Theorem znidomb 21603

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain (and hence a field) precisely when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znidomb	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12675	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		hash2 14454	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
6		isidom 20747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
7	6	simprbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ Domn)
8		domnnzr 20728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
10		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11	10	isnzr2 20544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
12	11	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑌))
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 2o ≼ (Base‘𝑌))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2o ≼ (Base‘𝑌))
15		df2o2 8531	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
16		prfi 9391	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
17	15, 16	eqeltri 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ Fin
18		fvex 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
19		hashdom 14428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
20	17, 18, 19	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
21	14, 20	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
22	5, 21	eqbrtrrid 5202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
23		zntos.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
24	23, 10	znhash 21600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
26	22, 25	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ 𝑁)
27		eluz2 12909	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
28	2, 4, 26, 27	syl3anbrc 1343	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
29		nncn 12301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31		nncn 12301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
32	31	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
34	33	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
35	30, 32, 34	divcan1d 12071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑁)
36	35	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁))
37	7	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Domn)
38		domnring 20729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Ring)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Ring)
40		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
41	40	zrhrhm 21545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
43		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∥ 𝑁)
44		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
45	44	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
46	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
47		dvdsval2 16305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
48	45, 34, 46, 47	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
49	43, 48	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ)
50		zringbas 21487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
51		zringmulr 21491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
52		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
53	50, 51, 52	rhmmul 20512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
54	42, 49, 45, 53	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
55		iddvds 16318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
56	46, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑁)
57		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
58	57	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
60	23, 40, 59	zndvds0 21592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
61	58, 46, 60	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
62	56, 61	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌))
63	36, 54, 62	3eqtr3d 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌))
64	50, 10	rhmf 20511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
65	42, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
66	65, 49	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
67	65, 45	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌))
68	10, 52, 59	domneq0 20730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
69	37, 66, 67, 68	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
70	63, 69	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)))
71	23, 40, 59	zndvds0 21592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
72	58, 49, 71	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
73		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
74	73	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
75		nnre 12300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
76	75	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
77		nngt0 12324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
78	77	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
79		nngt0 12324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
80	79	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑥)
81	74, 76, 78, 80	divgt0d 12230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < (𝑁 / 𝑥))
82		elnnz 12649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑥)))
83	49, 81, 82	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ)
84		dvdsle 16358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
85	46, 83, 84	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
86		1red 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
87		0lt1 11812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 1)
89		lediv2 12185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
90	76, 80, 86, 88, 74, 78, 89	syl222anc 1386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
91		nnle1eq1 12323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
92	91	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
93	30	div1d 12062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
94	93	breq1d 5176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
95	90, 92, 94	3bitr3rd 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑥 = 1))
96	85, 95	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑥 = 1))
97	72, 96	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 1))
98	23, 40, 59	zndvds0 21592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
99	58, 45, 98	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
100		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
101	100	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
102		dvdseq 16362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → 𝑥 = 𝑁)
103	102	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
104	101, 58, 43, 103	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
105	99, 104	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 𝑁))
106	97, 105	orim12d 965	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
107	70, 106	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))
108	107	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
109	108	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
110		isprm2 16729	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))))
111	28, 109, 110	sylanbrc 582	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℙ)
112	111	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn → 𝑁 ∈ ℙ))
113	23	znfld 21602	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
114		fldidom 20793	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
115	113, 114	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
116	112, 115	impbid1 225	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488  ∅c0 4352  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  2_oc2o 8516   ≼ cdom 9001  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ♯chash 14379   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261   RingHom crh 20495  NzRingcnzr 20538  Domncdomn 20714  IDomncidom 20715  Fieldcfield 20752  ℤ_ringczring 21480  ℤRHomczrh 21533  ℤ/nℤczn 21536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-rhm 20498  df-nzr 20539  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-idom 20718  df-drng 20753  df-field 20754  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540

This theorem is referenced by: (None)