Theorem znidomb 21520

Description: The ℤ/nℤ structure is a domain (and hence a field) precisely when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znidomb	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem znidomb

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12527	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ∈ ℤ)
3		nnz 12513	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		hash2 14332	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
6		isidom 20662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
7	6	simprbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ Domn)
8		domnnzr 20643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
11	10	isnzr2 20455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
12	11	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑌))
13	9, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 2o ≼ (Base‘𝑌))
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2o ≼ (Base‘𝑌))
15		df2o2 8408	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
16		prfi 9228	. . . . . . . . . 10 ⊢ {∅, {∅}} ∈ Fin
17	15, 16	eqeltri 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ Fin
18		fvex 6848	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑌) ∈ V
19		hashdom 14306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
20	17, 18, 19	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
21	14, 20	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
22	5, 21	eqbrtrrid 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
23		zntos.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
24	23, 10	znhash 21517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
26	22, 25	breqtrd 5125	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ 𝑁)
27		eluz2 12761	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
28	2, 4, 26, 27	syl3anbrc 1345	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
29		nncn 12157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
30	29	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31		nncn 12157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
32	31	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33		nnne0 12183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
34	33	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
35	30, 32, 34	divcan1d 11922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑁)
36	35	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁))
37	7	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Domn)
38		domnring 20644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Ring)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑌 ∈ Ring)
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
41	40	zrhrhm 21470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
43		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∥ 𝑁)
44		nnz 12513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
45	44	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
46	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
47		dvdsval2 16186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
48	45, 34, 46, 47	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
49	43, 48	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ)
50		zringbas 21412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
51		zringmulr 21416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℤring)
52		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑌) = (.r‘𝑌)
53	50, 51, 52	rhmmul 20425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
54	42, 49, 45, 53	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
55		iddvds 16200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
56	46, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑁)
57		nnnn0 12412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
58	57	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
60	23, 40, 59	zndvds0 21509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
61	58, 46, 60	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
62	56, 61	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g‘𝑌))
63	36, 54, 62	3eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌))
64	50, 10	rhmf 20424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
65	42, 64	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
66	65, 49	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
67	65, 45	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌))
68	10, 52, 59	domneq0 20645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
69	37, 66, 67, 68	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r‘𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌))))
70	63, 69	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)))
71	23, 40, 59	zndvds0 21509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
72	58, 49, 71	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
73		nnre 12156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
74	73	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
75		nnre 12156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
76	75	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
77		nngt0 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
78	77	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑁)
79		nngt0 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
80	79	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 𝑥)
81	74, 76, 78, 80	divgt0d 12081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < (𝑁 / 𝑥))
82		elnnz 12502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑥)))
83	49, 81, 82	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ)
84		dvdsle 16241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
85	46, 83, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
86		1red 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
87		0lt1 11663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 0 < 1)
89		lediv2 12036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
90	76, 80, 86, 88, 74, 78, 89	syl222anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
91		nnle1eq1 12179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
92	91	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
93	30	div1d 11913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
94	93	breq1d 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
95	90, 92, 94	3bitr3rd 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑥 = 1))
96	85, 95	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑥 = 1))
97	72, 96	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 1))
98	23, 40, 59	zndvds0 21509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
99	58, 45, 98	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
100		nnnn0 12412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
101	100	ad2antrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
102		dvdseq 16245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)) → 𝑥 = 𝑁)
103	102	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∥ 𝑁) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
104	101, 58, 43, 103	syl21anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑥 → 𝑥 = 𝑁))
105	99, 104	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌) → 𝑥 = 𝑁))
106	97, 105	orim12d 967	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g‘𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑌)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
107	70, 106	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∥ 𝑁)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))
108	107	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
109	108	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
110		isprm2 16613	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))))
111	28, 109, 110	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℙ)
112	111	ex 412	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn → 𝑁 ∈ ℙ))
113	23	znfld 21519	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
114		fldidom 20708	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
115	113, 114	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
116	112, 115	impbid1 225	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3441  ∅c0 4286  {csn 4581  {cpr 4583   class class class wbr 5099  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  2_oc2o 8393   ≼ cdom 8885  Fincfn 8887  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12149  2c2 12204  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ♯chash 14257   ∥ cdvds 16183  ℙcprime 16602  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182  0_gc0g 17363  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173   RingHom crh 20409  NzRingcnzr 20449  Domncdomn 20629  IDomncidom 20630  Fieldcfield 20667  ℤ_ringczring 21405  ℤRHomczrh 21458  ℤ/nℤczn 21461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-prm 16603  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-imas 17433  df-qus 17434  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-rhm 20412  df-nzr 20450  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-rlreg 20631  df-domn 20632  df-idom 20633  df-drng 20668  df-field 20669  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-rsp 21168  df-2idl 21209  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-zn 21465

This theorem is referenced by: (None)