Theorem domnring 20652

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20651	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20461	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Ringcrg 20180  NzRingcnzr 20457  Domncdomn 20637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5253

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-nzr 20458  df-domn 20640

This theorem is referenced by:  domneq0  20653  isdomn4  20661  domneq0r  20669  fidomndrnglem  20717  fidomndrng  20718  abvtrivg  20778  domnchr  21499  znidomb  21528  deg1ldgdomn  26067  deg1mul  26088  ply1domn  26097  r1pid2  26135  domnprodn0  33368  deg1prod  33675  r1peuqusdeg1  35856  deg1pow  42508  domnexpgn0cl  42890  fidomncyc  42902  proot1mul  43548  proot1hash  43549  deg1mhm  43554  lidldomn1  48588  uzlidlring  48592  domnmsuppn0  48726