Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1mhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mhm 42251
Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mhm.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mhm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mhm.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1mhm.y π‘Œ = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
deg1mhm.n 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
Assertion
Ref Expression
deg1mhm (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁))
Proof of Theorem deg1mhm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mhm.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1domn 25865 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)
3 deg1mhm.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 deg1mhm.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
63, 4, 5isdomn3 42248 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))))
76simprbi 497 . . . . 5 (𝑃 ∈ Domn β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
9 deg1mhm.y . . . . 5 π‘Œ = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
109submmnd 18730 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
12 nn0subm 21200 . . . 4 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
13 deg1mhm.n . . . . 5 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
1413submmnd 18730 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
1512, 14mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
1611, 15jca 512 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17 deg1mhm.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
1817, 1, 3deg1xrf 25823 . . . . . . 7 𝐷:π΅βŸΆβ„*
19 ffn 6717 . . . . . . 7 (𝐷:π΅βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn 𝐡)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 Fn 𝐡
21 difss 4131 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
22 fnssres 6673 . . . . . 6 ((𝐷 Fn 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }))
2320, 21, 22mp2an 690 . . . . 5 (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 })
2423a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }))
25 fvres 6910 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
27 domnring 21112 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2827adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
29 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
31 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3231adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3317, 1, 4, 3deg1nn0cl 25830 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3428, 30, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3526, 34eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3635ralrimiva 3146 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
37 ffnfv 7120 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0))
3824, 36, 37sylanbrc 583 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0)
39 eqid 2732 . . . . . 6 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
40 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
4127adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4229ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4331ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ β‰  0 )
44 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
45 eqid 2732 . . . . . . . 8 (coe1β€˜π‘₯) = (coe1β€˜π‘₯)
4617, 1, 4, 3, 39, 45deg1ldgdomn 25836 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(π·β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
4744, 42, 43, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(π·β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
48 eldifi 4126 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
4948ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
50 eldifsni 4793 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5150ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5217, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51deg1mul2 25856 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
53 domnring 21112 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
542, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5554adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
563, 40ringcl 20144 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
5755, 42, 49, 56syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
582adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑃 ∈ Domn)
593, 40, 4domnmuln0 21114 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 )
6058, 42, 43, 49, 51, 59syl122anc 1379 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 )
61 eldifsn 4790 . . . . . . 7 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 ))
6257, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
63 fvres 6910 . . . . . 6 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)))
65 fvres 6910 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦) = (π·β€˜π‘¦))
6625, 65oveqan12d 7430 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
6766adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
6852, 64, 673eqtr4d 2782 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)))
6968ralrimivva 3200 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)))
70 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
713, 70ringidcl 20154 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
7254, 71syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
73 domnnzr 21111 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
7470, 4nzrnz 20406 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 )
752, 73, 743syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 )
76 eldifsn 4790 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 ))
7772, 75, 76sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
78 fvres 6910 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
805, 70ringidval 20077 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
819, 80subm0 18732 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘Œ))
828, 81syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘Œ))
8382fveq2d 6895 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)))
84 domnnzr 21111 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
85 eqid 2732 . . . . . . 7 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
861, 70, 85, 17mon1pid 42249 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0))
8786simprd 496 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0)
8884, 87syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0)
8979, 83, 883eqtr3d 2780 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0)
9038, 69, 893jca 1128 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0))
915, 3mgpbas 20034 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
929, 91ressbas2 17186 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜π‘Œ))
9321, 92ax-mp 5 . . 3 (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜π‘Œ)
94 nn0sscn 12481 . . . 4 β„•0 βŠ† β„‚
95 cnfldbas 21148 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
9613, 95ressbas2 17186 . . . 4 (β„•0 βŠ† β„‚ β†’ β„•0 = (Baseβ€˜π‘))
9794, 96ax-mp 5 . . 3 β„•0 = (Baseβ€˜π‘)
983fvexi 6905 . . . . 5 𝐡 ∈ V
99 difexg 5327 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V)
10098, 99ax-mp 5 . . . 4 (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V
1015, 40mgpplusg 20032 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
1029, 101ressplusg 17239 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘Œ))
103100, 102ax-mp 5 . . 3 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘Œ)
104 nn0ex 12482 . . . 4 β„•0 ∈ V
105 cnfldadd 21149 . . . . 5 + = (+gβ€˜β„‚fld)
10613, 105ressplusg 17239 . . . 4 (β„•0 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜π‘))
107104, 106ax-mp 5 . . 3 + = (+gβ€˜π‘)
108 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
109 cnfld0 21169 . . . . 5 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
11013, 109subm0 18732 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘))
11112, 110ax-mp 5 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘)
11293, 97, 103, 107, 108, 111ismhm 18707 . 2 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁) ↔ ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0)))
11316, 90, 112sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115  β„*cxr 11251  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703  SubMndcsubmnd 18704  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  NzRingcnzr 20403  RLRegcrlreg 21095  Domncdomn 21096  β„‚fldccnfld 21144  Poly1cpl1 21920  coe1cco1 21921   deg1 cdg1 25793  Monic1pcmn1 25867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-rlreg 21099  df-domn 21100  df-cnfld 21145  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25794  df-deg1 25795  df-mon1 25872
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator