Theorem domnring 20965

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20964	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20772	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Ringcrg 20465  NzRingcnzr 20768  Domncdomn 20950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6547  df-ov 7424  df-nzr 20769  df-domn 20953

This theorem is used by:  domneq0  20966  isdomn4  20973  domneq0r  20981  fidomndrnglem  21036  fidomndrng  21037  abvtrivg  21096  domnchr  21844  znidomb  21873  deg1ldgdomn  26418  deg1mul  26439  ply1domn  26448  r1pid2  26486  domnprodn0  33886  deg1prod  34162  r1peuqusdeg1  36495  deg1pow  43285  domnexpgn0cl  43678  fidomncyc  43693  proot1mul  44290  proot1hash  44291  deg1mhm  44296  lidldomn1  49422  uzlidlring  49426  domnmsuppn0  49575