MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvn0b 20912
Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 20441: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
abvn0b.b 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvn0b (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))

Proof of Theorem abvn0b
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 20903 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
2 abvn0b.b . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
3 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1))
6 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
7 domnring 20904 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
83, 6, 4domnmuln0 20906 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8abvtrivd 20440 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ if(π‘₯ = (0gβ€˜π‘…), 0, 1)) ∈ 𝐴)
109ne0d 4334 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
111, 10jca 512 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))
12 n0 4345 . . . . 5 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
13 neanior 3035 . . . . . . . . 9 ((𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ↔ Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))
14 an4 654 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) ↔ ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))))
152, 3, 4, 6abvdom 20438 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…))
16153expib 1122 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1714, 16biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1817expdimp 453 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
1913, 18biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (Β¬ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
2019necon4bd 2960 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2120ralrimivva 3200 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2221exlimiv 1933 . . . . 5 (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2312, 22sylbi 216 . . . 4 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…))))
2423anim2i 617 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))))
253, 6, 4isdomn 20902 . . 3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘…)((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑧) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) ∨ 𝑧 = (0gβ€˜π‘…)))))
2624, 25sylibr 233 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
2711, 26impbii 208 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆ…c0 4321  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  NzRingcnzr 20283  AbsValcabv 20416  Domncdomn 20888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-ico 13326  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-nzr 20284  df-abv 20417  df-domn 20892
This theorem is referenced by:  nrgdomn  24179
  Copyright terms: Public domain W3C validator