Theorem domnring 21010

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 21009	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20817	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Ringcrg 20510  NzRingcnzr 20813  Domncdomn 20995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5266

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-iota 6520  df-fv 6574  df-ov 7454  df-nzr 20814  df-domn 20998

This theorem is used by:  domneq0  21011  isdomn4  21018  domneq0r  21026  fidomndrnglem  21081  fidomndrng  21082  abvtrivg  21141  domnchr  21893  znidomb  21922  deg1ldgdomn  26467  deg1mul  26488  ply1domn  26497  r1pid2  26535  domnprodn0  33938  deg1prod  34218  r1peuqusdeg1  36616  deg1pow  43457  domnexpgn0cl  43850  fidomncyc  43865  proot1mul  44457  proot1hash  44458  deg1mhm  44463  lidldomn1  49601  uzlidlring  49605  domnmsuppn0  49812