Theorem abvn0b 20340

Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 19877: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvn0b.b	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvn0b	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem abvn0b

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20333	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		abvn0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1))
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		domnring 20334	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
8	3, 6, 4	domnmuln0 20336	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	abvtrivd 19876	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1)) ∈ 𝐴)
10	9	ne0d 4250	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝐴 ≠ ∅)
11	1, 10	jca 515	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12		n0 4261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13		neanior 3034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅)) ↔ ¬ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)))
14		an4 656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) ↔ ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))))
15	2, 3, 4, 6	abvdom 19874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
16	15	3expib 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
17	14, 16	syl5bi 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
18	17	expdimp 456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
19	13, 18	syl5bir 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (¬ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	necon4bd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
21	20	ralrimivva 3112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
22	21	exlimiv 1938	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
23	12, 22	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
24	23	anim2i 620	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)))))
25	3, 6, 4	isdomn 20332	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)))))
26	24, 25	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Domn)
27	11, 26	impbii 212	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∅c0 4237  ifcif 4439   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730  Basecbs 16760  ._rcmulr 16803  0_gc0g 16944  AbsValcabv 19852  NzRingcnzr 20295  Domncdomn 20318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-ico 12941  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mgp 19505  df-ring 19564  df-abv 19853  df-nzr 20296  df-domn 20322

This theorem is referenced by:  nrgdomn  23569