Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvn0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvn0b 20089
 Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 19626: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
abvn0b.b 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvn0b (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem abvn0b
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 20082 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2 abvn0b.b . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
3 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2798 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2798 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g𝑅), 0, 1)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g𝑅), 0, 1))
6 eqid 2798 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 domnring 20083 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
83, 6, 4domnmuln0 20085 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅))
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8abvtrivd 19625 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ if(𝑥 = (0g𝑅), 0, 1)) ∈ 𝐴)
109ne0d 4254 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝐴 ≠ ∅)
111, 10jca 515 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))
12 n0 4263 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
13 neanior 3079 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅)) ↔ ¬ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅)))
14 an4 655 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) ↔ ((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))))
152, 3, 4, 6abvdom 19623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅))
16153expib 1119 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅)))
1714, 16syl5bi 245 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (((𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦 ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅))) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅)))
1817expdimp 456 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦 ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅)))
1913, 18syl5bir 246 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → (¬ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅)) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ (0g𝑅)))
2019necon4bd 3007 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅))))
2120ralrimivva 3156 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅))))
2221exlimiv 1931 . . . . 5 (∃𝑥 𝑥𝐴 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅))))
2312, 22sylbi 220 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅))))
2423anim2i 619 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅)))))
253, 6, 4isdomn 20081 . . 3 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑦(.r𝑅)𝑧) = (0g𝑅) → (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑧 = (0g𝑅)))))
2624, 25sylibr 237 . 2 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑅 ∈ Domn)
2711, 26impbii 212 1 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴 ≠ ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∅c0 4246  ifcif 4428   ↦ cmpt 5114  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  0cc0 10544  1c1 10545  Basecbs 16495  .rcmulr 16578  0gc0g 16725  AbsValcabv 19601  NzRingcnzr 20044  Domncdomn 20067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-ico 12752  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-plusg 16590  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-grp 18118  df-minusg 18119  df-mgp 19254  df-ring 19313  df-abv 19602  df-nzr 20045  df-domn 20071 This theorem is referenced by:  nrgdomn  23318
 Copyright terms: Public domain W3C validator