Theorem domnring 20684

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20683	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20493	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Ringcrg 20214  NzRingcnzr 20489  Domncdomn 20669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-nzr 20490  df-domn 20672

This theorem is referenced by:  domneq0  20685  isdomn4  20693  domneq0r  20701  fidomndrnglem  20749  fidomndrng  20750  abvtrivg  20810  domnchr  21512  znidomb  21541  deg1ldgdomn  26059  deg1mul  26080  ply1domn  26089  r1pid2  26127  domnprodn0  33336  deg1prod  33643  r1peuqusdeg1  35825  deg1pow  42580  domnexpgn0cl  42968  fidomncyc  42980  proot1mul  43622  proot1hash  43623  deg1mhm  43628  lidldomn1  48707  uzlidlring  48711  domnmsuppn0  48845