MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znidomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znidomb 21336
Description: The โ„ค/nโ„ค structure is a domain (and hence a field) precisely when ๐‘› is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
Assertion
Ref Expression
znidomb (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12598 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
21a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
3 nnz 12583 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43adantr 481 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5 hash2 14369 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜2o) = 2
6 isidom 21122 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” (๐‘Œ โˆˆ CRing โˆง ๐‘Œ โˆˆ Domn))
76simprbi 497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Domn)
8 domnnzr 21111 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Domn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ NzRing)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ NzRing)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
1110isnzr2 20409 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ NzRing โ†” (๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ)))
1211simprbi 497 . . . . . . . . . 10 (๐‘Œ โˆˆ NzRing โ†’ 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
139, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
15 df2o2 8477 . . . . . . . . . 10 2o = {โˆ…, {โˆ…}}
16 prfi 9324 . . . . . . . . . 10 {โˆ…, {โˆ…}} โˆˆ Fin
1715, 16eqeltri 2829 . . . . . . . . 9 2o โˆˆ Fin
18 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V
19 hashdom 14343 . . . . . . . . 9 ((2o โˆˆ Fin โˆง (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆˆ V) โ†’ ((โ™ฏโ€˜2o) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†” 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ)))
2017, 18, 19mp2an 690 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜2o) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†” 2o โ‰ผ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2114, 20sylibr 233 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ (โ™ฏโ€˜2o) โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)))
225, 21eqbrtrrid 5184 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ 2 โ‰ค (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)))
23 zntos.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
2423, 10znhash 21333 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) = ๐‘)
2524adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ (โ™ฏโ€˜(Baseโ€˜๐‘Œ)) = ๐‘)
2622, 25breqtrd 5174 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ 2 โ‰ค ๐‘)
27 eluz2 12832 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค ๐‘))
282, 4, 26, 27syl3anbrc 1343 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
29 nncn 12224 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
31 nncn 12224 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3231ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
33 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
3433ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
3530, 32, 34divcan1d 11995 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ) = ๐‘)
3635fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜((๐‘ / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘))
377ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Domn)
38 domnring 21112 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Œ โˆˆ Domn โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
40 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
4140zrhrhm 21280 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ))
43 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)
44 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
4544ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
47 dvdsval2 16204 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค))
4845, 34, 46, 47syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค))
4943, 48mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
50 zringbas 21224 . . . . . . . . . . 11 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
51 zringmulr 21228 . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
52 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘Œ) = (.rโ€˜๐‘Œ)
5350, 51, 52rhmmul 20377 . . . . . . . . . 10 (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โˆง (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜((๐‘ / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)))
5442, 49, 45, 53syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜((๐‘ / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)))
55 iddvds 16217 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
5646, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
57 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
59 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gโ€˜๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘Œ)
6023, 40, 59zndvds0 21325 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘))
6158, 46, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘))
6256, 61mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘) = (0gโ€˜๐‘Œ))
6336, 54, 623eqtr3d 2780 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ))
6450, 10rhmf 20376 . . . . . . . . . . 11 ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ) โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘Œ) โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ):โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
6542, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ):โ„คโŸถ(Baseโ€˜๐‘Œ))
6665, 49ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
6765, 45ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
6810, 52, 59domneq0 21113 . . . . . . . . 9 ((๐‘Œ โˆˆ Domn โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
6937, 66, 67, 68syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘Œ)((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ))))
7063, 69mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ)))
7123, 40, 59zndvds0 21325 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ)))
7258, 49, 71syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ)))
73 nnre 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
7473ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
75 nnre 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
7675ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
77 nngt0 12247 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘)
7877ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 < ๐‘)
79 nngt0 12247 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
8079ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
8174, 76, 78, 80divgt0d 12153 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 < (๐‘ / ๐‘ฅ))
82 elnnz 12572 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (๐‘ / ๐‘ฅ)))
8349, 81, 82sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
84 dvdsle 16257 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
8546, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
86 1red 11219 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
87 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ 0 < 1)
89 lediv2 12108 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โ†” (๐‘ / 1) โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
9076, 80, 86, 88, 74, 78, 89syl222anc 1386 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โ†” (๐‘ / 1) โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
91 nnle1eq1 12246 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โ†” ๐‘ฅ = 1))
9291ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค 1 โ†” ๐‘ฅ = 1))
9330div1d 11986 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ / 1) = ๐‘)
9493breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((๐‘ / 1) โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ)))
9590, 92, 943bitr3rd 309 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†” ๐‘ฅ = 1))
9685, 95sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘ / ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = 1))
9772, 96sylbid 239 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = 1))
9823, 40, 59zndvds0 21325 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ))
9958, 45, 98syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†” ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ))
100 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
101100ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
102 dvdseq 16261 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘)
103102expr 457 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘))
104101, 58, 43, 103syl21anc 836 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ฅ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘))
10599, 104sylbid 239 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘))
10697, 105orim12d 963 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ((((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜(๐‘ / ๐‘ฅ)) = (0gโ€˜๐‘Œ) โˆจ ((โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)โ€˜๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘)))
10770, 106mpd 15 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆฅ ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘))
108107expr 457 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘)))
109108ralrimiva 3146 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘)))
110 isprm2 16623 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘ฅ = 1 โˆจ ๐‘ฅ = ๐‘))))
11128, 109, 110sylanbrc 583 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘Œ โˆˆ IDomn) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
112111ex 413 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™))
11323znfld 21335 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Field)
114 fldidom 21123 . . 3 (๐‘Œ โˆˆ Field โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
115113, 114syl 17 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ IDomn)
116112, 115impbid1 224 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘Œ โˆˆ IDomn โ†” ๐‘ โˆˆ โ„™))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474  โˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  2oc2o 8462   โ‰ผ cdom 8939  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ™ฏchash 14294   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128   RingHom crh 20360  NzRingcnzr 20403  Fieldcfield 20501  Domncdomn 21096  IDomncidom 21097  โ„คringczring 21217  โ„คRHomczrh 21268  โ„ค/nโ„คczn 21271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-rhm 20363  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-2idl 21006  df-rlreg 21099  df-domn 21100  df-idom 21101  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zn 21275
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator