MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znidomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znidomb 21090
Description: The ℤ/n structure is a domain (and hence a field) precisely when 𝑛 is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
znidomb (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12581 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ∈ ℤ)
3 nnz 12566 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
43adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 hash2 14352 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
6 isidom 20896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
76simprbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ Domn)
8 domnnzr 20887 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ NzRing)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ NzRing)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1110isnzr2 20275 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ NzRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
1211simprbi 498 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ NzRing → 2o ≼ (Base‘𝑌))
139, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ IDomn → 2o ≼ (Base‘𝑌))
1413adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2o ≼ (Base‘𝑌))
15 df2o2 8462 . . . . . . . . . 10 2o = {∅, {∅}}
16 prfi 9310 . . . . . . . . . 10 {∅, {∅}} ∈ Fin
1715, 16eqeltri 2830 . . . . . . . . 9 2o ∈ Fin
18 fvex 6894 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑌) ∈ V
19 hashdom 14326 . . . . . . . . 9 ((2o ∈ Fin ∧ (Base‘𝑌) ∈ V) → ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌)))
2017, 18, 19mp2an 691 . . . . . . . 8 ((♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)) ↔ 2o ≼ (Base‘𝑌))
2114, 20sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘2o) ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
225, 21eqbrtrrid 5180 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ (♯‘(Base‘𝑌)))
23 zntos.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2423, 10znhash 21087 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
2524adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → (♯‘(Base‘𝑌)) = 𝑁)
2622, 25breqtrd 5170 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 2 ≤ 𝑁)
27 eluz2 12815 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
282, 4, 26, 27syl3anbrc 1344 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
29 nncn 12207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
31 nncn 12207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 nnne0 12233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ≠ 0)
3530, 32, 34divcan1d 11978 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((𝑁 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑁)
3635fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁))
377ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑌 ∈ Domn)
38 domnring 20888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑌 ∈ Ring)
40 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
4140zrhrhm 21034 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
43 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥𝑁)
44 nnz 12566 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 dvdsval2 16187 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
4845, 34, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ))
4943, 48mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ)
50 zringbas 20997 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
51 zringmulr 21000 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑌) = (.r𝑌)
5350, 51, 52rhmmul 20242 . . . . . . . . . 10 (((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
5442, 49, 45, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘((𝑁 / 𝑥) · 𝑥)) = (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)))
55 iddvds 16200 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
5646, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁𝑁)
57 nnnn0 12466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑌) = (0g𝑌)
6023, 40, 59zndvds0 21079 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑁))
6158, 46, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑁))
6256, 61mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑁) = (0g𝑌))
6336, 54, 623eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌))
6450, 10rhmf 20241 . . . . . . . . . . 11 ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
6542, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶(Base‘𝑌))
6665, 49ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
6765, 45ffvelcdmd 7075 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌))
6810, 52, 59domneq0 20889 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ Domn ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑌)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌))))
6937, 66, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥))(.r𝑌)((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥)) = (0g𝑌) ↔ (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌))))
7063, 69mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)))
7123, 40, 59zndvds0 21079 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
7258, 49, 71syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥)))
73 nnre 12206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
75 nnre 12206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
77 nngt0 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 𝑁)
79 nngt0 12230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
8079ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 𝑥)
8174, 76, 78, 80divgt0d 12136 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < (𝑁 / 𝑥))
82 elnnz 12555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 𝑥) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 𝑥)))
8349, 81, 82sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ)
84 dvdsle 16240 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
8546, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
86 1red 11202 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
87 0lt1 11723 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 0 < 1)
89 lediv2 12091 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
9076, 80, 86, 88, 74, 78, 89syl222anc 1387 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ (𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥)))
91 nnle1eq1 12229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
9291ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 ≤ 1 ↔ 𝑥 = 1))
9330div1d 11969 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 / 1) = 𝑁)
9493breq1d 5154 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((𝑁 / 1) ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥)))
9590, 92, 943bitr3rd 310 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ≤ (𝑁 / 𝑥) ↔ 𝑥 = 1))
9685, 95sylibd 238 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁 ∥ (𝑁 / 𝑥) → 𝑥 = 1))
9772, 96sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) → 𝑥 = 1))
9823, 40, 59zndvds0 21079 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
9958, 45, 98syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) ↔ 𝑁𝑥))
100 nnnn0 12466 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
101100ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
102 dvdseq 16244 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥𝑁𝑁𝑥)) → 𝑥 = 𝑁)
103102expr 458 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑁𝑥𝑥 = 𝑁))
104101, 58, 43, 103syl21anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑁𝑥𝑥 = 𝑁))
10599, 104sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌) → 𝑥 = 𝑁))
10697, 105orim12d 964 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑁 / 𝑥)) = (0g𝑌) ∨ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = (0g𝑌)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
10770, 106mpd 15 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑁)) → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))
108107expr 458 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
109108ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁)))
110 isprm2 16606 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥𝑁 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝑁))))
11128, 109, 110sylanbrc 584 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ IDomn) → 𝑁 ∈ ℙ)
112111ex 414 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn → 𝑁 ∈ ℙ))
11323znfld 21089 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
114 fldidom 20897 . . 3 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
115113, 114syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ IDomn)
116112, 115impbid1 224 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑌 ∈ IDomn ↔ 𝑁 ∈ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3475  c0 4320  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5144  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  2oc2o 8447  cdom 8925  Fincfn 8927  cc 11095  cr 11096  0cc0 11097  1c1 11098   · cmul 11102   < clt 11235  cle 11236   / cdiv 11858  cn 12199  2c2 12254  0cn0 12459  cz 12545  cuz 12809  chash 14277  cdvds 16184  cprime 16595  Basecbs 17131  .rcmulr 17185  0gc0g 17372  Ringcrg 20038  CRingccrg 20039   RingHom crh 20226  NzRingcnzr 20269  Fieldcfield 20294  Domncdomn 20872  IDomncidom 20873  ringczring 20991  ℤRHomczrh 21022  ℤ/nczn 21025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8691  df-ec 8693  df-qs 8697  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9424  df-inf 9425  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-xnn0 12532  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-rp 12962  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-mod 13822  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-dvds 16185  df-gcd 16423  df-prm 16596  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-0g 17374  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mhm 18658  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-mulg 18936  df-subg 18988  df-nsg 18989  df-eqg 18990  df-ghm 19075  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-cring 20041  df-oppr 20128  df-dvdsr 20149  df-unit 20150  df-invr 20180  df-rnghom 20229  df-nzr 20270  df-drng 20295  df-field 20296  df-subrg 20338  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-lsp 20560  df-sra 20762  df-rgmod 20763  df-lidl 20764  df-rsp 20765  df-2idl 20833  df-rlreg 20875  df-domn 20876  df-idom 20877  df-cnfld 20919  df-zring 20992  df-zrh 21026  df-zn 21029
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator