MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvn0b 21212
Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 20682: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
abvn0b.b 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvn0b (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))

Proof of Theorem abvn0b
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 21203 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 abvn0b.b . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
3 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2726 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1))
6 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
7 domnring 21204 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
83, 6, 4domnmuln0 21206 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8abvtrivd 20681 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1)) ∈ 𝐴)
109ne0d 4330 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
111, 10jca 511 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))
12 n0 4341 . . . . 5 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
13 neanior 3029 . . . . . . . . 9 ((𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ↔ Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))
14 an4 653 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))))
152, 3, 4, 6abvdom 20679 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…))
16153expib 1119 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1714, 16biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1817expdimp 452 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1913, 18biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
2019necon4bd 2954 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2120ralrimivva 3194 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2221exlimiv 1925 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2312, 22sylbi 216 . . . 4 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2423anim2i 616 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))))
253, 6, 4isdomn 21202 . . 3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))))
2624, 25sylibr 233 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
2711, 26impbii 208 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆ…c0 4317  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  NzRingcnzr 20412  AbsValcabv 20657  Domncdomn 21188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-ico 13333  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-nzr 20413  df-abv 20658  df-domn 21192
This theorem is referenced by:  nrgdomn  24539
  Copyright terms: Public domain W3C validator