Theorem deg1mhm 43818

Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mhm.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mhm.y	⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
deg1mhm.n	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
deg1mhm	⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mhm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1domn 26249	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
3		deg1mhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		deg1mhm.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
5		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
6	3, 4, 5	isdomn3 20798	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃))))
7	6	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
8	2, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
9		deg1mhm.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
10	9	submmnd 18871	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → 𝑌 ∈ Mnd)
11	8, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Mnd)
12		nn0subm 21540	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		deg1mhm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
14	13	submmnd 18871	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
15	12, 14	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑁 ∈ Mnd)
16	11, 15	jca 520	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17		deg1mhm.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
18	17, 1, 3	deg1xrf 26206	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
19		ffn 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* → 𝐷 Fn 𝐵)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 Fn 𝐵
21		difss 4098	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
22		fnssres 6659	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 Fn 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
23	20, 21, 22	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 })
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
25		fvres 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
26	25	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
27		domnring 20791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
29		eldifi 4093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
31		eldifsni 4762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
32	31	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
33	17, 1, 4, 3	deg1nn0cl 26213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
34	28, 30, 32, 33	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
35	26, 34	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
36	35	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
37		ffnfv 7115	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ↔ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0))
38	24, 36, 37	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
39		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
40		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
41	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
42	29	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43	31	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ≠ 0 )
44		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Domn)
45		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
46	17, 1, 4, 3, 39, 45	deg1ldgdomn 26219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
47	44, 42, 43, 46	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
48		eldifi 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
49	48	ad2antll 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		eldifsni 4762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ≠ 0 )
51	50	ad2antll 741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ≠ 0 )
52	17, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51	deg1mul2 26239	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
53		domnring 20791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
54	2, 53	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
55	54	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Ring)
56	3, 40	ringcl 20331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
57	55, 42, 49, 56	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
58	2	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Domn)
59	3, 40, 4	domnmuln0 20793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
60	58, 42, 43, 49, 51, 59	syl122anc 1404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
61		eldifsn 4758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 ))
62	57, 60, 61	sylanbrc 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
63		fvres 6901	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
64	62, 63	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
65		fvres 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) = (𝐷‘𝑦))
66	25, 65	oveqan12d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
67	66	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
68	52, 64, 67	3eqtr4d 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
69	68	ralrimivva 3214	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
70		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
71	3, 70	ringidcl 20347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
72	54, 71	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
73		domnnzr 20790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
74	70, 4	nzrnz 20597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
75	2, 73, 74	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
76		eldifsn 4758	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑃) ≠ 0 ))
77	72, 75, 76	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78		fvres 6901	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
79	77, 78	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
80	5, 70	ringidval 20264	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
81	9, 80	subm0 18873	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
82	8, 81	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
83	82	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)))
84		domnnzr 20790	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
85		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
86	1, 70, 85, 17	mon1pid 26279	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
87	86	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
88	84, 87	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
89	79, 83, 88	3eqtr3d 2812	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)
90	38, 69, 89	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0))
91	5, 3	mgpbas 20220	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
92	9, 91	ressbas2 17297	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌))
93	21, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌)
94		nn0sscn 12508	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
95		cnfldbas 21494	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
96	13, 95	ressbas2 17297	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘𝑁))
97	94, 96	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
98	3	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
99		difexg 5300	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
100	98, 99	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
101	5, 40	mgpplusg 20219	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘𝑃))
102	9, 101	ressplusg 17343	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌))
103	100, 102	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌)
104		nn0ex 12509	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
105		cnfldadd 21496	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
106	13, 105	ressplusg 17343	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘𝑁))
107	104, 106	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑁)
108		eqid 2769	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
109		cnfld0 21514	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
110	13, 109	subm0 18873	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
111	12, 110	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
112	93, 97, 103, 107, 108, 111	ismhm 18842	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)))
113	16, 90, 112	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4594   ↾ cres 5664   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099   + caddc 11102  ℝ^*cxr 11241  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  Mndcmnd 18791   MndHom cmhm 18838  SubMndcsubmnd 18839  mulGrpcmgp 20215  1_rcur 20262  Ringcrg 20314  NzRingcnzr 20594  RLRegcrlreg 20775  Domncdomn 20776  ℂ_fldccnfld 21490  Poly₁cpl1 22305  coe₁cco1 22306  deg₁cdg1 26179  Monic_1pcmn1 26251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-nzr 20595  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-rlreg 20778  df-domn 20779  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-cnfld 21491  df-ascl 21973  df-psr 22027  df-mvr 22028  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-psr1 22308  df-vr1 22309  df-ply1 22310  df-coe1 22311  df-mdeg 26180  df-deg1 26181  df-mon1 26256

This theorem is referenced by: (None)