MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znidomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znidomb 21580
Description: The ℤ/n structure is a domain (and hence a field) precisely when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znidomb (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12649 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ∈ ℤ)
3 nnz 12634 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 hash2 14444 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
6 isidom 20725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
76simprbi 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ Domn)
8 domnnzr 20706 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
10 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1110isnzr2 20518 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
1211simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑌))
139, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ IDomn → 2o ≼ (Base‘𝑌))
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2o ≼ (Base‘𝑌))
15 df2o2 8515 . . . . . . . . . 10 2o = {∅, {∅}}
16 prfi 9363 . . . . . . . . . 10 {∅, {∅}} ∈ Fin
1715, 16eqeltri 2837 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
18 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑌) ∈ V
19 hashdom 14418 . . . . . . . . 9 ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
2017, 18, 19mp2an 692 . . . . . . . 8 ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
2114, 20sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
225, 21eqbrtrrid 5179 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
23 zntos.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2423, 10znhash 21577 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
2622, 25breqtrd 5169 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ 𝑁)
27 eluz2 12884 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
282, 4, 26, 27syl3anbrc 1344 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
29 nncn 12274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31 nncn 12274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
3231ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
3433ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
3530, 32, 34divcan1d 12044 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((𝑁 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑁)
3635fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁))
377ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑌 ∈ Domn)
38 domnring 20707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑌 ∈ Ring)
40 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
4140zrhrhm 21522 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
43 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥𝑁)
44 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
4544ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
463ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
4845, 34, 46, 47syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
4943, 48mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ)
50 zringbas 21464 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
51 zringmulr 21468 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑌) = (.r𝑌)
5350, 51, 52rhmmul 20486 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
5442, 49, 45, 53syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
55 iddvds 16307 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
5646, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁𝑁)
57 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
6023, 40, 59zndvds0 21569 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑁))
6158, 46, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑁))
6256, 61mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌))
6336, 54, 623eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌))
6450, 10rhmf 20485 . . . . . . . . . . 11 ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
6542, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
6665, 49ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
6765, 45ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌))
6810, 52, 59domneq0 20708 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌))))
6937, 66, 67, 68syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌))))
7063, 69mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
7123, 40, 59zndvds0 21569 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
7258, 49, 71syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
73 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7473ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
75 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
7675ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
77 nngt0 12297 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
7877ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 𝑁)
79 nngt0 12297 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
8079ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 𝑥)
8174, 76, 78, 80divgt0d 12203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < (𝑁 / 𝑥))
82 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑥)))
8349, 81, 82sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ)
84 dvdsle 16347 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
8546, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
86 1red 11262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
87 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 1)
89 lediv2 12158 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
9076, 80, 86, 88, 74, 78, 89syl222anc 1388 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
91 nnle1eq1 12296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
9291ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
9330div1d 12035 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
9493breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
9590, 92, 943bitr3rd 310 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑥 = 1))
9685, 95sylibd 239 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑥 = 1))
9772, 96sylbid 240 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) → 𝑥 = 1))
9823, 40, 59zndvds0 21569 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
9958, 45, 98syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
100 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
101100ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
102 dvdseq 16351 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝑁𝑁𝑥)) → 𝑥 = 𝑁)
103102expr 456 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑁𝑥𝑥 = 𝑁))
104101, 58, 43, 103syl21anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁𝑥𝑥 = 𝑁))
10599, 104sylbid 240 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) → 𝑥 = 𝑁))
10697, 105orim12d 967 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
10770, 106mpd 15 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))
108107expr 456 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
109108ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
110 isprm2 16719 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))))
11128, 109, 110sylanbrc 583 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℙ)
112111ex 412 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn → 𝑁 ∈ ℙ))
11323znfld 21579 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
114 fldidom 20771 . . 3 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
115113, 114syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
116112, 115impbid1 225 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  2oc2o 8500  cdom 8983  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  chash 14369  cdvds 16290  cprime 16708  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  NzRingcnzr 20512  Domncdomn 20692  IDomncidom 20693  Fieldcfield 20730  ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator