MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldgdomn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem deg1ldgdomn 25980
Description: A nonzero univariate polynomial over a domain always has a nonzero-divisor leading coefficient. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
deg1z.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
deg1z.z 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
deg1nn0cl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
deg1ldgdomn.e 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
deg1ldgdomn.a 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
deg1ldgdomn ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
Proof of Theorem deg1ldgdomn
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ 𝑅 ∈ Domn)
2 deg1ldgdomn.a . . . . 5 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
3 deg1nn0cl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 deg1z.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
5 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
62, 3, 4, 5coe1f 22080 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
763ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ 𝐴:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
8 domnring 21203 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 deg1z.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
10 deg1z.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ƒ)
119, 4, 10, 3deg1nn0cl 25974 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
128, 11syl3an1 1160 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ β„•0)
137, 12ffvelcdmd 7080 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
14 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
159, 4, 10, 3, 14, 2deg1ldg 25978 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
168, 15syl3an1 1160 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
17 deg1ldgdomn.e . . 3 𝐸 = (RLRegβ€˜π‘…)
185, 17, 14domnrrg 21207 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
191, 13, 16, 18syl3anc 1368 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐹 β‰  0 ) β†’ (π΄β€˜(π·β€˜πΉ)) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  β„•0cn0 12473  Basecbs 17150  0gc0g 17391  Ringcrg 20135  RLRegcrlreg 21186  Domncdomn 21187  Poly1cpl1 22046  coe1cco1 22047   deg1 cdg1 25937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-nzr 20412  df-rlreg 21190  df-domn 21191  df-cnfld 21236  df-psr 21798  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-psr1 22049  df-ply1 22051  df-coe1 22052  df-mdeg 25938  df-deg1 25939
This theorem is referenced by:  ply1domn  26009  minplyirredlem  33288  deg1mhm  42507
  Copyright terms: Public domain W3C validator