Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deg1mhm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1mhm 41934
Description: Homomorphic property of the polynomial degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mhm.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1mhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1mhm.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1mhm.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1mhm.y π‘Œ = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
deg1mhm.n 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
Assertion
Ref Expression
deg1mhm (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁))
Proof of Theorem deg1mhm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1mhm.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1domn 25632 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)
3 deg1mhm.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 deg1mhm.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
63, 4, 5isdomn3 41931 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Domn ↔ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))))
76simprbi 497 . . . . 5 (𝑃 ∈ Domn β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
82, 7syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
9 deg1mhm.y . . . . 5 π‘Œ = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) β†Ύs (𝐡 βˆ– { 0 }))
109submmnd 18690 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ π‘Œ ∈ Mnd)
12 nn0subm 20992 . . . 4 β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
13 deg1mhm.n . . . . 5 𝑁 = (β„‚fld β†Ύs β„•0)
1413submmnd 18690 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
1512, 14mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑁 ∈ Mnd)
1611, 15jca 512 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd))
17 deg1mhm.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
1817, 1, 3deg1xrf 25590 . . . . . . 7 𝐷:π΅βŸΆβ„*
19 ffn 6714 . . . . . . 7 (𝐷:π΅βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn 𝐡)
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 𝐷 Fn 𝐡
21 difss 4130 . . . . . 6 (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡
22 fnssres 6670 . . . . . 6 ((𝐷 Fn 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }))
2320, 21, 22mp2an 690 . . . . 5 (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 })
2423a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }))
25 fvres 6907 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) = (π·β€˜π‘₯))
27 domnring 20904 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2827adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
29 eldifi 4125 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3029adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
31 eldifsni 4792 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3231adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ π‘₯ β‰  0 )
3317, 1, 4, 3deg1nn0cl 25597 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3428, 30, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (π·β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3526, 34eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3635ralrimiva 3146 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
37 ffnfv 7114 . . . 4 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ↔ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) Fn (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) ∈ β„•0))
3824, 36, 37sylanbrc 583 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0)
39 eqid 2732 . . . . . 6 (RLRegβ€˜π‘…) = (RLRegβ€˜π‘…)
40 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
4127adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4229ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
4331ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ β‰  0 )
44 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
45 eqid 2732 . . . . . . . 8 (coe1β€˜π‘₯) = (coe1β€˜π‘₯)
4617, 1, 4, 3, 39, 45deg1ldgdomn 25603 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(π·β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
4744, 42, 43, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((coe1β€˜π‘₯)β€˜(π·β€˜π‘₯)) ∈ (RLRegβ€˜π‘…))
48 eldifi 4125 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
4948ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
50 eldifsni 4792 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5150ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 β‰  0 )
5217, 1, 39, 3, 40, 4, 41, 42, 43, 47, 49, 51deg1mul2 25623 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
53 domnring 20904 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
542, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5554adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
563, 40ringcl 20066 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
5755, 42, 49, 56syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡)
582adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑃 ∈ Domn)
593, 40, 4domnmuln0 20906 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  0 ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  0 )) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 )
6058, 42, 43, 49, 51, 59syl122anc 1379 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 )
61 eldifsn 4789 . . . . . . 7 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) β‰  0 ))
6257, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
63 fvres 6907 . . . . . 6 ((π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (π·β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)))
65 fvres 6907 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦) = (π·β€˜π‘¦))
6625, 65oveqan12d 7424 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
6766adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) = ((π·β€˜π‘₯) + (π·β€˜π‘¦)))
6852, 64, 673eqtr4d 2782 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)))
6968ralrimivva 3200 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)))
70 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
713, 70ringidcl 20076 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
7254, 71syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
73 domnnzr 20903 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ NzRing)
7470, 4nzrnz 20286 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 )
752, 73, 743syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 )
76 eldifsn 4789 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) ↔ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) β‰  0 ))
7772, 75, 76sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))
78 fvres 6907 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
7977, 78syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)))
805, 70ringidval 20000 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
819, 80subm0 18692 . . . . . 6 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘Œ))
828, 81syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘Œ))
8382fveq2d 6892 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)))
84 domnnzr 20903 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
85 eqid 2732 . . . . . . 7 (Monic1pβ€˜π‘…) = (Monic1pβ€˜π‘…)
861, 70, 85, 17mon1pid 41932 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing β†’ ((1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (Monic1pβ€˜π‘…) ∧ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0))
8786simprd 496 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing β†’ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0)
8884, 87syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ (π·β€˜(1rβ€˜π‘ƒ)) = 0)
8979, 83, 883eqtr3d 2780 . . 3 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0)
9038, 69, 893jca 1128 . 2 (𝑅 ∈ Domn β†’ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0))
915, 3mgpbas 19987 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
929, 91ressbas2 17178 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜π‘Œ))
9321, 92ax-mp 5 . . 3 (𝐡 βˆ– { 0 }) = (Baseβ€˜π‘Œ)
94 nn0sscn 12473 . . . 4 β„•0 βŠ† β„‚
95 cnfldbas 20940 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
9613, 95ressbas2 17178 . . . 4 (β„•0 βŠ† β„‚ β†’ β„•0 = (Baseβ€˜π‘))
9794, 96ax-mp 5 . . 3 β„•0 = (Baseβ€˜π‘)
983fvexi 6902 . . . . 5 𝐡 ∈ V
99 difexg 5326 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V)
10098, 99ax-mp 5 . . . 4 (𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V
1015, 40mgpplusg 19985 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
1029, 101ressplusg 17231 . . . 4 ((𝐡 βˆ– { 0 }) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘Œ))
103100, 102ax-mp 5 . . 3 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘Œ)
104 nn0ex 12474 . . . 4 β„•0 ∈ V
105 cnfldadd 20941 . . . . 5 + = (+gβ€˜β„‚fld)
10613, 105ressplusg 17231 . . . 4 (β„•0 ∈ V β†’ + = (+gβ€˜π‘))
107104, 106ax-mp 5 . . 3 + = (+gβ€˜π‘)
108 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
109 cnfld0 20961 . . . . 5 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
11013, 109subm0 18692 . . . 4 (β„•0 ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜π‘))
11112, 110ax-mp 5 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘)
11293, 97, 103, 107, 108, 111ismhm 18669 . 2 ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁) ↔ ((π‘Œ ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ Mnd) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })):(𝐡 βˆ– { 0 })βŸΆβ„•0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(π‘₯(.rβ€˜π‘ƒ)𝑦)) = (((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘₯) + ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜π‘¦)) ∧ ((𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 }))β€˜(0gβ€˜π‘Œ)) = 0)))
11316, 90, 112sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ Domn β†’ (𝐷 β†Ύ (𝐡 βˆ– { 0 })) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   β†Ύ cres 5677   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109  β„*cxr 11243  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Mndcmnd 18621   MndHom cmhm 18665  SubMndcsubmnd 18666  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049  NzRingcnzr 20283  RLRegcrlreg 20887  Domncdomn 20888  β„‚fldccnfld 20936  Poly1cpl1 21692  coe1cco1 21693   deg1 cdg1 25560  Monic1pcmn1 25634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-nzr 20284  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-rlreg 20891  df-domn 20892  df-cnfld 20937  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-coe1 21698  df-mdeg 25561  df-deg1 25562  df-mon1 25639
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator