Theorem nrgdomn 24700

Description: A nonzero normed ring is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgdomn	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ NzRing))

Proof of Theorem nrgdomn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20724	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ NzRing)
3		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
4		eqid 2752	. . . . . . 7 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
5	3, 4	nrgabv 24690	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
6	5	ne0d 4285	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅)
7	6	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅)
8	4	abvn0b 20854	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ (AbsVal‘𝑅) ≠ ∅))
9	2, 7, 8	sylanbrc 591	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → 𝑅 ∈ Domn)
10	9	ex 415	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Domn))
11	1, 10	impbid2 228	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (𝑅 ∈ Domn ↔ 𝑅 ∈ NzRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∅c0 4276  ‘cfv 6506  NzRingcnzr 20530  Domncdomn 20710  AbsValcabv 20826  normcnm 24605  NrmRingcnrg 24608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-ico 13341  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20531  df-domn 20713  df-abv 20827  df-nrg 24614

This theorem is referenced by: (None)