MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvn0b 20788
Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 20314: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
abvn0b.b 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvn0b (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))

Proof of Theorem abvn0b
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 20781 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 abvn0b.b . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
3 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5 eqid 2733 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1))
6 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
7 domnring 20782 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
83, 6, 4domnmuln0 20784 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8abvtrivd 20313 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1)) ∈ 𝐴)
109ne0d 4296 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
111, 10jca 513 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))
12 n0 4307 . . . . 5 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
13 neanior 3034 . . . . . . . . 9 ((𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ↔ Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))
14 an4 655 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))))
152, 3, 4, 6abvdom 20311 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…))
16153expib 1123 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1714, 16biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1817expdimp 454 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1913, 18biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
2019necon4bd 2960 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2120ralrimivva 3194 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2221exlimiv 1934 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2312, 22sylbi 216 . . . 4 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2423anim2i 618 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))))
253, 6, 4isdomn 20780 . . 3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))))
2624, 25sylibr 233 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
2711, 26impbii 208 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆ…c0 4283  ifcif 4487   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  AbsValcabv 20289  NzRingcnzr 20743  Domncdomn 20766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-ico 13276  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mgp 19902  df-ring 19971  df-abv 20290  df-nzr 20744  df-domn 20770
This theorem is referenced by:  nrgdomn  24051
  Copyright terms: Public domain W3C validator