Theorem domnring 20869

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20868	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20676	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Ringcrg 20372  NzRingcnzr 20672  Domncdomn 20854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-nul 5263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7416  df-nzr 20673  df-domn 20857

This theorem is used by:  domneq0  20870  isdomn4  20877  domneq0r  20885  fidomndrnglem  20939  fidomndrng  20940  abvtrivg  20999  domnchr  21745  znidomb  21774  deg1ldgdomn  26319  deg1mul  26340  ply1domn  26349  r1pid2  26387  domnprodn0  33718  deg1prod  33993  r1peuqusdeg1  36222  deg1pow  43007  domnexpgn0cl  43405  fidomncyc  43417  proot1mul  44035  proot1hash  44036  deg1mhm  44041  lidldomn1  49146  uzlidlring  49150  domnmsuppn0  49299