Theorem nrgdomn 24881

Description: A nonzero normed ring is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgdomn	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ NzRing))

Proof of Theorem nrgdomn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20857	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
4		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
5	3, 4	nrgabv 24871	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
6	5	ne0d 4295	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅)
8	4	abvn0b 20991	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅))
9	2, 7, 8	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Domn)
10	9	ex 418	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Domn))
11	1, 10	impbid2 229	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ NzRing))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286  ‘cfv 6540  NzRingcnzr 20661  Domncdomn 20843  AbsValcabv 20963  normcnm 24786  NrmRingcnrg 24789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-ico 13396  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-nzr 20662  df-domn 20846  df-abv 20964  df-nrg 24795

This theorem is used by: (None)