Theorem nrgdomn 24655

Description: A nonzero normed ring is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgdomn	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ NzRing))

Proof of Theorem nrgdomn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20679	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
3		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
4		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
5	3, 4	nrgabv 24645	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
6	5	ne0d 4271	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅)
8	4	abvn0b 20809	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅))
9	2, 7, 8	sylanbrc 589	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Domn)
10	9	ex 413	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Domn))
11	1, 10	impbid2 227	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ NzRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4262  ‘cfv 6486  NzRingcnzr 20485  Domncdomn 20665  AbsValcabv 20781  normcnm 24560  NrmRingcnrg 24563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-ico 13296  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20114  df-rng 20126  df-ur 20155  df-ring 20208  df-nzr 20486  df-domn 20668  df-abv 20782  df-nrg 24569

This theorem is referenced by: (None)