MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldgdomn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deg1ldgdomn 24371
Description: A nonzero univariate polynomial over a domain always has a nonzero-divisor leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
deg1z.z 0 = (0g𝑃)
deg1nn0cl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldgdomn.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1ldgdomn.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
deg1ldgdomn ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem deg1ldgdomn
StepHypRef Expression
1 simp1 1129 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
2 deg1ldgdomn.a . . . . 5 𝐴 = (coe1𝐹)
3 deg1nn0cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 deg1z.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 eqid 2795 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
62, 3, 4, 5coe1f 20062 . . . 4 (𝐹𝐵𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
763ad2ant2 1127 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8 domnring 19758 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
9 deg1z.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1𝑅)
10 deg1z.z . . . . 5 0 = (0g𝑃)
119, 4, 10, 3deg1nn0cl 24365 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
128, 11syl3an1 1156 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
137, 12ffvelrnd 6717 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
14 eqid 2795 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
159, 4, 10, 3, 14, 2deg1ldg 24369 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
168, 15syl3an1 1156 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅))
17 deg1ldgdomn.e . . 3 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
185, 17, 14domnrrg 19762 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐴‘(𝐷𝐹)) ≠ (0g𝑅)) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
191, 13, 16, 18syl3anc 1364 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹𝐵𝐹0 ) → (𝐴‘(𝐷𝐹)) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wf 6221  cfv 6225  0cn0 11745  Basecbs 16312  0gc0g 16542  Ringcrg 18987  RLRegcrlreg 19741  Domncdomn 19742  Poly1cpl1 20028  coe1cco1 20029   deg1 cdg1 24331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-nzr 19720  df-rlreg 19745  df-domn 19746  df-psr 19824  df-mpl 19826  df-opsr 19828  df-psr1 20031  df-ply1 20033  df-coe1 20034  df-cnfld 20228  df-mdeg 24332  df-deg1 24333
This theorem is referenced by:  ply1domn  24400  deg1mhm  39292
  Copyright terms: Public domain W3C validator