MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldgdomn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldgdomn 25541
Description: A nonzero univariate polynomial over a domain always has a nonzero-divisor leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldgdomn.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1ldgdomn.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ldgdomn ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem deg1ldgdomn
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
2 deg1ldgdomn.a . . . . 5 𝐴 = (coe1𝐹)
3 deg1nn0cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 deg1z.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5coe1f 21664 . . . 4 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
763ad2ant2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8 domnring 20848 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
9 deg1z.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1𝑅)
10 deg1z.z . . . . 5 0 = (0g𝑃)
119, 4, 10, 3deg1nn0cl 25535 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
128, 11syl3an1 1163 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
137, 12ffvelcdmd 7072 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
14 eqid 2731 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
159, 4, 10, 3, 14, 2deg1ldg 25539 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
168, 15syl3an1 1163 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
17 deg1ldgdomn.e . . 3 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
185, 17, 14domnrrg 20852 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
191, 13, 16, 18syl3anc 1371 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wf 6528  cfv 6532  0cn0 12454  Basecbs 17126  0gc0g 17367  Ringcrg 20014  RLRegcrlreg 20831  Domncdomn 20832  Poly1cpl1 21630  coe1cco1 21631   deg1 cdg1 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-hash 14273  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-prds 17375  df-pws 17377  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-mulg 18923  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-cring 20017  df-nzr 20242  df-rlreg 20835  df-domn 20836  df-cnfld 20879  df-psr 21393  df-mpl 21395  df-opsr 21397  df-psr1 21633  df-ply1 21635  df-coe1 21636  df-mdeg 25499  df-deg1 25500
This theorem is referenced by:  ply1domn  25570  deg1mhm  41720
  Copyright terms: Public domain W3C validator