Theorem proot1mul 44289

Description: Any primitive 𝑁-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomsubgmo.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1mul.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
proot1mul.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
proot1mul	⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Proof of Theorem proot1mul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑅 ∈ IDomn)
2		isidom 20981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3	2	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4		domnring 20964	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6		idomsubgmo.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
7	5, 6	unitgrp 20618	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
8	1, 3, 4, 7	4syl 20	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝐺 ∈ Grp)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	subgacs 19376	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
11		acsmre 17831	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
12	8, 10, 11	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
13		proot1mul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
14		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
15		proot1mul.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
16	9, 15	odf 19756	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
17		ffn 6709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (Base‘𝐺))
18		fniniseg 7059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁)))
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
20	14, 19	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
21	20	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
22	21	snssd 4743	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
23	12, 13, 22	mrcssidd 17804	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24		snssg 4740	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
25	14, 24	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
26	23, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
27	6	idomsubgmo 44288	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
28	27	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
29	13	mrccl 17790	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30	12, 22, 29	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
31	20	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑋) = 𝑁)
32		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
33	31, 32	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ)
34	9, 15, 13	odhash2 19794	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂‘𝑋))
35	8, 21, 33, 34	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂‘𝑋))
36	35, 31	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁)
37		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
38		fniniseg 7059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁)))
39	16, 17, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁))
40	37, 39	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁))
41	40	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
42	41	snssd 4743	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺))
43	13	mrccl 17790	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
44	12, 42, 43	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	40	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑌) = 𝑁)
46	45, 32	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑌) ∈ ℕ)
47	9, 15, 13	odhash2 19794	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂‘𝑌))
48	8, 41, 46, 47	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂‘𝑌))
49	48, 45	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)
50		fveqeq2 6894	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾‘{𝑋}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁))
51		fveqeq2 6894	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾‘{𝑌}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁))
52	50, 51	rmoi 3837	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁 ∧ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁) ∧ ((𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
53	28, 30, 36, 44, 49, 52	syl122anc 1406	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
54	26, 53	eleqtrd 2862	1 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃*wrmo 3364   ⊆ wss 3895  {csn 4584  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ♯chash 14477  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  Moorecmre 17757  mrClscmrc 17758  ACScacs 17760  Grpcgrp 19149  SubGrpcsubg 19335  odcod 19743  mulGrpcmgp 20365  Ringcrg 20464  CRingccrg 20465  Unitcui 20590  Domncdomn 20949  IDomncidom 20950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-ec 8722  df-qs 8726  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-dvds 16428  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-eqg 19340  df-ghm 19433  df-cntz 19536  df-od 19747  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-srg 20418  df-ring 20466  df-cring 20467  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-rhm 20707  df-nzr 20768  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-rlreg 20951  df-domn 20952  df-idom 20953  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252  df-cnfld 21684  df-assa 22166  df-asp 22167  df-ascl 22168  df-psr 22222  df-mvr 22223  df-mpl 22224  df-opsr 22226  df-evls 22388  df-evl 22389  df-psr1 22503  df-vr1 22504  df-ply1 22505  df-coe1 22506  df-evl1 22639  df-mdeg 26378  df-deg1 26379  df-mon1 26454  df-uc1p 26455  df-q1p 26456  df-r1p 26457

This theorem is used by:  proot1hash  44290