Theorem domnring 20679

Description: A domain is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domnring	⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem domnring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnnzr 20678	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2		nzrring 20488	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  Ringcrg 20205  NzRingcnzr 20484  Domncdomn 20664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-nul 5228

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-nzr 20485  df-domn 20667

This theorem is referenced by:  domneq0  20680  isdomn4  20688  domneq0r  20696  fidomndrnglem  20744  fidomndrng  20745  abvtrivg  20805  domnchr  21507  znidomb  21536  deg1ldgdomn  26077  deg1mul  26098  ply1domn  26107  r1pid2  26145  domnprodn0  33356  deg1prod  33666  r1peuqusdeg1  35871  deg1pow  42626  domnexpgn0cl  43009  fidomncyc  43021  proot1mul  43639  proot1hash  43640  deg1mhm  43645  lidldomn1  48722  uzlidlring  48726  domnmsuppn0  48860