Theorem domnring 20673

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20672	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20482	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Ringcrg 20203  NzRingcnzr 20478  Domncdomn 20658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6446  df-fv 6498  df-ov 7361  df-nzr 20479  df-domn 20661

This theorem is referenced by:  domneq0  20674  isdomn4  20682  domneq0r  20690  fidomndrnglem  20738  fidomndrng  20739  abvtrivg  20799  domnchr  21520  znidomb  21549  deg1ldgdomn  26071  deg1mul  26092  ply1domn  26101  r1pid2  26139  domnprodn0  33356  deg1prod  33663  r1peuqusdeg1  35846  deg1pow  42591  domnexpgn0cl  42979  fidomncyc  42991  proot1mul  43637  proot1hash  43638  deg1mhm  43643  lidldomn1  48704  uzlidlring  48708  domnmsuppn0  48842