Theorem deg1mhm 43189

Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mhm.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
deg1mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mhm.y	⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
deg1mhm.n	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
deg1mhm	⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mhm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1domn 26029	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
3		deg1mhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		deg1mhm.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
6	3, 4, 5	isdomn3 20624	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃))))
7	6	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
9		deg1mhm.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
10	9	submmnd 18740	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → 𝑌 ∈ Mnd)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Mnd)
12		nn0subm 21339	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		deg1mhm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
14	13	submmnd 18740	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
15	12, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑁 ∈ Mnd)
16	11, 15	jca 511	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17		deg1mhm.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
18	17, 1, 3	deg1xrf 25986	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
19		ffn 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* → 𝐷 Fn 𝐵)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 Fn 𝐵
21		difss 4099	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
22		fnssres 6641	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 Fn 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
23	20, 21, 22	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 })
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
25		fvres 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
26	25	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
27		domnring 20616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
29		eldifi 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
31		eldifsni 4754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
33	17, 1, 4, 3	deg1nn0cl 25993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
34	28, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
35	26, 34	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
36	35	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
37		ffnfv 7091	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ↔ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0))
38	24, 36, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
39		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
40		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
41	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
42	29	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43	31	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ≠ 0 )
44		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Domn)
45		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
46	17, 1, 4, 3, 39, 45	deg1ldgdomn 25999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
47	44, 42, 43, 46	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
48		eldifi 4094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
49	48	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		eldifsni 4754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ≠ 0 )
51	50	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ≠ 0 )
52	17, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51	deg1mul2 26019	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
53		domnring 20616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
54	2, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
55	54	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Ring)
56	3, 40	ringcl 20159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
57	55, 42, 49, 56	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
58	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Domn)
59	3, 40, 4	domnmuln0 20618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
60	58, 42, 43, 49, 51, 59	syl122anc 1381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
61		eldifsn 4750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 ))
62	57, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
63		fvres 6877	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
65		fvres 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) = (𝐷‘𝑦))
66	25, 65	oveqan12d 7406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
67	66	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
68	52, 64, 67	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
69	68	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
70		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
71	3, 70	ringidcl 20174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
72	54, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
73		domnnzr 20615	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
74	70, 4	nzrnz 20424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
75	2, 73, 74	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
76		eldifsn 4750	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑃) ≠ 0 ))
77	72, 75, 76	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78		fvres 6877	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
80	5, 70	ringidval 20092	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
81	9, 80	subm0 18742	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
82	8, 81	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
83	82	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)))
84		domnnzr 20615	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
85		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
86	1, 70, 85, 17	mon1pid 26059	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
87	86	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
88	84, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
89	79, 83, 88	3eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)
90	38, 69, 89	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0))
91	5, 3	mgpbas 20054	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
92	9, 91	ressbas2 17208	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌))
93	21, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌)
94		nn0sscn 12447	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
95		cnfldbas 21268	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
96	13, 95	ressbas2 17208	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘𝑁))
97	94, 96	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
98	3	fvexi 6872	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
99		difexg 5284	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
100	98, 99	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
101	5, 40	mgpplusg 20053	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘𝑃))
102	9, 101	ressplusg 17254	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌))
103	100, 102	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌)
104		nn0ex 12448	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
105		cnfldadd 21270	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
106	13, 105	ressplusg 17254	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘𝑁))
107	104, 106	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑁)
108		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
109		cnfld0 21304	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
110	13, 109	subm0 18742	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
111	12, 110	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
112	93, 97, 103, 107, 108, 111	ismhm 18712	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)))
113	16, 90, 112	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  {csn 4589   ↾ cres 5640   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   + caddc 11071  ℝ^*cxr 11207  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18661   MndHom cmhm 18708  SubMndcsubmnd 18709  mulGrpcmgp 20049  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  NzRingcnzr 20421  RLRegcrlreg 20600  Domncdomn 20601  ℂ_fldccnfld 21264  Poly₁cpl1 22061  coe₁cco1 22062  deg₁cdg1 25959  Monic_1pcmn1 26031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-nzr 20422  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-domn 20604  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-cnfld 21265  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-mon1 26036

This theorem is referenced by: (None)