Theorem domnring 20793

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20792	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20600	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Ringcrg 20316  NzRingcnzr 20596  Domncdomn 20778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5270

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7415  df-nzr 20597  df-domn 20781

This theorem is referenced by:  domneq0  20794  isdomn4  20801  domneq0r  20809  fidomndrnglem  20857  fidomndrng  20858  abvtrivg  20917  domnchr  21663  znidomb  21692  deg1ldgdomn  26232  deg1mul  26253  ply1domn  26262  r1pid2  26300  domnprodn0  33579  deg1prod  33854  r1peuqusdeg1  36116  deg1pow  42889  domnexpgn0cl  43274  fidomncyc  43286  proot1mul  43904  proot1hash  43905  deg1mhm  43910  lidldomn1  48979  uzlidlring  48983  domnmsuppn0  49132