Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proot1mul 40059
 Description: Any primitive 𝑁-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomsubgmo.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1mul.o 𝑂 = (od‘𝐺)
proot1mul.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
proot1mul (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Proof of Theorem proot1mul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑅 ∈ IDomn)
2 isidom 20077 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
32simprbi 500 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4 domnring 20069 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2824 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6 idomsubgmo.g . . . . . . 7 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
75, 6unitgrp 19420 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
81, 3, 4, 74syl 19 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝐺 ∈ Grp)
9 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109subgacs 18313 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
11 acsmre 16923 . . . . 5 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
128, 10, 113syl 18 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
13 proot1mul.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
14 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
15 proot1mul.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
169, 15odf 18665 . . . . . . . 8 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
17 ffn 6503 . . . . . . . 8 (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0𝑂 Fn (Base‘𝐺))
18 fniniseg 6821 . . . . . . . 8 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁)))
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
2014, 19sylib 221 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
2120simpld 498 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
2221snssd 4726 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
2312, 13, 22mrcssidd 16896 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24 snssg 4702 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
2514, 24syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
2623, 25mpbird 260 . 2 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
276idomsubgmo 40058 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
2827adantr 484 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
2913mrccl 16882 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3012, 22, 29syl2anc 587 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3120simprd 499 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑋) = 𝑁)
32 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3331, 32eqeltrd 2916 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑋) ∈ ℕ)
349, 15, 13odhash2 18700 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂𝑋))
358, 21, 33, 34syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂𝑋))
3635, 31eqtrd 2859 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁)
37 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
38 fniniseg 6821 . . . . . . . 8 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) = 𝑁)))
3916, 17, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) = 𝑁))
4037, 39sylib 221 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) = 𝑁))
4140simpld 498 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
4241snssd 4726 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺))
4313mrccl 16882 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4412, 42, 43syl2anc 587 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4540simprd 499 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑌) = 𝑁)
4645, 32eqeltrd 2916 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑌) ∈ ℕ)
479, 15, 13odhash2 18700 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂𝑌))
488, 41, 46, 47syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂𝑌))
4948, 45eqtrd 2859 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)
50 fveqeq2 6670 . . . 4 (𝑥 = (𝐾‘{𝑋}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁))
51 fveqeq2 6670 . . . 4 (𝑥 = (𝐾‘{𝑌}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁))
5250, 51rmoi 3858 . . 3 ((∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁 ∧ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁) ∧ ((𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
5328, 30, 36, 44, 49, 52syl122anc 1376 . 2 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
5426, 53eleqtrd 2918 1 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃*wrmo 3136   ⊆ wss 3919  {csn 4550  ◡ccnv 5541   “ cima 5545   Fn wfn 6338  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  ♯chash 13695  Basecbs 16483   ↾s cress 16484  Moorecmre 16853  mrClscmrc 16854  ACScacs 16856  Grpcgrp 18103  SubGrpcsubg 18273  odcod 18652  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297  CRingccrg 19298  Unitcui 19392  Domncdomn 20053  IDomncidom 20054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-ec 8287  df-qs 8291  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-dvds 15608  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-eqg 18278  df-ghm 18356  df-cntz 18447  df-od 18656  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-srg 19256  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-rnghom 19470  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-nzr 20031  df-rlreg 20056  df-domn 20057  df-idom 20058  df-assa 20085  df-asp 20086  df-ascl 20087  df-psr 20136  df-mvr 20137  df-mpl 20138  df-opsr 20140  df-evls 20286  df-evl 20287  df-psr1 20348  df-vr1 20349  df-ply1 20350  df-coe1 20351  df-evl1 20479  df-cnfld 20546  df-mdeg 24659  df-deg1 24660  df-mon1 24734  df-uc1p 24735  df-q1p 24736  df-r1p 24737 This theorem is referenced by:  proot1hash  40060
 Copyright terms: Public domain W3C validator