Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1mhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mhm 41563
Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mhm.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mhm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mhm.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1mhm.y π‘Œ = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
deg1mhm.n 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
Assertion
Ref Expression
deg1mhm (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mhm.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1domn 25504 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)
3 deg1mhm.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 deg1mhm.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
63, 4, 5isdomn3 41560 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))))
76simprbi 498 . . . . 5 (𝑃 ∈ Domn β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
9 deg1mhm.y . . . . 5 π‘Œ = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
109submmnd 18631 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
12 nn0subm 20868 . . . 4 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
13 deg1mhm.n . . . . 5 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
1413submmnd 18631 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
1512, 14mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
1611, 15jca 513 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17 deg1mhm.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
1817, 1, 3deg1xrf 25462 . . . . . . 7 𝐷:π΅βŸΆβ„*
19 ffn 6673 . . . . . . 7 (𝐷:π΅βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn 𝐡)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 Fn 𝐡
21 difss 4096 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
22 fnssres 6629 . . . . . 6 ((𝐷 Fn 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }))
2320, 21, 22mp2an 691 . . . . 5 (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 })
2423a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }))
25 fvres 6866 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
2625adantl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
27 domnring 20782 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2827adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
29 eldifi 4091 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3029adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
31 eldifsni 4755 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3231adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3317, 1, 4, 3deg1nn0cl 25469 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3428, 30, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3526, 34eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3635ralrimiva 3144 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
37 ffnfv 7071 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0))
3824, 36, 37sylanbrc 584 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0)
39 eqid 2737 . . . . . 6 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
40 eqid 2737 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
4127adantr 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4229ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4331ad2antrl 727 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ β‰  0 )
44 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
45 eqid 2737 . . . . . . . 8 (coe1β€˜π‘₯) = (coe1β€˜π‘₯)
4617, 1, 4, 3, 39, 45deg1ldgdomn 25475 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(π·β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
4744, 42, 43, 46syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(π·β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
48 eldifi 4091 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
4948ad2antll 728 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
50 eldifsni 4755 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5150ad2antll 728 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5217, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51deg1mul2 25495 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
53 domnring 20782 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
542, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5554adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
563, 40ringcl 19988 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
5755, 42, 49, 56syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
582adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑃 ∈ Domn)
593, 40, 4domnmuln0 20784 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 )
6058, 42, 43, 49, 51, 59syl122anc 1380 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 )
61 eldifsn 4752 . . . . . . 7 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 ))
6257, 60, 61sylanbrc 584 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
63 fvres 6866 . . . . . 6 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)))
65 fvres 6866 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦) = (π·β€˜π‘¦))
6625, 65oveqan12d 7381 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
6766adantl 483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
6852, 64, 673eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)))
6968ralrimivva 3198 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)))
70 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
713, 70ringidcl 19996 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
7254, 71syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
73 domnnzr 20781 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
7470, 4nzrnz 20746 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 )
752, 73, 743syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 )
76 eldifsn 4752 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 ))
7772, 75, 76sylanbrc 584 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
78 fvres 6866 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
805, 70ringidval 19922 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
819, 80subm0 18633 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘Œ))
828, 81syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘Œ))
8382fveq2d 6851 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)))
84 domnnzr 20781 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
85 eqid 2737 . . . . . . 7 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
861, 70, 85, 17mon1pid 41561 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0))
8786simprd 497 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0)
8884, 87syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0)
8979, 83, 883eqtr3d 2785 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0)
9038, 69, 893jca 1129 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0))
915, 3mgpbas 19909 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
929, 91ressbas2 17127 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜π‘Œ))
9321, 92ax-mp 5 . . 3 (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜π‘Œ)
94 nn0sscn 12425 . . . 4 β„•0 βŠ† β„‚
95 cnfldbas 20816 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
9613, 95ressbas2 17127 . . . 4 (β„•0 βŠ† β„‚ β†’ β„•0 = (Baseβ€˜π‘))
9794, 96ax-mp 5 . . 3 β„•0 = (Baseβ€˜π‘)
983fvexi 6861 . . . . 5 𝐡 ∈ V
99 difexg 5289 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V)
10098, 99ax-mp 5 . . . 4 (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V
1015, 40mgpplusg 19907 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
1029, 101ressplusg 17178 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘Œ))
103100, 102ax-mp 5 . . 3 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘Œ)
104 nn0ex 12426 . . . 4 β„•0 ∈ V
105 cnfldadd 20817 . . . . 5 + = (+gβ€˜β„‚fld)
10613, 105ressplusg 17178 . . . 4 (β„•0 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜π‘))
107104, 106ax-mp 5 . . 3 + = (+gβ€˜π‘)
108 eqid 2737 . . 3 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
109 cnfld0 20837 . . . . 5 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
11013, 109subm0 18633 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘))
11112, 110ax-mp 5 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘)
11293, 97, 103, 107, 108, 111ismhm 18610 . 2 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁) ↔ ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0)))
11316, 90, 112sylanbrc 584 1 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591   β†Ύ cres 5640   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058   + caddc 11061  β„*cxr 11195  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  0gc0g 17328  Mndcmnd 18563   MndHom cmhm 18606  SubMndcsubmnd 18607  mulGrpcmgp 19903  1rcur 19920  Ringcrg 19971  NzRingcnzr 20743  RLRegcrlreg 20765  Domncdomn 20766  β„‚fldccnfld 20812  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   deg1 cdg1 25432  Monic1pcmn1 25506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-nzr 20744  df-rlreg 20769  df-domn 20770  df-cnfld 20813  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mdeg 25433  df-deg1 25434  df-mon1 25511
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator