Theorem proot1mul 43311

Description: Any primitive 𝑁-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomsubgmo.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1mul.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
proot1mul.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
proot1mul	⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Proof of Theorem proot1mul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑅 ∈ IDomn)
2		isidom 20642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3	2	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4		domnring 20624	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
5		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6		idomsubgmo.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
7	5, 6	unitgrp 20303	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
8	1, 3, 4, 7	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝐺 ∈ Grp)
9		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9	subgacs 19075	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
11		acsmre 17560	. . . . 5 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
12	8, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
13		proot1mul.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
14		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
15		proot1mul.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
16	9, 15	odf 19451	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
17		ffn 6656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0 → 𝑂 Fn (Base‘𝐺))
18		fniniseg 6999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁)))
19	16, 17, 18	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
20	14, 19	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) = 𝑁))
21	20	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
22	21	snssd 4760	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
23	12, 13, 22	mrcssidd 17533	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24		snssg 4735	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
25	14, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
26	23, 25	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
27	6	idomsubgmo 43310	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
28	27	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁)
29	13	mrccl 17519	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30	12, 22, 29	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
31	20	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑋) = 𝑁)
32		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
33	31, 32	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ)
34	9, 15, 13	odhash2 19489	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂‘𝑋))
35	8, 21, 33, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂‘𝑋))
36	35, 31	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁)
37		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))
38		fniniseg 6999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁)))
39	16, 17, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁))
40	37, 39	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) = 𝑁))
41	40	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
42	41	snssd 4760	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺))
43	13	mrccl 17519	. . . 4 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
44	12, 42, 43	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
45	40	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑌) = 𝑁)
46	45, 32	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂‘𝑌) ∈ ℕ)
47	9, 15, 13	odhash2 19489	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂‘𝑌) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂‘𝑌))
48	8, 41, 46, 47	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂‘𝑌))
49	48, 45	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)
50		fveqeq2 6837	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾‘{𝑋}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁))
51		fveqeq2 6837	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾‘{𝑌}) → ((♯‘𝑥) = 𝑁 ↔ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁))
52	50, 51	rmoi 3838	. . 3 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑥) = 𝑁 ∧ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁) ∧ ((𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
53	28, 30, 36, 44, 49, 52	syl122anc 1381	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
54	26, 53	eleqtrd 2835	1 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (◡𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃*wrmo 3346   ⊆ wss 3898  {csn 4575  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  ♯chash 14239  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  Moorecmre 17486  mrClscmrc 17487  ACScacs 17489  Grpcgrp 18848  SubGrpcsubg 19035  odcod 19438  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  Unitcui 20275  Domncdomn 20609  IDomncidom 20610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-acn 9842  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596  df-dvds 16166  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-eqg 19040  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-od 19442  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-rhm 20392  df-nzr 20430  df-subrng 20463  df-subrg 20487  df-rlreg 20611  df-domn 20612  df-idom 20613  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-cnfld 21294  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21848  df-mvr 21849  df-mpl 21850  df-opsr 21852  df-evls 22010  df-evl 22011  df-psr1 22093  df-vr1 22094  df-ply1 22095  df-coe1 22096  df-evl1 22232  df-mdeg 25988  df-deg1 25989  df-mon1 26064  df-uc1p 26065  df-q1p 26066  df-r1p 26067

This theorem is referenced by:  proot1hash  43312