Theorem deg1mhm 43241

Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mhm.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mhm.y	⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
deg1mhm.n	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
deg1mhm	⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mhm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1domn 26056	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
3		deg1mhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		deg1mhm.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
6	3, 4, 5	isdomn3 20630	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃))))
7	6	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
9		deg1mhm.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
10	9	submmnd 18721	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → 𝑌 ∈ Mnd)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Mnd)
12		nn0subm 21359	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		deg1mhm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
14	13	submmnd 18721	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
15	12, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑁 ∈ Mnd)
16	11, 15	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17		deg1mhm.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
18	17, 1, 3	deg1xrf 26013	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
19		ffn 6651	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* → 𝐷 Fn 𝐵)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 Fn 𝐵
21		difss 4083	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
22		fnssres 6604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 Fn 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
23	20, 21, 22	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 })
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
25		fvres 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
27		domnring 20622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
29		eldifi 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
31		eldifsni 4739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
33	17, 1, 4, 3	deg1nn0cl 26020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
34	28, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
35	26, 34	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
36	35	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
37		ffnfv 7052	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ↔ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0))
38	24, 36, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
39		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
40		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
41	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
42	29	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43	31	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ≠ 0 )
44		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Domn)
45		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
46	17, 1, 4, 3, 39, 45	deg1ldgdomn 26026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
47	44, 42, 43, 46	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
48		eldifi 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
49	48	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		eldifsni 4739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ≠ 0 )
51	50	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ≠ 0 )
52	17, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51	deg1mul2 26046	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
53		domnring 20622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
54	2, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Ring)
56	3, 40	ringcl 20168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
57	55, 42, 49, 56	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
58	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Domn)
59	3, 40, 4	domnmuln0 20624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
60	58, 42, 43, 49, 51, 59	syl122anc 1381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
61		eldifsn 4735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 ))
62	57, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
63		fvres 6841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
65		fvres 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) = (𝐷‘𝑦))
66	25, 65	oveqan12d 7365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
67	66	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
68	52, 64, 67	3eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
69	68	ralrimivva 3175	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
70		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
71	3, 70	ringidcl 20183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
72	54, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
73		domnnzr 20621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
74	70, 4	nzrnz 20430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
75	2, 73, 74	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
76		eldifsn 4735	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑃) ≠ 0 ))
77	72, 75, 76	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78		fvres 6841	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
80	5, 70	ringidval 20101	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
81	9, 80	subm0 18723	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
82	8, 81	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
83	82	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)))
84		domnnzr 20621	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
85		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
86	1, 70, 85, 17	mon1pid 26086	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
87	86	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
88	84, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
89	79, 83, 88	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)
90	38, 69, 89	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0))
91	5, 3	mgpbas 20063	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
92	9, 91	ressbas2 17149	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌))
93	21, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌)
94		nn0sscn 12386	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
95		cnfldbas 21295	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
96	13, 95	ressbas2 17149	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘𝑁))
97	94, 96	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
98	3	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
99		difexg 5265	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
100	98, 99	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
101	5, 40	mgpplusg 20062	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘𝑃))
102	9, 101	ressplusg 17195	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌))
103	100, 102	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌)
104		nn0ex 12387	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
105		cnfldadd 21297	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
106	13, 105	ressplusg 17195	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘𝑁))
107	104, 106	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑁)
108		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
109		cnfld0 21329	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
110	13, 109	subm0 18723	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
111	12, 110	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
112	93, 97, 103, 107, 108, 111	ismhm 18693	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)))
113	16, 90, 112	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4573   ↾ cres 5616   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   + caddc 11009  ℝ^*cxr 11145  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18642   MndHom cmhm 18689  SubMndcsubmnd 18690  mulGrpcmgp 20058  1_rcur 20099  Ringcrg 20151  NzRingcnzr 20427  RLRegcrlreg 20606  Domncdomn 20607  ℂ_fldccnfld 21291  Poly₁cpl1 22089  coe₁cco1 22090  deg₁cdg1 25986  Monic_1pcmn1 26058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-nzr 20428  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-cnfld 21292  df-ascl 21792  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-mdeg 25987  df-deg1 25988  df-mon1 26063

This theorem is referenced by: (None)