Theorem deg1mhm 41520

Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mhm.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1mhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1mhm.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1mhm.y	⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
deg1mhm.n	⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
deg1mhm	⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mhm.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1domn 25488	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
3		deg1mhm.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		deg1mhm.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
6	3, 4, 5	isdomn3 41517	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃))))
7	6	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
9		deg1mhm.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
10	9	submmnd 18624	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → 𝑌 ∈ Mnd)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Mnd)
12		nn0subm 20852	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13		deg1mhm.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (ℂfld ↾s ℕ0)
14	13	submmnd 18624	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
15	12, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑁 ∈ Mnd)
16	11, 15	jca 512	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17		deg1mhm.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
18	17, 1, 3	deg1xrf 25446	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷:𝐵⟶ℝ*
19		ffn 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:𝐵⟶ℝ* → 𝐷 Fn 𝐵)
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 Fn 𝐵
21		difss 4091	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
22		fnssres 6624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 Fn 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
23	20, 21, 22	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 })
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
25		fvres 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
26	25	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷‘𝑥))
27		domnring 20766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	27	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
29		eldifi 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝐵)
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ 𝐵)
31		eldifsni 4750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥 ≠ 0 )
32	31	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥 ≠ 0 )
33	17, 1, 4, 3	deg1nn0cl 25453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
34	28, 30, 32, 33	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷‘𝑥) ∈ ℕ0)
35	26, 34	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
36	35	ralrimiva 3143	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
37		ffnfv 7066	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ↔ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0))
38	24, 36, 37	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
39		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
40		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
41	27	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
42	29	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43	31	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ≠ 0 )
44		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Domn)
45		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (coe1‘𝑥) = (coe1‘𝑥)
46	17, 1, 4, 3, 39, 45	deg1ldgdomn 25459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
47	44, 42, 43, 46	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((coe1‘𝑥)‘(𝐷‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
48		eldifi 4086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ∈ 𝐵)
49	48	ad2antll 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
50		eldifsni 4750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦 ≠ 0 )
51	50	ad2antll 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦 ≠ 0 )
52	17, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51	deg1mul2 25479	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
53		domnring 20766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
54	2, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
55	54	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Ring)
56	3, 40	ringcl 19981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
57	55, 42, 49, 56	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
58	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Domn)
59	3, 40, 4	domnmuln0 20768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ 0 )) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
60	58, 42, 43, 49, 51, 59	syl122anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 )
61		eldifsn 4747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ≠ 0 ))
62	57, 60, 61	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
63		fvres 6861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)))
65		fvres 6861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) = (𝐷‘𝑦))
66	25, 65	oveqan12d 7376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
67	66	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷‘𝑥) + (𝐷‘𝑦)))
68	52, 64, 67	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
69	68	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
70		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
71	3, 70	ringidcl 19989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
72	54, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ 𝐵)
73		domnnzr 20765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
74	70, 4	nzrnz 20730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ NzRing → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
75	2, 73, 74	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ≠ 0 )
76		eldifsn 4747	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑃) ≠ 0 ))
77	72, 75, 76	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78		fvres 6861	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
79	77, 78	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = (𝐷‘(1r‘𝑃)))
80	5, 70	ringidval 19915	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
81	9, 80	subm0 18626	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
82	8, 81	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (1r‘𝑃) = (0g‘𝑌))
83	82	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r‘𝑃)) = ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)))
84		domnnzr 20765	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
85		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Monic1p‘𝑅) = (Monic1p‘𝑅)
86	1, 70, 85, 17	mon1pid 41518	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑃) ∈ (Monic1p‘𝑅) ∧ (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0))
87	86	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
88	84, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷‘(1r‘𝑃)) = 0)
89	79, 83, 88	3eqtr3d 2784	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)
90	38, 69, 89	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0))
91	5, 3	mgpbas 19902	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
92	9, 91	ressbas2 17120	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌))
93	21, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌)
94		nn0sscn 12418	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
95		cnfldbas 20800	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
96	13, 95	ressbas2 17120	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘𝑁))
97	94, 96	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℕ0 = (Base‘𝑁)
98	3	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
99		difexg 5284	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
100	98, 99	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
101	5, 40	mgpplusg 19900	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘(mulGrp‘𝑃))
102	9, 101	ressplusg 17171	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌))
103	100, 102	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑌)
104		nn0ex 12419	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
105		cnfldadd 20801	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
106	13, 105	ressplusg 17171	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ V → + = (+g‘𝑁))
107	104, 106	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑁)
108		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
109		cnfld0 20821	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
110	13, 109	subm0 18626	. . . 4 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g‘𝑁))
111	12, 110	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑁)
112	93, 97, 103, 107, 108, 111	ismhm 18603	. 2 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r‘𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g‘𝑌)) = 0)))
113	16, 90, 112	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  {csn 4586   ↾ cres 5635   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051   + caddc 11054  ℝ^*cxr 11188  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  0_gc0g 17321  Mndcmnd 18556   MndHom cmhm 18599  SubMndcsubmnd 18600  mulGrpcmgp 19896  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  NzRingcnzr 20727  RLRegcrlreg 20749  Domncdomn 20750  ℂ_fldccnfld 20796  Poly₁cpl1 21548  coe₁cco1 21549   deg₁ cdg1 25416  Monic_1pcmn1 25490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-nzr 20728  df-rlreg 20753  df-domn 20754  df-cnfld 20797  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mdeg 25417  df-deg1 25418  df-mon1 25495

This theorem is referenced by: (None)