Theorem znidomb 21522

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain (and hence a field) precisely when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znidomb	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12624	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 12609	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		hash2 14423	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
6		isidom 20685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
7	6	simprbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ Domn)
8		domnnzr 20666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
10		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11	10	isnzr2 20478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
12	11	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑌))
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 2o ≼ (Base‘𝑌))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2o ≼ (Base‘𝑌))
15		df2o2 8489	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
16		prfi 9335	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
17	15, 16	eqeltri 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ Fin
18		fvex 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
19		hashdom 14397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
20	17, 18, 19	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
21	14, 20	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
22	5, 21	eqbrtrrid 5155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
23		zntos.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
24	23, 10	znhash 21519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
26	22, 25	breqtrd 5145	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ 𝑁)
27		eluz2 12858	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
28	2, 4, 26, 27	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
29		nncn 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31		nncn 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		nnne0 12274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
34	33	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
35	30, 32, 34	divcan1d 12018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑁)
36	35	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁))
37	7	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Domn)
38		domnring 20667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Ring)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Ring)
40		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
41	40	zrhrhm 21472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
43		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∥ 𝑁)
44		nnz 12609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
45	44	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
46	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
47		dvdsval2 16275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
48	45, 34, 46, 47	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
49	43, 48	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ)
50		zringbas 21414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
51		zringmulr 21418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
52		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
53	50, 51, 52	rhmmul 20446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
54	42, 49, 45, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
55		iddvds 16289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
56	46, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑁)
57		nnnn0 12508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
60	23, 40, 59	zndvds0 21511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
61	58, 46, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
62	56, 61	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌))
63	36, 54, 62	3eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌))
64	50, 10	rhmf 20445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
65	42, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
66	65, 49	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
67	65, 45	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌))
68	10, 52, 59	domneq0 20668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
69	37, 66, 67, 68	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
70	63, 69	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)))
71	23, 40, 59	zndvds0 21511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
72	58, 49, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
73		nnre 12247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
74	73	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
75		nnre 12247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
76	75	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
77		nngt0 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
78	77	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
79		nngt0 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
80	79	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑥)
81	74, 76, 78, 80	divgt0d 12177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < (𝑁 / 𝑥))
82		elnnz 12598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑥)))
83	49, 81, 82	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ)
84		dvdsle 16329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
85	46, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
86		1red 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
87		0lt1 11759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 1)
89		lediv2 12132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
90	76, 80, 86, 88, 74, 78, 89	syl222anc 1388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
91		nnle1eq1 12270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
92	91	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
93	30	div1d 12009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
94	93	breq1d 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
95	90, 92, 94	3bitr3rd 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑥 = 1))
96	85, 95	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑥 = 1))
97	72, 96	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 1))
98	23, 40, 59	zndvds0 21511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
99	58, 45, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
100		nnnn0 12508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
101	100	ad2antrl 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
102		dvdseq 16333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → 𝑥 = 𝑁)
103	102	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
104	101, 58, 43, 103	syl21anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
105	99, 104	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 𝑁))
106	97, 105	orim12d 966	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
107	70, 106	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))
108	107	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
109	108	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
110		isprm2 16701	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))))
111	28, 109, 110	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℙ)
112	111	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn → 𝑁 ∈ ℙ))
113	23	znfld 21521	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
114		fldidom 20731	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
115	113, 114	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
116	112, 115	impbid1 225	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3459  ∅c0 4308  {csn 4601  {cpr 4603   class class class wbr 5119  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  2_oc2o 8474   ≼ cdom 8957  Fincfn 8959  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ♯chash 14348   ∥ cdvds 16272  ℙcprime 16690  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194   RingHom crh 20429  NzRingcnzr 20472  Domncdomn 20652  IDomncidom 20653  Fieldcfield 20690  ℤ_ringczring 21407  ℤRHomczrh 21460  ℤ/nℤczn 21463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-imas 17522  df-qus 17523  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-eqg 19108  df-ghm 19196  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-rhm 20432  df-nzr 20473  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-rlreg 20654  df-domn 20655  df-idom 20656  df-drng 20691  df-field 20692  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170  df-2idl 21211  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zrh 21464  df-zn 21467

This theorem is referenced by: (None)