MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem4 25839
Description: Lemma for lgsqr 25841. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem4 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4
StepHypRef Expression
1 lgsqr.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2 lgsqr.s . . . . . . 7 𝑆 = (Poly1𝑌)
3 lgsqr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 lgsqr.d . . . . . . 7 𝐷 = ( deg1𝑌)
5 lgsqr.o . . . . . . 7 𝑂 = (eval1𝑌)
6 lgsqr.e . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7 lgsqr.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑌)
8 lgsqr.m . . . . . . 7 = (-g𝑆)
9 lgsqr.u . . . . . . 7 1 = (1r𝑆)
10 lgsqr.t . . . . . . 7 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
11 lgsqr.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12 lgsqr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13 lgsqr.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lgsqrlem2 25837 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
15 fvex 6680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑂𝑇) ∈ V
1615cnvex 7618 . . . . . . . . . . 11 (𝑂𝑇) ∈ V
1716imaex 7609 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V
1817f1dom 8520 . . . . . . . . 9 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
20 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
21 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2212eldifad 3952 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
231znfld 20623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ Field)
25 fldidom 19997 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
27 isidom 19996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
2827simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
30 crngring 19228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
322ply1ring 20333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
34 ringgrp 19222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
36 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
3736ringmgp 19223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
3833, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
39 oddprm 16137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4012, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
4140nnnn0d 11944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
427, 2, 3vr1cl 20302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
4331, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋𝐵)
4436, 3mgpbas 19165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
4544, 6mulgnn0cl 18174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
4638, 41, 43, 45syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
473, 9ringidcl 19238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
4833, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑1𝐵)
493, 8grpsubcl 18109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
5035, 46, 48, 49syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
5110, 50eqeltrid 2922 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇𝐵)
5210fveq2i 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))
5340nngt0d 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
54 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
55 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1r𝑌) = (1r𝑌)
562, 54, 55, 9ply1scl1 20377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5731, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
5857fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = (𝐷1 ))
59 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
6059, 55ringidcl 19238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
6131, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
62 domnnzr 19987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
6327, 62simplbiim 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
6426, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑌 ∈ NzRing)
6555, 20nzrnz 19952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 ∈ NzRing → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1r𝑌) ≠ (0g𝑌))
674, 2, 59, 54, 20deg1scl 24622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r𝑌) ≠ (0g𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6831, 61, 66, 67syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = 0)
6958, 68eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷1 ) = 0)
704, 2, 7, 36, 6deg1pw 24629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7164, 41, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
7253, 69, 713brtr4d 5095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐷1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
732, 4, 31, 3, 8, 46, 48, 72deg1sub 24617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7452, 73syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋)))
7574, 71eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
7675, 41eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝑇) ∈ ℕ0)
774, 2, 21, 3deg1nn0clb 24599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇𝐵) → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7831, 51, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g𝑆) ↔ (𝐷𝑇) ∈ ℕ0))
7976, 78mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ (0g𝑆))
802, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 51, 79fta1g 24676 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (𝐷𝑇))
8180, 75breqtrd 5089 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
82 hashfz1 13696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8341, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
8481, 83breqtrrd 5091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
85 hashbnd 13686 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
8617, 41, 81, 85mp3an2i 1459 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin)
87 fzfid 13331 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
88 hashdom 13730 . . . . . . . . . 10 ((((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
8986, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
9084, 89mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
91 sbth 8626 . . . . . . . 8 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
9219, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
93 f1finf1o 8734 . . . . . . 7 (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9492, 86, 93syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})))
9514, 94mpbid 233 . . . . 5 (𝜑𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
96 f1ocnv 6624 . . . . 5 (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
97 f1of 6612 . . . . 5 (𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
9895, 96, 973syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺:((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
99 lgsqr.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
100 lgsqr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
1011, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 99, 100lgsqrlem3 25838 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
10298, 101ffvelrnd 6848 . . 3 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
103 elfzelz 12898 . . 3 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ)
104102, 103syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ)
105 fvoveq1 7171 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
106 fvoveq1 7171 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
107106cbvmptv 5166 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
10813, 107eqtri 2849 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
109 fvex 6680 . . . . . 6 (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) ∈ V
110105, 108, 109fvmpt 6765 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
111102, 110syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)))
112 f1ocnvfv2 7028 . . . . 5 ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ∧ (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)})) → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
11395, 101, 112syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘(𝐺‘(𝐿𝐴))) = (𝐿𝐴))
114111, 113eqtr3d 2863 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴))
115 prmnn 16008 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
11622, 115syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
117116nnnn0d 11944 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
118 zsqcl 13484 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
119104, 118syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ)
1201, 11zndvds 20612 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
121117, 119, 99, 120syl3anc 1365 . . 3 (𝜑 → ((𝐿‘((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2)) = (𝐿𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
122114, 121mpbid 233 . 2 (𝜑𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
123 oveq1 7155 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑥↑2) = ((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2))
124123oveq1d 7163 . . . 4 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴))
125124breq2d 5075 . . 3 (𝑥 = (𝐺‘(𝐿𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)))
126125rspcev 3627 . 2 (((𝐺‘(𝐿𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((𝐺‘(𝐿𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
127104, 122, 126syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wrex 3144  Vcvv 3500  cdif 3937  {csn 4564   class class class wbr 5063  cmpt 5143  ccnv 5553  cima 5557  wf 6348  1-1wf1 6349  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352  (class class class)co 7148  cen 8495  cdom 8496  Fincfn 8498  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  0cn0 11886  cz 11970  ...cfz 12882  cexp 13419  chash 13680  cdvds 15597  cprime 16005  Basecbs 16473  0gc0g 16703  Mndcmnd 17900  Grpcgrp 18033  -gcsg 18035  .gcmg 18154  mulGrpcmgp 19159  1rcur 19171  Ringcrg 19217  CRingccrg 19218  Fieldcfield 19423  NzRingcnzr 19949  Domncdomn 19972  IDomncidom 19973  algSccascl 20003  var1cv1 20261  Poly1cpl1 20262  eval1ce1 20394  ℤRHomczrh 20563  ℤ/nczn 20566   deg1 cdg1 24563   /L clgs 25784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-ec 8281  df-qs 8285  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-phi 16093  df-pc 16164  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-prds 16711  df-pws 16713  df-imas 16771  df-qus 16772  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-mulg 18155  df-subg 18206  df-nsg 18207  df-eqg 18208  df-ghm 18286  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-srg 19176  df-ring 19219  df-cring 19220  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-rnghom 19387  df-drng 19424  df-field 19425  df-subrg 19453  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-lsp 19664  df-sra 19864  df-rgmod 19865  df-lidl 19866  df-rsp 19867  df-2idl 19924  df-nzr 19950  df-rlreg 19975  df-domn 19976  df-idom 19977  df-assa 20004  df-asp 20005  df-ascl 20006  df-psr 20055  df-mvr 20056  df-mpl 20057  df-opsr 20059  df-evls 20204  df-evl 20205  df-psr1 20265  df-vr1 20266  df-ply1 20267  df-coe1 20268  df-evl1 20396  df-cnfld 20462  df-zring 20534  df-zrh 20567  df-zn 20570  df-mdeg 24564  df-deg1 24565  df-mon1 24639  df-uc1p 24640  df-q1p 24641  df-r1p 24642  df-lgs 25785
This theorem is referenced by:  lgsqrlem5  25840
  Copyright terms: Public domain W3C validator