MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znidomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znidomb 21117
Description: The โ„ค/nโ„ค structure is a domain (and hence a field) precisely when ๐‘› is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
Assertion
Ref Expression
znidomb (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12594 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
21a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3 nnz 12579 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5 hash2 14365 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜2o) = 2
6 isidom 20922 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” (๐‘Œ โˆˆ CRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ Domn))
76simprbi 498 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Domn)
8 domnnzr 20911 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Domn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ NzRing)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ NzRing)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
1110isnzr2 20297 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ NzRing โ†” (๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ)))
1211simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ NzRing โ†’ 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
139, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
15 df2o2 8475 . . . . . . . . . 10 2o = {โˆ…, {โˆ…}}
16 prfi 9322 . . . . . . . . . 10 {โˆ…, {โˆ…}} โˆˆ Fin
1715, 16eqeltri 2830 . . . . . . . . 9 2o โˆˆ Fin
18 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V
19 hashdom 14339 . . . . . . . . 9 ((2o โˆˆ Fin โˆง (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V) โ†’ ((โ™ฏโ€˜2o) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†” 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ)))
2017, 18, 19mp2an 691 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜2o) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†” 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2114, 20sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ (โ™ฏโ€˜2o) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)))
225, 21eqbrtrrid 5185 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)))
23 zntos.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
2423, 10znhash 21114 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) = ๐‘)
2524adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) = ๐‘)
2622, 25breqtrd 5175 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
27 eluz2 12828 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘))
282, 4, 26, 27syl3anbrc 1344 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
29 nncn 12220 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
31 nncn 12220 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
33 nnne0 12246 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
3530, 32, 34divcan1d 11991 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘)
3635fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜((๐‘ / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘))
377ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Domn)
38 domnring 20912 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ Domn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
40 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
4140zrhrhm 21061 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
43 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)
44 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
47 dvdsval2 16200 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค))
4845, 34, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค))
4943, 48mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
50 zringbas 21023 . . . . . . . . . . 11 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
51 zringmulr 21027 . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘Œ) = (.rโ€˜๐‘Œ)
5350, 51, 52rhmmul 20264 . . . . . . . . . 10 (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โˆง (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜((๐‘ / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)))
5442, 49, 45, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜((๐‘ / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)))
55 iddvds 16213 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
5646, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
57 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
59 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘Œ)
6023, 40, 59zndvds0 21106 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘))
6158, 46, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘))
6256, 61mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘) = (0gโ€˜๐‘Œ))
6336, 54, 623eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ))
6450, 10rhmf 20263 . . . . . . . . . . 11 ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ):โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
6542, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ):โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
6665, 49ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
6765, 45ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
6810, 52, 59domneq0 20913 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ Domn โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
6937, 66, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
7063, 69mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ)))
7123, 40, 59zndvds0 21106 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ)))
7258, 49, 71syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ)))
73 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
75 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
77 nngt0 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 < ๐‘)
79 nngt0 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
8079ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
8174, 76, 78, 80divgt0d 12149 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 < (๐‘ / ๐‘ฅ))
82 elnnz 12568 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ / ๐‘ฅ)))
8349, 81, 82sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
84 dvdsle 16253 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
8546, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
86 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
87 0lt1 11736 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 < 1)
89 lediv2 12104 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โ†” (๐‘ / 1) โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
9076, 80, 86, 88, 74, 78, 89syl222anc 1387 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โ†” (๐‘ / 1) โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
91 nnle1eq1 12242 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โ†” ๐‘ฅ = 1))
9291ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โ†” ๐‘ฅ = 1))
9330div1d 11982 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ / 1) = ๐‘)
9493breq1d 5159 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ / 1) โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
9590, 92, 943bitr3rd 310 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ฅ = 1))
9685, 95sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = 1))
9772, 96sylbid 239 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = 1))
9823, 40, 59zndvds0 21106 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ))
9958, 45, 98syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ))
100 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
101100ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
102 dvdseq 16257 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘)
103102expr 458 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘))
104101, 58, 43, 103syl21anc 837 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘))
10599, 104sylbid 239 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘))
10697, 105orim12d 964 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘)))
10770, 106mpd 15 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘))
108107expr 458 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘)))
109108ralrimiva 3147 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘)))
110 isprm2 16619 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘))))
11128, 109, 110sylanbrc 584 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
112111ex 414 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™))
11323znfld 21116 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)
114 fldidom 20923 . . 3 (๐‘Œ โˆˆ Field โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
115113, 114syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
116112, 115impbid1 224 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475  โˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  2oc2o 8460   โ‰ผ cdom 8937  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ™ฏchash 14290   โˆฅ cdvds 16197  โ„™cprime 16608  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057   RingHom crh 20248  NzRingcnzr 20291  Fieldcfield 20358  Domncdomn 20896  IDomncidom 20897  โ„คringczring 21017  โ„คRHomczrh 21049  โ„ค/nโ„คczn 21052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-rlreg 20899  df-domn 20900  df-idom 20901  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator