Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1mul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem proot1mul 42687
Description: Any primitive 𝑁-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomsubgmo.g 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
proot1mul.o 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
proot1mul.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
proot1mul (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜{π‘Œ}))
Proof of Theorem proot1mul
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
2 isidom 21258 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
32simprbi 495 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn β†’ 𝑅 ∈ Domn)
4 domnring 21247 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2725 . . . . . . 7 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
6 idomsubgmo.g . . . . . . 7 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
75, 6unitgrp 20326 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Grp)
81, 3, 4, 74syl 19 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
109subgacs 19120 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
11 acsmre 17631 . . . . 5 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
128, 10, 113syl 18 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
13 proot1mul.k . . . 4 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
14 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ 𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))
15 proot1mul.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
169, 15odf 19496 . . . . . . . 8 𝑂:(Baseβ€˜πΊ)βŸΆβ„•0
17 ffn 6717 . . . . . . . 8 (𝑂:(Baseβ€˜πΊ)βŸΆβ„•0 β†’ 𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ))
18 fniniseg 7064 . . . . . . . 8 (𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ) β†’ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝑁)))
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝑁))
2014, 19sylib 217 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝑁))
2120simpld 493 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2221snssd 4808 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
2312, 13, 22mrcssidd 17604 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
24 snssg 4783 . . . 4 (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) β†’ (𝑋 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}) ↔ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋})))
2514, 24syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (𝑋 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}) ↔ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋})))
2623, 25mpbird 256 . 2 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
276idomsubgmo 42686 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(β™―β€˜π‘₯) = 𝑁)
2827adantr 479 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(β™―β€˜π‘₯) = 𝑁)
2913mrccl 17590 . . . 4 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ {𝑋} βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3012, 22, 29syl2anc 582 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
3120simprd 494 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = 𝑁)
32 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3331, 32eqeltrd 2825 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ β„•)
349, 15, 13odhash2 19534 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) = (π‘‚β€˜π‘‹))
358, 21, 33, 34syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) = (π‘‚β€˜π‘‹))
3635, 31eqtrd 2765 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) = 𝑁)
37 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))
38 fniniseg 7064 . . . . . . . 8 (𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ) β†’ (π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ↔ (π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘Œ) = 𝑁)))
3916, 17, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ↔ (π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘Œ) = 𝑁))
4037, 39sylib 217 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘Œ) = 𝑁))
4140simpld 493 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4241snssd 4808 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ {π‘Œ} βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
4313mrccl 17590 . . . 4 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ {π‘Œ} βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (πΎβ€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4412, 42, 43syl2anc 582 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (πΎβ€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4540simprd 494 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (π‘‚β€˜π‘Œ) = 𝑁)
4645, 32eqeltrd 2825 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (π‘‚β€˜π‘Œ) ∈ β„•)
479, 15, 13odhash2 19534 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘Œ) ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{π‘Œ})) = (π‘‚β€˜π‘Œ))
488, 41, 46, 47syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{π‘Œ})) = (π‘‚β€˜π‘Œ))
4948, 45eqtrd 2765 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (β™―β€˜(πΎβ€˜{π‘Œ})) = 𝑁)
50 fveqeq2 6901 . . . 4 (π‘₯ = (πΎβ€˜{𝑋}) β†’ ((β™―β€˜π‘₯) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) = 𝑁))
51 fveqeq2 6901 . . . 4 (π‘₯ = (πΎβ€˜{π‘Œ}) β†’ ((β™―β€˜π‘₯) = 𝑁 ↔ (β™―β€˜(πΎβ€˜{π‘Œ})) = 𝑁))
5250, 51rmoi 3876 . . 3 ((βˆƒ*π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ)(β™―β€˜π‘₯) = 𝑁 ∧ ((πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(πΎβ€˜{𝑋})) = 𝑁) ∧ ((πΎβ€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜(πΎβ€˜{π‘Œ})) = 𝑁)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) = (πΎβ€˜{π‘Œ}))
5328, 30, 36, 44, 49, 52syl122anc 1376 . 2 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) = (πΎβ€˜{π‘Œ}))
5426, 53eleqtrd 2827 1 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝑋 ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}) ∧ π‘Œ ∈ (◑𝑂 β€œ {𝑁}))) β†’ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜{π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒ*wrmo 3363   βŠ† wss 3939  {csn 4624  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β™―chash 14321  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  Moorecmre 17561  mrClscmrc 17562  ACScacs 17564  Grpcgrp 18894  SubGrpcsubg 19079  odcod 19483  mulGrpcmgp 20078  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178  Unitcui 20298  Domncdomn 21231  IDomncidom 21232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-dvds 16231  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-od 19487  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-rhm 20415  df-nzr 20456  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-rlreg 21234  df-domn 21235  df-idom 21236  df-cnfld 21284  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-evls 22025  df-evl 22026  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-coe1 22110  df-evl1 22244  df-mdeg 26006  df-deg1 26007  df-mon1 26084  df-uc1p 26085  df-q1p 26086  df-r1p 26087
This theorem is referenced by:  proot1hash  42688
  Copyright terms: Public domain W3C validator