MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvn0b 21257
Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 20726: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
abvn0b.b 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvn0b (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))

Proof of Theorem abvn0b
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 21247 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 abvn0b.b . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
3 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2727 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5 eqid 2727 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1))
6 eqid 2727 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
7 domnring 21248 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
83, 6, 4domnmuln0 21250 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8abvtrivd 20725 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1)) ∈ 𝐴)
109ne0d 4337 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
111, 10jca 510 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))
12 n0 4348 . . . . 5 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
13 neanior 3031 . . . . . . . . 9 ((𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ↔ Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))
14 an4 654 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))))
152, 3, 4, 6abvdom 20723 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…))
16153expib 1119 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1714, 16biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1817expdimp 451 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1913, 18biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
2019necon4bd 2956 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2120ralrimivva 3196 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2221exlimiv 1925 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2312, 22sylbi 216 . . . 4 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2423anim2i 615 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))))
253, 6, 4isdomn 21246 . . 3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))))
2624, 25sylibr 233 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
2711, 26impbii 208 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057  βˆ…c0 4324  ifcif 4530   ↦ cmpt 5233  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  0cc0 11144  1c1 11145  Basecbs 17185  .rcmulr 17239  0gc0g 17426  NzRingcnzr 20456  AbsValcabv 20701  Domncdomn 21232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-ico 13368  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-nzr 20457  df-abv 20702  df-domn 21236
This theorem is referenced by:  nrgdomn  24606
  Copyright terms: Public domain W3C validator