Theorem domnring 20959

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20958	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20766	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Ringcrg 20459  NzRingcnzr 20762  Domncdomn 20944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-nzr 20763  df-domn 20947

This theorem is used by:  domneq0  20960  isdomn4  20967  domneq0r  20975  fidomndrnglem  21030  fidomndrng  21031  abvtrivg  21090  domnchr  21838  znidomb  21867  deg1ldgdomn  26412  deg1mul  26433  ply1domn  26442  r1pid2  26480  domnprodn0  33839  deg1prod  34115  r1peuqusdeg1  36408  deg1pow  43191  domnexpgn0cl  43584  fidomncyc  43599  proot1mul  44195  proot1hash  44196  deg1mhm  44201  lidldomn1  49327  uzlidlring  49331  domnmsuppn0  49480