MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem4 27407
Description: Lemma for lgsqr 27409. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = (deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2 lgsqr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Poly1𝑌)
3 lgsqr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 lgsqr.d . . . . . . 7 𝐷 = (deg1𝑌)
5 lgsqr.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑌)
6 lgsqr.e . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7 lgsqr.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑌)
8 lgsqr.m . . . . . . 7 = (-g𝑆)
9 lgsqr.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑆)
10 lgsqr.t . . . . . . 7 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
11 lgsqr.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13 lgsqr.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 27405 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
15 fvex 6919 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂𝑇) ∈ V
1615cnvex 7947 . . . . . . . . . . 11 (𝑂𝑇) ∈ V
1716imaex 7936 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V
1817f1dom 9012 . . . . . . . . 9 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
20 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
21 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2212eldifad 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
231znfld 21596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ Field)
25 fldidom 20787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
27 isidom 20741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
2827simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
30 crngring 20262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
322ply1ring 22264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
34 ringgrp 20255 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
36 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3736, 3mgpbas 20157 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
3836ringmgp 20256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
3933, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
40 oddprm 16843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4112, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4241nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
437, 2, 3vr1cl 22234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4431, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋𝐵)
4537, 6, 39, 42, 44mulgnn0cld 19125 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
463, 9ringidcl 20279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
4733, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑1𝐵)
483, 8grpsubcl 19050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
4935, 45, 47, 48syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
5010, 49eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝐵)
5110fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))
5241nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
53 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
54 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1r𝑌) = (1r𝑌)
552, 53, 54, 9ply1scl1 22311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5631, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5756fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = (𝐷1 ))
58 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
5958, 54ringidcl 20279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
6031, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
61 domnnzr 20722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
6227, 61simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
6326, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ NzRing)
6454, 20nzrnz 20531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ NzRing → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
664, 2, 58, 53, 20deg1scl 26166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ≠ (0g𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6731, 60, 65, 66syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6857, 67eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷1 ) = 0)
694, 2, 7, 36, 6deg1pw 26174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7063, 42, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7152, 68, 703brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
722, 4, 31, 3, 8, 45, 47, 71deg1sub 26161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7351, 72eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7473, 70eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
7574, 42eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝑇) ∈ ℕ0)
764, 2, 21, 3deg1nn0clb 26143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵) → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7731, 50, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7875, 77mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ (0g𝑆))
792, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 50, 78fta1g 26223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (𝐷𝑇))
8079, 74breqtrd 5173 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
81 hashfz1 14381 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8242, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8380, 82breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
84 hashbnd 14371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
8517, 42, 80, 84mp3an2i 1465 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
86 fzfid 14010 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
87 hashdom 14414 . . . . . . . . . 10 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
8983, 88mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
90 sbth 9131 . . . . . . . 8 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
9119, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
92 f1finf1o 9302 . . . . . . 7 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9391, 85, 92syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9414, 93mpbid 232 . . . . 5 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
95 f1ocnv 6860 . . . . 5 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
96 f1of 6848 . . . . 5 (𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
9794, 95, 963syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
98 lgsqr.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
99 lgsqr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
1001, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 98, 99lgsqrlem3 27406 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
10197, 100ffvelcdmd 7104 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
102101elfzelzd 13561 . 2 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ)
103 fvoveq1 7453 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
104 fvoveq1 7453 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
105104cbvmptv 5260 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
10613, 105eqtri 2762 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
107 fvex 6919 . . . . . 6 (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) ∈ V
108103, 106, 107fvmpt 7015 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
109101, 108syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
110 f1ocnvfv2 7296 . . . . 5 ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
11194, 100, 110syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
112109, 111eqtr3d 2776 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴))
113 prmnn 16707 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11422, 113syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
115114nnnn0d 12584 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
116 zsqcl 14165 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
117102, 116syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
1181, 11zndvds 21585 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
119115, 117, 98, 118syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
120112, 119mpbid 232 . 2 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
121 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑥↑2) = ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2))
122121oveq1d 7445 . . . 4 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
123122breq2d 5159 . . 3 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
124123rspcev 3621 . 2 (((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
125102, 120, 124syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  Vcvv 3477  cdif 3959  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  cima 5691  wf 6558  1-1wf1 6559  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  cen 8980  cdom 8981  Fincfn 8983  0cc0 11152  1c1 11153   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  ...cfz 13543  cexp 14098  chash 14365  cdvds 16286  cprime 16704  Basecbs 17244  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  .gcmg 19097  mulGrpcmgp 20151  1rcur 20198  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20708  IDomncidom 20709  Fieldcfield 20746  ℤRHomczrh 21527  ℤ/nczn 21530  algSccascl 21889  var1cv1 22192  Poly1cpl1 22193  eval1ce1 22333  deg1cdg1 26107   /L clgs 27352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-phi 16799  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-srg 20204  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-idom 20712  df-drng 20747  df-field 20748  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534  df-assa 21890  df-asp 21891  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-evl1 22335  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-mon1 26184  df-uc1p 26185  df-q1p 26186  df-r1p 26187  df-lgs 27353
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  27408
  Copyright terms: Public domain W3C validator