MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdomn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgdomn 22803
Description: A nonzero normed ring is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nrgdomn (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ NzRing))

Proof of Theorem nrgdomn
StepHypRef Expression
1 domnnzr 19618 . 2 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2 simpr 478 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
3 eqid 2799 . . . . . . 7 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
4 eqid 2799 . . . . . . 7 (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
53, 4nrgabv 22793 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
65ne0d 4122 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅)
76adantr 473 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅)
84abvn0b 19625 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅))
92, 7, 8sylanbrc 579 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Domn)
109ex 402 . 2 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Domn))
111, 10impbid2 218 1 (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wcel 2157  wne 2971  c0 4115  cfv 6101  AbsValcabv 19134  NzRingcnzr 19580  Domncdomn 19603  normcnm 22709  NrmRingcnrg 22712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-ico 12430  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-mgp 18806  df-ring 18865  df-abv 19135  df-nzr 19581  df-domn 19607  df-nrg 22718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator