Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1mhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1mhm 38280
Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mhm.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1mhm.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1mhm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1mhm.z 0 = (0g𝑃)
deg1mhm.y 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
deg1mhm.n 𝑁 = (ℂflds0)
Assertion
Ref Expression
deg1mhm (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))

Proof of Theorem deg1mhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mhm.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1domn 24093 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
3 deg1mhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 deg1mhm.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑃)
5 eqid 2806 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
63, 4, 5isdomn3 38277 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃))))
76simprbi 486 . . . . 5 (𝑃 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)))
9 deg1mhm.y . . . . 5 𝑌 = ((mulGrp‘𝑃) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
109submmnd 17555 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → 𝑌 ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑌 ∈ Mnd)
12 nn0subm 20005 . . . 4 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
13 deg1mhm.n . . . . 5 𝑁 = (ℂflds0)
1413submmnd 17555 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 𝑁 ∈ Mnd)
1512, 14mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑁 ∈ Mnd)
1611, 15jca 503 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17 deg1mhm.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
1817, 1, 3deg1xrf 24051 . . . . . . 7 𝐷:𝐵⟶ℝ*
19 ffn 6252 . . . . . . 7 (𝐷:𝐵⟶ℝ*𝐷 Fn 𝐵)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 Fn 𝐵
21 difss 3936 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
22 fnssres 6211 . . . . . 6 ((𝐷 Fn 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
2320, 21, 22mp2an 675 . . . . 5 (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 })
2423a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }))
25 fvres 6423 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷𝑥))
2625adantl 469 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) = (𝐷𝑥))
27 domnring 19501 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2827adantr 468 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
29 eldifi 3931 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥𝐵)
3029adantl 469 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
31 eldifsni 4512 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑥0 )
3231adantl 469 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑥0 )
3317, 1, 4, 3deg1nn0cl 24058 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
3428, 30, 32, 33syl3anc 1483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝐷𝑥) ∈ ℕ0)
3526, 34eqeltrd 2885 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
3635ralrimiva 3154 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0)
37 ffnfv 6606 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ↔ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) Fn (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) ∈ ℕ0))
3824, 36, 37sylanbrc 574 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0)
39 eqid 2806 . . . . . 6 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
40 eqid 2806 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
4127adantr 468 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
4229ad2antrl 710 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥𝐵)
4331ad2antrl 710 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑥0 )
44 simpl 470 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Domn)
45 eqid 2806 . . . . . . . 8 (coe1𝑥) = (coe1𝑥)
4617, 1, 4, 3, 39, 45deg1ldgdomn 24064 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥𝐵𝑥0 ) → ((coe1𝑥)‘(𝐷𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
4744, 42, 43, 46syl3anc 1483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((coe1𝑥)‘(𝐷𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
48 eldifi 3931 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦𝐵)
4948ad2antll 711 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦𝐵)
50 eldifsni 4512 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑦0 )
5150ad2antll 711 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑦0 )
5217, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51deg1mul2 24084 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
53 domnring 19501 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
542, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
5554adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Ring)
563, 40ringcl 18759 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
5755, 42, 49, 56syl3anc 1483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵)
582adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → 𝑃 ∈ Domn)
593, 40, 4domnmuln0 19503 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Domn ∧ (𝑥𝐵𝑥0 ) ∧ (𝑦𝐵𝑦0 )) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 )
6058, 42, 43, 49, 51, 59syl122anc 1491 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 )
61 eldifsn 4508 . . . . . . 7 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ 0 ))
6257, 60, 61sylanbrc 574 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
63 fvres 6423 . . . . . 6 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (𝐷‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)))
65 fvres 6423 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦) = (𝐷𝑦))
6625, 65oveqan12d 6889 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
6766adantl 469 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) = ((𝐷𝑥) + (𝐷𝑦)))
6852, 64, 673eqtr4d 2850 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
6968ralrimivva 3159 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)))
70 eqid 2806 . . . . . . . 8 (1r𝑃) = (1r𝑃)
713, 70ringidcl 18766 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
7254, 71syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ∈ 𝐵)
73 domnnzr 19500 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ NzRing)
7470, 4nzrnz 19465 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing → (1r𝑃) ≠ 0 )
752, 73, 743syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ≠ 0 )
76 eldifsn 4508 . . . . . 6 ((1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((1r𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (1r𝑃) ≠ 0 ))
7772, 75, 76sylanbrc 574 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
78 fvres 6423 . . . . 5 ((1r𝑃) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = (𝐷‘(1r𝑃)))
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = (𝐷‘(1r𝑃)))
805, 70ringidval 18701 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (0g‘(mulGrp‘𝑃))
819, 80subm0 17557 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑃)) → (1r𝑃) = (0g𝑌))
828, 81syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → (1r𝑃) = (0g𝑌))
8382fveq2d 6408 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(1r𝑃)) = ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)))
84 domnnzr 19500 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
85 eqid 2806 . . . . . . 7 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
861, 70, 85, 17mon1pid 38278 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑃) ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷‘(1r𝑃)) = 0))
8786simprd 485 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (𝐷‘(1r𝑃)) = 0)
8884, 87syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷‘(1r𝑃)) = 0)
8979, 83, 883eqtr3d 2848 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0)
9038, 69, 893jca 1151 . 2 (𝑅 ∈ Domn → ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0))
915, 3mgpbas 18693 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
929, 91ressbas2 16138 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌))
9321, 92ax-mp 5 . . 3 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘𝑌)
94 nn0sscn 11560 . . . 4 0 ⊆ ℂ
95 cnfldbas 19954 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
9613, 95ressbas2 16138 . . . 4 (ℕ0 ⊆ ℂ → ℕ0 = (Base‘𝑁))
9794, 96ax-mp 5 . . 3 0 = (Base‘𝑁)
983fvexi 6418 . . . . 5 𝐵 ∈ V
99 difexg 5003 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
10098, 99ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V
1015, 40mgpplusg 18691 . . . . 5 (.r𝑃) = (+g‘(mulGrp‘𝑃))
1029, 101ressplusg 16200 . . . 4 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → (.r𝑃) = (+g𝑌))
103100, 102ax-mp 5 . . 3 (.r𝑃) = (+g𝑌)
104 nn0ex 11561 . . . 4 0 ∈ V
105 cnfldadd 19955 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
10613, 105ressplusg 16200 . . . 4 (ℕ0 ∈ V → + = (+g𝑁))
107104, 106ax-mp 5 . . 3 + = (+g𝑁)
108 eqid 2806 . . 3 (0g𝑌) = (0g𝑌)
109 cnfld0 19974 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
11013, 109subm0 17557 . . . 4 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → 0 = (0g𝑁))
11112, 110ax-mp 5 . . 3 0 = (0g𝑁)
11293, 97, 103, 107, 108, 111ismhm 17538 . 2 ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁) ↔ ((𝑌 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })):(𝐵 ∖ { 0 })⟶ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })∀𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = (((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑥) + ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘𝑦)) ∧ ((𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 }))‘(0g𝑌)) = 0)))
11316, 90, 112sylanbrc 574 1 (𝑅 ∈ Domn → (𝐷 ↾ (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ (𝑌 MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  Vcvv 3391  cdif 3766  wss 3769  {csn 4370  cres 5313   Fn wfn 6092  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  0cc0 10217   + caddc 10220  *cxr 10354  0cn0 11555  Basecbs 16064  s cress 16065  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  0gc0g 16301  Mndcmnd 17495   MndHom cmhm 17534  SubMndcsubmnd 17535  mulGrpcmgp 18687  1rcur 18699  Ringcrg 18745  NzRingcnzr 19462  RLRegcrlreg 19484  Domncdomn 19485  Poly1cpl1 19751  coe1cco1 19752  fldccnfld 19950   deg1 cdg1 24024  Monic1pcmn1 24095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295  ax-addf 10296  ax-mulf 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-ofr 7124  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-ixp 8142  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-sup 8583  df-oi 8650  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-hash 13334  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17789  df-ghm 17856  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-abl 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-subrg 18978  df-lmod 19065  df-lss 19133  df-nzr 19463  df-rlreg 19488  df-domn 19489  df-ascl 19519  df-psr 19561  df-mvr 19562  df-mpl 19563  df-opsr 19565  df-psr1 19754  df-vr1 19755  df-ply1 19756  df-coe1 19757  df-cnfld 19951  df-mdeg 24025  df-deg1 24026  df-mon1 24100
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator