Theorem proot1mul 43432

Description: Any primitive 𝑁-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomsubgmo.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1mul.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
proot1mul.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
proot1mul	⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Proof of Theorem proot1mul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑅 ∈ IDomn)
2		isidom 20658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3	2	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4		domnring 20640	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6		idomsubgmo.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
7	5, 6	unitgrp 20319	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
8	1, 3, 4, 7	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝐺 ∈ Grp)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	subgacs 19090	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
11		acsmre 17575	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
12	8, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
13		proot1mul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
14		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
15		proot1mul.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
16	9, 15	odf 19466	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
17		ffn 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (Base‘𝐺))
18		fniniseg 7005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁)))
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
20	14, 19	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
21	20	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
22	21	snssd 4765	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
23	12, 13, 22	mrcssidd 17548	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24		snssg 4740	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
25	14, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
26	23, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
27	6	idomsubgmo 43431	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
29	13	mrccl 17534	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30	12, 22, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
31	20	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑋) = 𝑁)
32		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
33	31, 32	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ)
34	9, 15, 13	odhash2 19504	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂‘𝑋))
35	8, 21, 33, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂‘𝑋))
36	35, 31	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁)
37		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
38		fniniseg 7005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁)))
39	16, 17, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁))
40	37, 39	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁))
41	40	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
42	41	snssd 4765	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺))
43	13	mrccl 17534	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
44	12, 42, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	40	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑌) = 𝑁)
46	45, 32	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑌) ∈ ℕ)
47	9, 15, 13	odhash2 19504	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂‘𝑌))
48	8, 41, 46, 47	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂‘𝑌))
49	48, 45	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)
50		fveqeq2 6843	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾‘{𝑋}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁))
51		fveqeq2 6843	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾‘{𝑌}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁))
52	50, 51	rmoi 3841	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁 ∧ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁) ∧ ((𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
53	28, 30, 36, 44, 49, 52	syl122anc 1381	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
54	26, 53	eleqtrd 2838	1 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃*wrmo 3349   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ♯chash 14253  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  Moorecmre 17501  mrClscmrc 17502  ACScacs 17504  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19050  odcod 19453  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169  Unitcui 20291  Domncdomn 20625  IDomncidom 20626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-dvds 16180  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-eqg 19055  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-od 19457  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-rhm 20408  df-nzr 20446  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-rlreg 20627  df-domn 20628  df-idom 20629  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-cnfld 21310  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-evls 22029  df-evl 22030  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evl1 22260  df-mdeg 26016  df-deg1 26017  df-mon1 26092  df-uc1p 26093  df-q1p 26094  df-r1p 26095

This theorem is referenced by:  proot1hash  43433