Theorem deg1ldgdomn 24992

Description: A nonzero univariate polynomial over a domain always has a nonzero-divisor leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
deg1z.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
deg1z.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
deg1nn0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
deg1ldgdomn.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
deg1ldgdomn.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
deg1ldgdomn	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem deg1ldgdomn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1138	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
2		deg1ldgdomn.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
3		deg1nn0cl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		deg1z.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	2, 3, 4, 5	coe1f 21132	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
7	6	3ad2ant2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐴:ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8		domnring 20334	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
9		deg1z.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
10		deg1z.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
11	9, 4, 10, 3	deg1nn0cl 24986	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	8, 11	syl3an1 1165	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	7, 12	ffvelrnd 6905	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	9, 4, 10, 3, 14, 2	deg1ldg 24990	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
16	8, 15	syl3an1 1165	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
17		deg1ldgdomn.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
18	5, 17, 14	domnrrg 20338	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)
19	1, 13, 16, 18	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (𝐴‘(𝐷‘𝐹)) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  ℕ₀cn0 12090  Basecbs 16760  0_gc0g 16944  Ringcrg 19562  RLRegcrlreg 20317  Domncdomn 20318  Poly₁cpl1 21098  coe₁cco1 21099   deg₁ cdg1 24949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-nzr 20296  df-rlreg 20321  df-domn 20322  df-cnfld 20364  df-psr 20868  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-psr1 21101  df-ply1 21103  df-coe1 21104  df-mdeg 24950  df-deg1 24951

This theorem is referenced by:  ply1domn  25021  deg1mhm  40735