MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldgdomn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1ldgdomn 26050
Description: A nonzero univariate polynomial over a domain always has a nonzero-divisor leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1z.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1nn0cl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1ldgdomn.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
deg1ldgdomn.a 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
deg1ldgdomn ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
Proof of Theorem deg1ldgdomn
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
2 deg1ldgdomn.a . . . . 5 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
3 deg1nn0cl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 deg1z.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
5 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
62, 3, 4, 5coe1f 22137 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
763ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
8 domnring 21250 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 deg1z.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
10 deg1z.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
119, 4, 10, 3deg1nn0cl 26044 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
128, 11syl3an1 1160 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
137, 12ffvelcdmd 7100 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
159, 4, 10, 3, 14, 2deg1ldg 26048 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
168, 15syl3an1 1160 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
17 deg1ldgdomn.e . . 3 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
185, 17, 14domnrrg 21254 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
191, 13, 16, 18syl3anc 1368 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187  0gc0g 17428  Ringcrg 20180  RLRegcrlreg 21233  Domncdomn 21234  Poly1cpl1 22103  coe1cco1 22104   deg1 cdg1 26007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-nzr 20459  df-rlreg 21237  df-domn 21238  df-cnfld 21287  df-psr 21849  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-ply1 22108  df-coe1 22109  df-mdeg 26008  df-deg1 26009
This theorem is referenced by:  ply1domn  26079  minplyirredlem  33413  deg1mhm  42659
  Copyright terms: Public domain W3C validator