Theorem lgsqrlem4 27703

Description: Lemma for lgsqr 27705. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem4	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑦,𝑂   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑇   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐷(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑇(𝑥)   1 (𝑥, 𝑦)   ↑ (𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑥, 𝑦)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
2		lgsqr.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
3		lgsqr.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		lgsqr.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
5		lgsqr.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
6		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
7		lgsqr.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
8		lgsqr.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝑆)
9		lgsqr.u	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
10		lgsqr.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
11		lgsqr.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
12		lgsqr.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
13		lgsqr.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lgsqrlem2 27701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶1-1(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
15		fvex 6918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑂‘𝑇) ∈ V
16	15	cnvex 7958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ◡(𝑂‘𝑇) ∈ V
17	16	imaex 7947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V
18	17	f1dom 9025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶1-1(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
19	14, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
20		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
21		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
22	12	eldifad 4054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
23	1	znfld 21893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
25		fldidom 21056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
27		isidom 21003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
28	27	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
29	26, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
30		crngring 20499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
32	2	ply1ring 22592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
34		ringgrp 20491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
36		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
37	36, 3	mgpbas 20392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
38	36	ringmgp 20492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
39	33, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
40		oddprm 17014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
41	12, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
42	41	nnnn0d 12691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
43	7, 2, 3	vr1cl 22562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
44	31, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
45	37, 6, 39, 42, 44	mulgnn0cld 19331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
46	3, 9	ringidcl 20521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
47	33, 46	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
48	3, 8	grpsubcl 19256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
49	35, 45, 47, 48	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
50	10, 49	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
51	10	fveq2i 6908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
52	41	nngt0d 12411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝑃 − 1) / 2))
53		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
54		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
55	2, 53, 54, 9	ply1scl1 22638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
56	31, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
57	56	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝐷‘ 1 ))
58		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
59	58, 54	ringidcl 20521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
60	31, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
61		domnnzr 20985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
62	27, 61	simplbiim 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
63	26, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ NzRing)
64	54, 20	nzrnz 20792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
65	63, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌))
66	4, 2, 58, 53, 20	deg1scl 26458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (1r‘𝑌) ≠ (0g‘𝑌)) → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
67	31, 60, 65, 66	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = 0)
68	57, 67	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) = 0)
69	4, 2, 7, 36, 6	deg1pw 26466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑌 ∈ NzRing ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
70	63, 42, 69	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)) = ((𝑃 − 1) / 2))
71	52, 68, 70	3brtr4d 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘ 1 ) < (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
72	2, 4, 31, 3, 8, 45, 47, 71	deg1sub 26453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
73	51, 72	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = (𝐷‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋)))
74	73, 70	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) = ((𝑃 − 1) / 2))
75	74, 42	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0)
76	4, 2, 21, 3	deg1nn0clb 26435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝑇 ∈ 𝐵) → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
77	31, 50, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ (0g‘𝑆) ↔ (𝐷‘𝑇) ∈ ℕ0))
78	75, 77	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ (0g‘𝑆))
79	2, 3, 4, 5, 20, 21, 26, 50, 78	fta1g 26515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (𝐷‘𝑇))
80	79, 74	breqtrd 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
81		hashfz1 14514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
82	42, 81	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
83	80, 82	breqtrrd 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))))
84		hashbnd 14504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ V ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
85	17, 42, 80, 84	mp3an2i 1496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin)
86		fzfid 14140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
87		hashdom 14547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
88	85, 86, 87	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) ≤ (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) ↔ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))))
89	83, 88	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
90		sbth 9141	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≼ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ≼ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
91	19, 89, 90	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
92		f1finf1o 9289	. . . . . . 7 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∈ Fin) → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶1-1(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶1-1onto(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
93	91, 85, 92	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶1-1(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶1-1onto(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})))
94	14, 93	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶1-1onto(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
95		f1ocnv 6856	. . . . 5 ⊢ (𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶1-1onto(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶1-1onto(1...((𝑃 − 1) / 2)))
96		f1of 6843	. . . . 5 ⊢ (◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶1-1onto(1...((𝑃 − 1) / 2)) → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
97	94, 95, 96	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺:(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
98		lgsqr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
99		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
100	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 98, 99	lgsqrlem3 27702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))
101	97, 100	ffvelcdmd 7106	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
102	101	elfzelzd 13681	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ)
103		fvoveq1 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝐿‘(𝑥↑2)) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
104		fvoveq1 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐿‘(𝑦↑2)) = (𝐿‘(𝑥↑2)))
105	104	cbvmptv 5212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
106	13, 105	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑥↑2)))
107		fvex 6918	. . . . . 6 ⊢ (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) ∈ V
108	103, 106, 107	fvmpt 7013	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
109	101, 108	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)))
110		f1ocnvfv2 7305	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶1-1onto(◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ∧ (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)})) → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
111	94, 100, 110	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))) = (𝐿‘𝐴))
112	109, 111	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴))
113		prmnn 16875	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
114	22, 113	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
115	114	nnnn0d 12691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
116		zsqcl 14296	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
117	102, 116	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ)
118	1, 11	zndvds 21882	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
119	115, 117, 98, 118	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2)) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
120	112, 119	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
121		oveq1 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑥↑2) = ((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2))
122	121	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → ((𝑥↑2) − 𝐴) = (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴))
123	122	breq2d 5118	. . 3 ⊢ (𝑥 = (◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) ↔ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)))
124	123	rspcev 3580	. 2 ⊢ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∥ (((◡𝐺‘(𝐿‘𝐴))↑2) − 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))
125	102, 120, 124	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6551  ⟶1-1wf1 6552  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ≈ cen 8995   ≼ cdom 8996  Fincfn 8998  0cc0 11224  1c1 11225   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   / cdiv 11997  ℕcn 12359  2c2 12421  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ...cfz 13663  ↑cexp 14228  ♯chash 14498   ∥ cdvds 16448  ℙcprime 16872  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  Mndcmnd 18949  Grpcgrp 19170  -_gcsg 19172  ._gcmg 19303  mulGrpcmgp 20387  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  NzRingcnzr 20789  Domncdomn 20971  IDomncidom 20972  Fieldcfield 21008  ℤRHomczrh 21832  ℤ/nℤczn 21835  algSccascl 22187  var₁cv1 22521  Poly₁cpl1 22522  eval₁ce1 22659  deg₁cdg1 26399   /_L clgs 27648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-dvds 16449  df-gcd 16691  df-prm 16873  df-phi 16969  df-pc 17041  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-imas 17706  df-qus 17707  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-nsg 19360  df-eqg 19361  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-rhm 20729  df-nzr 20790  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-rlreg 20973  df-domn 20974  df-idom 20975  df-drng 21009  df-field 21010  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513  df-rsp 21514  df-2idl 21570  df-cnfld 21706  df-zring 21780  df-zrh 21836  df-zn 21839  df-assa 22188  df-asp 22189  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mvr 22245  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-evls 22410  df-evl 22411  df-psr1 22525  df-vr1 22526  df-ply1 22527  df-coe1 22528  df-evl1 22661  df-mdeg 26400  df-deg1 26401  df-mon1 26476  df-uc1p 26477  df-q1p 26478  df-r1p 26479  df-lgs 27649

This theorem is used by:  lgsqrlem5  27704