Theorem deg1mhm 43217

Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mhm.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mhm.y	⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
deg1mhm.n	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
deg1mhm	⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mhm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1domn 26164	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
3		deg1mhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		deg1mhm.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
6	3, 4, 5	isdomn3 20716	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃))))
7	6	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
9		deg1mhm.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
10	9	submmnd 18827	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → 𝑌 ∈ Mnd)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Mnd)
12		nn0subm 21441	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		deg1mhm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
14	13	submmnd 18827	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
15	12, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑁 ∈ Mnd)
16	11, 15	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17		deg1mhm.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
18	17, 1, 3	deg1xrf 26121	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
19		ffn 6735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* → 𝐷 Fn 𝐵)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 Fn 𝐵
21		difss 4135	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
22		fnssres 6690	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 Fn 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
23	20, 21, 22	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 })
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
25		fvres 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
27		domnring 20708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
29		eldifi 4130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
31		eldifsni 4789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
33	17, 1, 4, 3	deg1nn0cl 26128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
34	28, 30, 32, 33	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
35	26, 34	eqeltrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
36	35	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
37		ffnfv 7138	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ↔ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0))
38	24, 36, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
39		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
40		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
41	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
42	29	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43	31	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ≠ 0 )
44		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Domn)
45		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
46	17, 1, 4, 3, 39, 45	deg1ldgdomn 26134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
47	44, 42, 43, 46	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
48		eldifi 4130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
49	48	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		eldifsni 4789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ≠ 0 )
51	50	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ≠ 0 )
52	17, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51	deg1mul2 26154	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
53		domnring 20708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
54	2, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Ring)
56	3, 40	ringcl 20248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
57	55, 42, 49, 56	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
58	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Domn)
59	3, 40, 4	domnmuln0 20710	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
60	58, 42, 43, 49, 51, 59	syl122anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
61		eldifsn 4785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 ))
62	57, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
63		fvres 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
65		fvres 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) = (𝐷‘𝑦))
66	25, 65	oveqan12d 7451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
67	66	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
68	52, 64, 67	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
69	68	ralrimivva 3201	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
70		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
71	3, 70	ringidcl 20263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
72	54, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
73		domnnzr 20707	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
74	70, 4	nzrnz 20516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
75	2, 73, 74	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
76		eldifsn 4785	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑃) ≠ 0 ))
77	72, 75, 76	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78		fvres 6924	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
80	5, 70	ringidval 20181	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
81	9, 80	subm0 18829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
82	8, 81	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
83	82	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)))
84		domnnzr 20707	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
85		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
86	1, 70, 85, 17	mon1pid 26194	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
87	86	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
88	84, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
89	79, 83, 88	3eqtr3d 2784	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)
90	38, 69, 89	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0))
91	5, 3	mgpbas 20143	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
92	9, 91	ressbas2 17284	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌))
93	21, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌)
94		nn0sscn 12533	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
95		cnfldbas 21369	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
96	13, 95	ressbas2 17284	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘𝑁))
97	94, 96	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
98	3	fvexi 6919	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
99		difexg 5328	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
100	98, 99	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
101	5, 40	mgpplusg 20142	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘𝑃))
102	9, 101	ressplusg 17335	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌))
103	100, 102	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌)
104		nn0ex 12534	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
105		cnfldadd 21371	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
106	13, 105	ressplusg 17335	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘𝑁))
107	104, 106	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑁)
108		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
109		cnfld0 21406	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
110	13, 109	subm0 18829	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
111	12, 110	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
112	93, 97, 103, 107, 108, 111	ismhm 18799	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)))
113	16, 90, 112	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  {csn 4625   ↾ cres 5686   Fn wfn 6555  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156   + caddc 11159  ℝ^*cxr 11295  ℕ₀cn0 12528  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485  Mndcmnd 18748   MndHom cmhm 18795  SubMndcsubmnd 18796  mulGrpcmgp 20138  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  NzRingcnzr 20513  RLRegcrlreg 20692  Domncdomn 20693  ℂ_fldccnfld 21365  Poly₁cpl1 22179  coe₁cco1 22180  deg₁cdg1 26094  Monic_1pcmn1 26166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-nzr 20514  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-domn 20696  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-cnfld 21366  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171

This theorem is referenced by: (None)