Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1mhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mhm 41520
Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mhm.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mhm.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mhm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mhm.z 0 = (0g𝑃)
deg1mhm.y 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
deg1mhm.n 𝑁 = (ℂflds0)
Assertion
Ref Expression
deg1mhm (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mhm.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1domn 25488 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
3 deg1mhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 deg1mhm.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑃)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
63, 4, 5isdomn3 41517 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃))))
76simprbi 497 . . . . 5 (𝑃 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
9 deg1mhm.y . . . . 5 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
109submmnd 18624 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → 𝑌 ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Mnd)
12 nn0subm 20852 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13 deg1mhm.n . . . . 5 𝑁 = (ℂflds0)
1413submmnd 18624 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
1512, 14mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑁 ∈ Mnd)
1611, 15jca 512 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17 deg1mhm.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
1817, 1, 3deg1xrf 25446 . . . . . . 7 𝐷:𝐵⟶ℝ*
19 ffn 6668 . . . . . . 7 (𝐷:𝐵⟶ℝ*𝐷 Fn 𝐵)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 Fn 𝐵
21 difss 4091 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
22 fnssres 6624 . . . . . 6 ((𝐷 Fn 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
2320, 21, 22mp2an 690 . . . . 5 (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 })
2423a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
25 fvres 6861 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷𝑥))
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷𝑥))
27 domnring 20766 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2827adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
29 eldifi 4086 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
31 eldifsni 4750 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
3231adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
3317, 1, 4, 3deg1nn0cl 25453 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
3428, 30, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
3526, 34eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
3635ralrimiva 3143 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
37 ffnfv 7066 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ↔ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0))
3824, 36, 37sylanbrc 583 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
39 eqid 2736 . . . . . 6 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
40 eqid 2736 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
4127adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
4229ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥𝐵)
4331ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥0 )
44 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Domn)
45 eqid 2736 . . . . . . . 8 (coe1𝑥) = (coe1𝑥)
4617, 1, 4, 3, 39, 45deg1ldgdomn 25459 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → ((coe1𝑥)‘(𝐷𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
4744, 42, 43, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((coe1𝑥)‘(𝐷𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
48 eldifi 4086 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦𝐵)
4948ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦𝐵)
50 eldifsni 4750 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦0 )
5150ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦0 )
5217, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51deg1mul2 25479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
53 domnring 20766 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
542, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
5554adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Ring)
563, 40ringcl 19981 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
5755, 42, 49, 56syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
582adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Domn)
593, 40, 4domnmuln0 20768 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Domn ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 )
6058, 42, 43, 49, 51, 59syl122anc 1379 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 )
61 eldifsn 4747 . . . . . . 7 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 ))
6257, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
63 fvres 6861 . . . . . 6 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)))
65 fvres 6861 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) = (𝐷𝑦))
6625, 65oveqan12d 7376 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
6766adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
6852, 64, 673eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
6968ralrimivva 3197 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
70 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝑃) = (1r𝑃)
713, 70ringidcl 19989 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
7254, 71syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
73 domnnzr 20765 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
7470, 4nzrnz 20730 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing → (1r𝑃) ≠ 0 )
752, 73, 743syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ≠ 0 )
76 eldifsn 4747 . . . . . 6 ((1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑃) ≠ 0 ))
7772, 75, 76sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78 fvres 6861 . . . . 5 ((1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = (𝐷‘(1r𝑃)))
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = (𝐷‘(1r𝑃)))
805, 70ringidval 19915 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
819, 80subm0 18626 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → (1r𝑃) = (0g𝑌))
828, 81syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) = (0g𝑌))
8382fveq2d 6846 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)))
84 domnnzr 20765 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
85 eqid 2736 . . . . . . 7 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
861, 70, 85, 17mon1pid 41518 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑃) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷‘(1r𝑃)) = 0))
8786simprd 496 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r𝑃)) = 0)
8884, 87syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷‘(1r𝑃)) = 0)
8979, 83, 883eqtr3d 2784 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0)
9038, 69, 893jca 1128 . 2 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0))
915, 3mgpbas 19902 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
929, 91ressbas2 17120 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌))
9321, 92ax-mp 5 . . 3 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌)
94 nn0sscn 12418 . . . 4 0 ⊆ ℂ
95 cnfldbas 20800 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
9613, 95ressbas2 17120 . . . 4 (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘𝑁))
9794, 96ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘𝑁)
983fvexi 6856 . . . . 5 𝐵 ∈ V
99 difexg 5284 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
10098, 99ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
1015, 40mgpplusg 19900 . . . . 5 (.r𝑃) = (+g‘(mulGrp‘𝑃))
1029, 101ressplusg 17171 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑃) = (+g𝑌))
103100, 102ax-mp 5 . . 3 (.r𝑃) = (+g𝑌)
104 nn0ex 12419 . . . 4 0 ∈ V
105 cnfldadd 20801 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
10613, 105ressplusg 17171 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → + = (+g𝑁))
107104, 106ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑁)
108 eqid 2736 . . 3 (0g𝑌) = (0g𝑌)
109 cnfld0 20821 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
11013, 109subm0 18626 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g𝑁))
11112, 110ax-mp 5 . . 3 0 = (0g𝑁)
11293, 97, 103, 107, 108, 111ismhm 18603 . 2 ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0)))
11316, 90, 112sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586  cres 5635   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051   + caddc 11054  *cxr 11188  0cn0 12413  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SubMndcsubmnd 18600  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  NzRingcnzr 20727  RLRegcrlreg 20749  Domncdomn 20750  fldccnfld 20796  Poly1cpl1 21548  coe1cco1 21549   deg1 cdg1 25416  Monic1pcmn1 25490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-nzr 20728  df-rlreg 20753  df-domn 20754  df-cnfld 20797  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mdeg 25417  df-deg1 25418  df-mon1 25495
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator