Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znidomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znidomb 20344
 Description: The ℤ/nℤ structure is a domain (and hence a field) precisely when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znidomb (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12067 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ∈ ℤ)
3 nnz 12057 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 hash2 13830 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
6 isidom 20160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
76simprbi 500 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ Domn)
8 domnnzr 20151 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
10 eqid 2759 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1110isnzr2 20119 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
1211simprbi 500 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑌))
139, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ IDomn → 2o ≼ (Base‘𝑌))
1413adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2o ≼ (Base‘𝑌))
15 df2o2 8135 . . . . . . . . . 10 2o = {∅, {∅}}
16 prfi 8840 . . . . . . . . . 10 {∅, {∅}} ∈ Fin
1715, 16eqeltri 2849 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
18 fvex 6677 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑌) ∈ V
19 hashdom 13804 . . . . . . . . 9 ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
2017, 18, 19mp2an 691 . . . . . . . 8 ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
2114, 20sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
225, 21eqbrtrrid 5073 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
23 zntos.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2423, 10znhash 20341 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
2524adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
2622, 25breqtrd 5063 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ 𝑁)
27 eluz2 12302 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
282, 4, 26, 27syl3anbrc 1341 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
29 nncn 11696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31 nncn 11696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 nnne0 11722 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
3530, 32, 34divcan1d 11469 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((𝑁 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑁)
3635fveq2d 6668 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁))
377ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑌 ∈ Domn)
38 domnring 20152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑌 ∈ Ring)
40 eqid 2759 . . . . . . . . . . . 12 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
4140zrhrhm 20296 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
43 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥𝑁)
44 nnz 12057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 dvdsval2 15672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
4845, 34, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
4943, 48mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ)
50 zringbas 20259 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
51 zringmulr 20262 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
52 eqid 2759 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑌) = (.r𝑌)
5350, 51, 52rhmmul 19565 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
5442, 49, 45, 53syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
55 iddvds 15685 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
5646, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁𝑁)
57 nnnn0 11955 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59 eqid 2759 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
6023, 40, 59zndvds0 20333 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑁))
6158, 46, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑁))
6256, 61mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌))
6336, 54, 623eqtr3d 2802 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌))
6450, 10rhmf 19564 . . . . . . . . . . 11 ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
6542, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
6665, 49ffvelrnd 6850 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
6765, 45ffvelrnd 6850 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌))
6810, 52, 59domneq0 20153 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌))))
6937, 66, 67, 68syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌))))
7063, 69mpbid 235 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
7123, 40, 59zndvds0 20333 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
7258, 49, 71syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
73 nnre 11695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
75 nnre 11695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
77 nngt0 11719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 𝑁)
79 nngt0 11719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
8079ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 𝑥)
8174, 76, 78, 80divgt0d 11627 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < (𝑁 / 𝑥))
82 elnnz 12044 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑥)))
8349, 81, 82sylanbrc 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ)
84 dvdsle 15725 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
8546, 83, 84syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
86 1red 10694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
87 0lt1 11214 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 1)
89 lediv2 11582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
9076, 80, 86, 88, 74, 78, 89syl222anc 1384 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
91 nnle1eq1 11718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
9291ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
9330div1d 11460 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
9493breq1d 5047 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
9590, 92, 943bitr3rd 313 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑥 = 1))
9685, 95sylibd 242 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑥 = 1))
9772, 96sylbid 243 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) → 𝑥 = 1))
9823, 40, 59zndvds0 20333 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
9958, 45, 98syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
100 nnnn0 11955 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
101100ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
102 dvdseq 15729 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝑁𝑁𝑥)) → 𝑥 = 𝑁)
103102expr 460 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑁𝑥𝑥 = 𝑁))
104101, 58, 43, 103syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁𝑥𝑥 = 𝑁))
10599, 104sylbid 243 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) → 𝑥 = 𝑁))
10697, 105orim12d 962 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
10770, 106mpd 15 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))
108107expr 460 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
109108ralrimiva 3114 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
110 isprm2 16093 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))))
11128, 109, 110sylanbrc 586 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℙ)
112111ex 416 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn → 𝑁 ∈ ℙ))
11323znfld 20343 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
114 fldidom 20161 . . 3 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
115113, 114syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
116112, 115impbid1 228 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  Vcvv 3410  ∅c0 4228  {csn 4526  {cpr 4528   class class class wbr 5037  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  2oc2o 8113   ≼ cdom 8539  Fincfn 8541  ℂcc 10587  ℝcr 10588  0cc0 10589  1c1 10590   · cmul 10594   < clt 10727   ≤ cle 10728   / cdiv 11349  ℕcn 11688  2c2 11743  ℕ0cn0 11948  ℤcz 12034  ℤ≥cuz 12296  ♯chash 13754   ∥ cdvds 15669  ℙcprime 16082  Basecbs 16556  .rcmulr 16639  0gc0g 16786  Ringcrg 19380  CRingccrg 19381   RingHom crh 19550  Fieldcfield 19586  NzRingcnzr 20113  Domncdomn 20136  IDomncidom 20137  ℤringzring 20253  ℤRHomczrh 20284  ℤ/nℤczn 20287 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667  ax-addf 10668  ax-mulf 10669 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-tpos 7909  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-oadd 8123  df-er 8306  df-ec 8308  df-qs 8312  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-sup 8953  df-inf 8954  df-dju 9377  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-xnn0 12021  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-rp 12445  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-fl 13225  df-mod 13301  df-seq 13433  df-exp 13494  df-hash 13755  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-dvds 15670  df-gcd 15908  df-prm 16083  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-starv 16653  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-unif 16661  df-0g 16788  df-imas 16854  df-qus 16855  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-mhm 18037  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-sbg 18189  df-mulg 18307  df-subg 18358  df-nsg 18359  df-eqg 18360  df-ghm 18438  df-cmn 18990  df-abl 18991  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-cring 19383  df-oppr 19459  df-dvdsr 19477  df-unit 19478  df-invr 19508  df-rnghom 19553  df-drng 19587  df-field 19588  df-subrg 19616  df-lmod 19719  df-lss 19787  df-lsp 19827  df-sra 20027  df-rgmod 20028  df-lidl 20029  df-rsp 20030  df-2idl 20088  df-nzr 20114  df-rlreg 20139  df-domn 20140  df-idom 20141  df-cnfld 20182  df-zring 20254  df-zrh 20288  df-zn 20291 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator