Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1mhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mhm 41254
Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mhm.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mhm.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mhm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mhm.z 0 = (0g𝑃)
deg1mhm.y 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
deg1mhm.n 𝑁 = (ℂflds0)
Assertion
Ref Expression
deg1mhm (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mhm.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1domn 25368 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
3 deg1mhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 deg1mhm.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑃)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
63, 4, 5isdomn3 41251 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃))))
76simprbi 497 . . . . 5 (𝑃 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
9 deg1mhm.y . . . . 5 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
109submmnd 18526 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → 𝑌 ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Mnd)
12 nn0subm 20733 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13 deg1mhm.n . . . . 5 𝑁 = (ℂflds0)
1413submmnd 18526 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
1512, 14mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑁 ∈ Mnd)
1611, 15jca 512 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17 deg1mhm.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
1817, 1, 3deg1xrf 25326 . . . . . . 7 𝐷:𝐵⟶ℝ*
19 ffn 6637 . . . . . . 7 (𝐷:𝐵⟶ℝ*𝐷 Fn 𝐵)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 Fn 𝐵
21 difss 4076 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
22 fnssres 6593 . . . . . 6 ((𝐷 Fn 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
2320, 21, 22mp2an 689 . . . . 5 (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 })
2423a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
25 fvres 6830 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷𝑥))
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷𝑥))
27 domnring 20647 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2827adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
29 eldifi 4071 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
31 eldifsni 4734 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
3231adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
3317, 1, 4, 3deg1nn0cl 25333 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
3428, 30, 32, 33syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
3526, 34eqeltrd 2837 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
3635ralrimiva 3139 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
37 ffnfv 7031 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ↔ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0))
3824, 36, 37sylanbrc 583 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
39 eqid 2736 . . . . . 6 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
40 eqid 2736 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
4127adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
4229ad2antrl 725 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥𝐵)
4331ad2antrl 725 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥0 )
44 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Domn)
45 eqid 2736 . . . . . . . 8 (coe1𝑥) = (coe1𝑥)
4617, 1, 4, 3, 39, 45deg1ldgdomn 25339 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → ((coe1𝑥)‘(𝐷𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
4744, 42, 43, 46syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((coe1𝑥)‘(𝐷𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
48 eldifi 4071 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦𝐵)
4948ad2antll 726 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦𝐵)
50 eldifsni 4734 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦0 )
5150ad2antll 726 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦0 )
5217, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51deg1mul2 25359 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
53 domnring 20647 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
542, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
5554adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Ring)
563, 40ringcl 19872 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
5755, 42, 49, 56syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
582adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Domn)
593, 40, 4domnmuln0 20649 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Domn ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 )
6058, 42, 43, 49, 51, 59syl122anc 1378 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 )
61 eldifsn 4731 . . . . . . 7 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 ))
6257, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
63 fvres 6830 . . . . . 6 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)))
65 fvres 6830 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) = (𝐷𝑦))
6625, 65oveqan12d 7335 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
6766adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
6852, 64, 673eqtr4d 2786 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
6968ralrimivva 3193 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
70 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝑃) = (1r𝑃)
713, 70ringidcl 19879 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
7254, 71syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
73 domnnzr 20646 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
7470, 4nzrnz 20611 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing → (1r𝑃) ≠ 0 )
752, 73, 743syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ≠ 0 )
76 eldifsn 4731 . . . . . 6 ((1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑃) ≠ 0 ))
7772, 75, 76sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78 fvres 6830 . . . . 5 ((1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = (𝐷‘(1r𝑃)))
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = (𝐷‘(1r𝑃)))
805, 70ringidval 19811 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
819, 80subm0 18528 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → (1r𝑃) = (0g𝑌))
828, 81syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) = (0g𝑌))
8382fveq2d 6815 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)))
84 domnnzr 20646 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
85 eqid 2736 . . . . . . 7 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
861, 70, 85, 17mon1pid 41252 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑃) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷‘(1r𝑃)) = 0))
8786simprd 496 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r𝑃)) = 0)
8884, 87syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷‘(1r𝑃)) = 0)
8979, 83, 883eqtr3d 2784 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0)
9038, 69, 893jca 1127 . 2 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0))
915, 3mgpbas 19798 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
929, 91ressbas2 17023 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌))
9321, 92ax-mp 5 . . 3 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌)
94 nn0sscn 12317 . . . 4 0 ⊆ ℂ
95 cnfldbas 20681 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
9613, 95ressbas2 17023 . . . 4 (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘𝑁))
9794, 96ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘𝑁)
983fvexi 6825 . . . . 5 𝐵 ∈ V
99 difexg 5265 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
10098, 99ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
1015, 40mgpplusg 19796 . . . . 5 (.r𝑃) = (+g‘(mulGrp‘𝑃))
1029, 101ressplusg 17074 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑃) = (+g𝑌))
103100, 102ax-mp 5 . . 3 (.r𝑃) = (+g𝑌)
104 nn0ex 12318 . . . 4 0 ∈ V
105 cnfldadd 20682 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
10613, 105ressplusg 17074 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → + = (+g𝑁))
107104, 106ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑁)
108 eqid 2736 . . 3 (0g𝑌) = (0g𝑌)
109 cnfld0 20702 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
11013, 109subm0 18528 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g𝑁))
11112, 110ax-mp 5 . . 3 0 = (0g𝑁)
11293, 97, 103, 107, 108, 111ismhm 18506 . 2 ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0)))
11316, 90, 112sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3440  cdif 3893  wss 3896  {csn 4570  cres 5609   Fn wfn 6460  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7316  cc 10948  0cc0 10950   + caddc 10953  *cxr 11087  0cn0 12312  Basecbs 16986  s cress 17015  +gcplusg 17036  .rcmulr 17037  0gc0g 17224  Mndcmnd 18459   MndHom cmhm 18502  SubMndcsubmnd 18503  mulGrpcmgp 19792  1rcur 19809  Ringcrg 19855  NzRingcnzr 20608  RLRegcrlreg 20630  Domncdomn 20631  fldccnfld 20677  Poly1cpl1 21428  coe1cco1 21429   deg1 cdg1 25296  Monic1pcmn1 25370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028  ax-addf 11029  ax-mulf 11030
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-of 7574  df-ofr 7575  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-ixp 8735  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fsupp 9205  df-sup 9277  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-seq 13801  df-hash 14124  df-struct 16922  df-sets 16939  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-ress 17016  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-sca 17052  df-vsca 17053  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-mre 17369  df-mrc 17370  df-acs 17372  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-mhm 18504  df-submnd 18505  df-grp 18653  df-minusg 18654  df-sbg 18655  df-mulg 18774  df-subg 18825  df-ghm 18905  df-cntz 18996  df-cmn 19460  df-abl 19461  df-mgp 19793  df-ur 19810  df-ring 19857  df-cring 19858  df-subrg 20101  df-lmod 20205  df-lss 20274  df-nzr 20609  df-rlreg 20634  df-domn 20635  df-cnfld 20678  df-ascl 21142  df-psr 21192  df-mvr 21193  df-mpl 21194  df-opsr 21196  df-psr1 21431  df-vr1 21432  df-ply1 21433  df-coe1 21434  df-mdeg 25297  df-deg1 25298  df-mon1 25375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator