Theorem proot1mul 40143

Description: Any primitive 𝑁-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomsubgmo.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1mul.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
proot1mul.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
proot1mul	⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Proof of Theorem proot1mul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑅 ∈ IDomn)
2		isidom 20070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3	2	simprbi 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4		domnring 20062	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6		idomsubgmo.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
7	5, 6	unitgrp 19413	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
8	1, 3, 4, 7	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝐺 ∈ Grp)
9		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	subgacs 18305	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
11		acsmre 16915	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
12	8, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
13		proot1mul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
14		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
15		proot1mul.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
16	9, 15	odf 18657	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
17		ffn 6487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (Base‘𝐺))
18		fniniseg 6807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁)))
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
20	14, 19	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
21	20	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
22	21	snssd 4702	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
23	12, 13, 22	mrcssidd 16888	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24		snssg 4678	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
25	14, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
26	23, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
27	6	idomsubgmo 40142	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
28	27	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
29	13	mrccl 16874	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30	12, 22, 29	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
31	20	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑋) = 𝑁)
32		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
33	31, 32	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ)
34	9, 15, 13	odhash2 18692	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂‘𝑋))
35	8, 21, 33, 34	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂‘𝑋))
36	35, 31	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁)
37		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
38		fniniseg 6807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁)))
39	16, 17, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁))
40	37, 39	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁))
41	40	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
42	41	snssd 4702	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺))
43	13	mrccl 16874	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
44	12, 42, 43	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	40	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑌) = 𝑁)
46	45, 32	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑌) ∈ ℕ)
47	9, 15, 13	odhash2 18692	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂‘𝑌))
48	8, 41, 46, 47	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂‘𝑌))
49	48, 45	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)
50		fveqeq2 6654	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾‘{𝑋}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁))
51		fveqeq2 6654	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾‘{𝑌}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁))
52	50, 51	rmoi 3820	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁 ∧ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁) ∧ ((𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
53	28, 30, 36, 44, 49, 52	syl122anc 1376	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
54	26, 53	eleqtrd 2892	1 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃*wrmo 3109   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ♯chash 13686  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Moorecmre 16845  mrClscmrc 16846  ACScacs 16848  Grpcgrp 18095  SubGrpcsubg 18265  odcod 18644  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  Unitcui 19385  Domncdomn 20046  IDomncidom 20047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-od 18648  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-srg 19249  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-rnghom 19463  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-nzr 20024  df-rlreg 20049  df-domn 20050  df-idom 20051  df-cnfld 20092  df-assa 20542  df-asp 20543  df-ascl 20544  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-evls 20745  df-evl 20746  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-coe1 20812  df-evl1 20940  df-mdeg 24656  df-deg1 24657  df-mon1 24731  df-uc1p 24732  df-q1p 24733  df-r1p 24734

This theorem is referenced by:  proot1hash  40144