Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1mhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mhm 42251
Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mhm.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mhm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mhm.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1mhm.y π‘Œ = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
deg1mhm.n 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
Assertion
Ref Expression
deg1mhm (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁))
Proof of Theorem deg1mhm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mhm.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1domn 25876 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)
3 deg1mhm.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 deg1mhm.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2730 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
63, 4, 5isdomn3 42248 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))))
76simprbi 495 . . . . 5 (𝑃 ∈ Domn β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
9 deg1mhm.y . . . . 5 π‘Œ = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
109submmnd 18730 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
12 nn0subm 21200 . . . 4 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
13 deg1mhm.n . . . . 5 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
1413submmnd 18730 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
1512, 14mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
1611, 15jca 510 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17 deg1mhm.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
1817, 1, 3deg1xrf 25834 . . . . . . 7 𝐷:π΅βŸΆβ„*
19 ffn 6716 . . . . . . 7 (𝐷:π΅βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn 𝐡)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 Fn 𝐡
21 difss 4130 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
22 fnssres 6672 . . . . . 6 ((𝐷 Fn 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }))
2320, 21, 22mp2an 688 . . . . 5 (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 })
2423a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }))
25 fvres 6909 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
2625adantl 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
27 domnring 21112 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2827adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
29 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3029adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
31 eldifsni 4792 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3231adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3317, 1, 4, 3deg1nn0cl 25841 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3428, 30, 32, 33syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3526, 34eqeltrd 2831 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3635ralrimiva 3144 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
37 ffnfv 7119 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0))
3824, 36, 37sylanbrc 581 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0)
39 eqid 2730 . . . . . 6 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
40 eqid 2730 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
4127adantr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4229ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4331ad2antrl 724 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ β‰  0 )
44 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
45 eqid 2730 . . . . . . . 8 (coe1β€˜π‘₯) = (coe1β€˜π‘₯)
4617, 1, 4, 3, 39, 45deg1ldgdomn 25847 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(π·β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
4744, 42, 43, 46syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(π·β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
48 eldifi 4125 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
4948ad2antll 725 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
50 eldifsni 4792 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5150ad2antll 725 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5217, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51deg1mul2 25867 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
53 domnring 21112 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
542, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5554adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
563, 40ringcl 20144 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
5755, 42, 49, 56syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
582adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑃 ∈ Domn)
593, 40, 4domnmuln0 21114 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 )
6058, 42, 43, 49, 51, 59syl122anc 1377 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 )
61 eldifsn 4789 . . . . . . 7 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 ))
6257, 60, 61sylanbrc 581 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
63 fvres 6909 . . . . . 6 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)))
65 fvres 6909 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦) = (π·β€˜π‘¦))
6625, 65oveqan12d 7430 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
6766adantl 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
6852, 64, 673eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)))
6968ralrimivva 3198 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)))
70 eqid 2730 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
713, 70ringidcl 20154 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
7254, 71syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
73 domnnzr 21111 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
7470, 4nzrnz 20406 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 )
752, 73, 743syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 )
76 eldifsn 4789 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 ))
7772, 75, 76sylanbrc 581 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
78 fvres 6909 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
805, 70ringidval 20077 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
819, 80subm0 18732 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘Œ))
828, 81syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘Œ))
8382fveq2d 6894 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)))
84 domnnzr 21111 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
85 eqid 2730 . . . . . . 7 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
861, 70, 85, 17mon1pid 42249 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0))
8786simprd 494 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0)
8884, 87syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0)
8979, 83, 883eqtr3d 2778 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0)
9038, 69, 893jca 1126 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0))
915, 3mgpbas 20034 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
929, 91ressbas2 17186 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜π‘Œ))
9321, 92ax-mp 5 . . 3 (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜π‘Œ)
94 nn0sscn 12481 . . . 4 β„•0 βŠ† β„‚
95 cnfldbas 21148 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
9613, 95ressbas2 17186 . . . 4 (β„•0 βŠ† β„‚ β†’ β„•0 = (Baseβ€˜π‘))
9794, 96ax-mp 5 . . 3 β„•0 = (Baseβ€˜π‘)
983fvexi 6904 . . . . 5 𝐡 ∈ V
99 difexg 5326 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V)
10098, 99ax-mp 5 . . . 4 (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V
1015, 40mgpplusg 20032 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
1029, 101ressplusg 17239 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘Œ))
103100, 102ax-mp 5 . . 3 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘Œ)
104 nn0ex 12482 . . . 4 β„•0 ∈ V
105 cnfldadd 21149 . . . . 5 + = (+gβ€˜β„‚fld)
10613, 105ressplusg 17239 . . . 4 (β„•0 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜π‘))
107104, 106ax-mp 5 . . 3 + = (+gβ€˜π‘)
108 eqid 2730 . . 3 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
109 cnfld0 21169 . . . . 5 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
11013, 109subm0 18732 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘))
11112, 110ax-mp 5 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘)
11293, 97, 103, 107, 108, 111ismhm 18707 . 2 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁) ↔ ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0)))
11316, 90, 112sylanbrc 581 1 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115  β„*cxr 11251  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  SubMndcsubmnd 18704  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  NzRingcnzr 20403  RLRegcrlreg 21095  Domncdomn 21096  β„‚fldccnfld 21144  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   deg1 cdg1 25804  Monic1pcmn1 25878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-rlreg 21099  df-domn 21100  df-cnfld 21145  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25805  df-deg1 25806  df-mon1 25883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator