Theorem domnring 20640

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20639	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20449	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Ringcrg 20168  NzRingcnzr 20445  Domncdomn 20625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-nul 5251

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-nzr 20446  df-domn 20628

This theorem is referenced by:  domneq0  20641  isdomn4  20649  domneq0r  20657  fidomndrnglem  20705  fidomndrng  20706  abvtrivg  20766  domnchr  21487  znidomb  21516  deg1ldgdomn  26055  deg1mul  26076  ply1domn  26085  r1pid2  26123  domnprodn0  33357  deg1prod  33664  r1peuqusdeg1  35837  deg1pow  42395  domnexpgn0cl  42778  fidomncyc  42790  proot1mul  43436  proot1hash  43437  deg1mhm  43442  lidldomn1  48477  uzlidlring  48481  domnmsuppn0  48615