv 5668  cima 5672  wf 6528  1-1wf1 6529  1-1-ontowf1o 6531  cfv 6532  (class class class)co 7393  cen 8919  cdom 8920  Fincfn 8922  0cc0 11092  1c1 11093   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426   / cdiv 11853  cn 12194  2c2 12249  0cn0 12454  cz 12540  ...cfz 13466  cexp 14009  chash 14272  cdvds 16179  cprime 16590  Basecbs 17126  0gc0g 17367  Mndcmnd 18602  Grpcgrp 18794  -gcsg 18796  .gcmg 18922  mulGrpcmgp 19946  1rcur 19963  Ringcrg 20014  CRingccrg 20015  NzRingcnzr 20241  Fieldcfield 20266  Domncdomn 20832  IDomncidom 20833  ℤRHomczrh 20982  ℤ/nczn 20985  algSccascl 21340  var1cv1 21629  Poly1cpl1 21630  eval1ce1 21762   deg1 cdg1 25498   /L clgs 26724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-tpos 8193  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-er 8686  df-ec 8688  df-qs 8692  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-dju 9878  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-xnn0 12527  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-dvds 16180  df-gcd 16418  df-prm 16591  df-phi 16681  df-pc 16752  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-imas 17436  df-qus 17437  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-mhm 18647  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-nsg 18976  df-eqg 18977  df-ghm 19056  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-srg 19968  df-ring 20016  df-cring 20017  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-rnghom 20201  df-nzr 20242  df-drng 20267  df-field 20268  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-lidl 20736  df-rsp 20737  df-2idl 20803  df-rlreg 20835  df-domn 20836  df-idom 20837  df-cnfld 20879  df-zring 20952  df-zrh 20986  df-zn 20989  df-assa 21341  df-asp 21342  df-ascl 21343  df-psr 21393  df-mvr 21394  df-mpl 21395  df-opsr 21397  df-evls 21564  df-evl 21565  df-psr1 21633  df-vr1 21634  df-ply1 21635  df-coe1 21636  df-evl1 21764  df-mdeg 25499  df-deg1 25500  df-mon1 25577  df-uc1p 25578  df-q1p 25579  df-r1p 25580  df-lgs 26725
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  26780
  Copyright terms: Public domain W3C validator