MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvn0b 19764
Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 19302: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
abvn0b.b 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvn0b (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem abvn0b
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 19757 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2 abvn0b.b . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
3 eqid 2795 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2795 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2795 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g𝑅), 0, 1)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g𝑅), 0, 1))
6 eqid 2795 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 domnring 19758 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
83, 6, 4domnmuln0 19760 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8abvtrivd 19301 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g𝑅), 0, 1)) ∈ 𝐴)
109ne0d 4221 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝐴 ≠ ∅)
111, 10jca 512 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12 n0 4230 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
13 neanior 3077 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅)) ↔ ¬ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅)))
14 an4 652 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) ↔ ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))))
152, 3, 4, 6abvdom 19299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅))
16153expib 1115 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅)))
1714, 16syl5bi 243 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅)))
1817expdimp 453 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦 ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅)))
1913, 18syl5bir 244 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (¬ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅)))
2019necon4bd 3004 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅))))
2120ralrimivva 3158 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅))))
2221exlimiv 1908 . . . . 5 (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅))))
2312, 22sylbi 218 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅))))
2423anim2i 616 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅)))))
253, 6, 4isdomn 19756 . . 3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅)))))
2624, 25sylibr 235 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Domn)
2711, 26impbii 210 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  c0 4211  ifcif 4381  cmpt 5041  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384  Basecbs 16312  .rcmulr 16395  0gc0g 16542  AbsValcabv 19277  NzRingcnzr 19719  Domncdomn 19742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-ico 12594  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-mgp 18930  df-ring 18989  df-abv 19278  df-nzr 19720  df-domn 19746
This theorem is referenced by:  nrgdomn  22963
  Copyright terms: Public domain W3C validator