Theorem lgsqrlem4 26032

Description: Lemma for lgsqr 26034. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥,𝑦)   ↑ (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2		lgsqr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
3		lgsqr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		lgsqr.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
5		lgsqr.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
6		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7		lgsqr.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
8		lgsqr.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑆)
9		lgsqr.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
10		lgsqr.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
11		lgsqr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12		lgsqr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13		lgsqr.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lgsqrlem2 26030	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
15		fvex 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑂‘𝑇) ∈ V
16	15	cnvex 7635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑂‘𝑇) ∈ V
17	16	imaex 7626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V
18	17	f1dom 8549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
20		eqid 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
21		eqid 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	12	eldifad 3870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
23	1	znfld 20328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
25		fldidom 20146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
27		isidom 20145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
28	27	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
30		crngring 19377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
32	2	ply1ring 20972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
34		ringgrp 19370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
36		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37	36	ringmgp 19371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
38	33, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
39		oddprm 16202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
40	12, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
41	40	nnnn0d 11994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
42	7, 2, 3	vr1cl 20941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
43	31, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	36, 3	mgpbas 19313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
45	44, 6	mulgnn0cl 18311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
46	38, 41, 43, 45	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
47	3, 9	ringidcl 19389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
48	33, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
49	3, 8	grpsubcl 18246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
50	35, 46, 48, 49	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
51	10, 50	eqeltrid 2856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
52	10	fveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
53	40	nngt0d 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
54		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
55		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
56	2, 54, 55, 9	ply1scl1 21016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
57	31, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
58	57	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝐷‘ 1 ))
59		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
60	59, 55	ringidcl 19389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
61	31, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
62		domnnzr 20136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
63	27, 62	simplbiim 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
64	26, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ NzRing)
65	55, 20	nzrnz 20101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
67	4, 2, 59, 54, 20	deg1scl 24813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
68	31, 61, 66, 67	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
69	58, 68	eqtr3d 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) = 0)
70	4, 2, 7, 36, 6	deg1pw 24820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
71	64, 41, 70	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
72	53, 69, 71	3brtr4d 5064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
73	2, 4, 31, 3, 8, 46, 48, 72	deg1sub 24808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
74	52, 73	syl5eq 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
75	74, 71	eqtrd 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
76	75, 41	eqeltrd 2852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0)
77	4, 2, 21, 3	deg1nn0clb 24790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
78	31, 51, 77	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
79	76, 78	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ (0g‘𝑆))
80	2, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 51, 79	fta1g 24867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (𝐷‘𝑇))
81	80, 75	breqtrd 5058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
82		hashfz1 13756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
83	41, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
84	81, 83	breqtrrd 5060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
85		hashbnd 13746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
86	17, 41, 81, 85	mp3an2i 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
87		fzfid 13390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
88		hashdom 13790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
89	86, 87, 88	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
90	84, 89	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
91		sbth 8659	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
92	19, 90, 91	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
93		f1finf1o 8782	. . . . . . 7 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
94	92, 86, 93	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
95	14, 94	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
96		f1ocnv 6614	. . . . 5 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
97		f1of 6602	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
98	95, 96, 97	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
99		lgsqr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
100		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
101	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 99, 100	lgsqrlem3 26031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
102	98, 101	ffvelrnd 6843	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
103		elfzelz 12956	. . 3 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ)
104	102, 103	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ)
105		fvoveq1 7173	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
106		fvoveq1 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
107	106	cbvmptv 5135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
108	13, 107	eqtri 2781	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
109		fvex 6671	. . . . . 6 ⊢ (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) ∈ V
110	105, 108, 109	fvmpt 6759	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
111	102, 110	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
112		f1ocnvfv2 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
113	95, 101, 112	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
114	111, 113	eqtr3d 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴))
115		prmnn 16070	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
116	22, 115	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
117	116	nnnn0d 11994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
118		zsqcl 13544	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
119	104, 118	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
120	1, 11	zndvds 20317	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
121	117, 119, 99, 120	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
122	114, 121	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
123		oveq1 7157	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2))
124	123	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
125	124	breq2d 5044	. . 3 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
126	125	rspcev 3541	. 2 ⊢ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
127	104, 122, 126	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071  Vcvv 3409   ∖ cdif 3855  {csn 4522   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ^◡ccnv 5523   “ cima 5527  ⟶wf 6331  –1-1→wf1 6332  –1-1-onto→wf1o 6334  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ≈ cen 8524   ≼ cdom 8525  Fincfn 8527  0cc0 10575  1c1 10576   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908   / cdiv 11335  ℕcn 11674  2c2 11729  ℕ₀cn0 11934  ℤcz 12020  ...cfz 12939  ↑cexp 13479  ♯chash 13740   ∥ cdvds 15655  ℙcprime 16067  Basecbs 16541  0_gc0g 16771  Mndcmnd 17977  Grpcgrp 18169  -_gcsg 18171  ._gcmg 18291  mulGrpcmgp 19307  1_rcur 19319  Ringcrg 19365  CRingccrg 19366  Fieldcfield 19571  NzRingcnzr 20098  Domncdomn 20121  IDomncidom 20122  ℤRHomczrh 20269  ℤ/nℤczn 20272  algSccascl 20617  var₁cv1 20900  Poly₁cpl1 20901  eval₁ce1 21033   deg₁ cdg1 24751   /_L clgs 25977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-ofr 7406  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-er 8299  df-ec 8301  df-qs 8305  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-gcd 15894  df-prm 16068  df-phi 16158  df-pc 16229  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-imas 16839  df-qus 16840  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-nsg 18344  df-eqg 18345  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-srg 19324  df-ring 19367  df-cring 19368  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-rnghom 19538  df-drng 19572  df-field 19573  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-lidl 20014  df-rsp 20015  df-2idl 20073  df-nzr 20099  df-rlreg 20124  df-domn 20125  df-idom 20126  df-cnfld 20167  df-zring 20239  df-zrh 20273  df-zn 20276  df-assa 20618  df-asp 20619  df-ascl 20620  df-psr 20671  df-mvr 20672  df-mpl 20673  df-opsr 20675  df-evls 20835  df-evl 20836  df-psr1 20904  df-vr1 20905  df-ply1 20906  df-coe1 20907  df-evl1 21035  df-mdeg 24752  df-deg1 24753  df-mon1 24830  df-uc1p 24831  df-q1p 24832  df-r1p 24833  df-lgs 25978

This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  26033