Theorem abvn0b 20486

Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 20016: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvn0b.b	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvn0b	⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem abvn0b

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20479	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		abvn0b.b	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1))
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		domnring 20480	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
8	3, 6, 4	domnmuln0 20482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	abvtrivd 20015	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g‘𝑅), 0, 1)) ∈ 𝐴)
10	9	ne0d 4266	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝐴 ≠ ∅)
11	1, 10	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12		n0 4277	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
13		neanior 3036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅)) ↔ ¬ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)))
14		an4 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) ↔ ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))))
15	2, 3, 4, 6	abvdom 20013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅))
16	15	3expib 1120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
17	14, 16	syl5bi 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅))) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
18	17	expdimp 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦 ≠ (0g‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
19	13, 18	syl5bir 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (¬ (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ≠ (0g‘𝑅)))
20	19	necon4bd 2962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
21	20	ralrimivva 3114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
22	21	exlimiv 1934	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
23	12, 22	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅))))
24	23	anim2i 616	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)))))
25	3, 6, 4	isdomn 20478	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → (𝑦 = (0g‘𝑅) ∨ 𝑧 = (0g‘𝑅)))))
26	24, 25	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Domn)
27	11, 26	impbii 208	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∅c0 4253  ifcif 4456   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  AbsValcabv 19991  NzRingcnzr 20441  Domncdomn 20464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-ico 13014  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-abv 19992  df-nzr 20442  df-domn 20468

This theorem is referenced by:  nrgdomn  23741