MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomndrnglem 20790
Description: Lemma for fidomndrng 20791. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z 0 = (0g𝑅)
fidomndrng.o 1 = (1r𝑅)
fidomndrng.d = (∥r𝑅)
fidomndrng.t · = (.r𝑅)
fidomndrng.r (𝜑𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
fidomndrnglem (𝜑𝐴 1 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidomndrng.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
21eldifad 3975 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
3 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴0 )
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴0 )
54ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝐴0 )
6 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7 fidomndrng.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 · 𝐴) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
1110eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12 fidomndrng.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐴𝐵)
16 fidomndrng.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝑅)
17 fidomndrng.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r𝑅)
18 fidomndrng.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑅)
1916, 17, 18domneq0 20725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦𝐵𝐴𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2013, 14, 15, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2111, 20bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2221biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2322ord 864 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2423necon1ad 2955 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝐴0𝑦 = 0 ))
255, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
2625ex 412 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
2726ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
28 domnring 20724 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3016, 17ringrghm 20327 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3129, 2, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
327, 31eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3316, 16, 18, 18ghmf1 19277 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3527, 34mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵1-1𝐵)
36 fidomndrng.x . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
37 enreffi 9221 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵𝐵)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
39 f1finf1o 9303 . . . . . . 7 ((𝐵𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4038, 36, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4135, 40mpbid 232 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
42 f1ocnv 6861 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
43 f1of 6849 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
4441, 42, 433syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵𝐵)
45 fidomndrng.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
4616, 45ringidcl 20280 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
4729, 46syl 17 . . . 4 (𝜑1𝐵)
4844, 47ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝐹1 ) ∈ 𝐵)
49 fidomndrng.d . . . 4 = (∥r𝑅)
5016, 49, 17dvdsrmul 20381 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐹1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
512, 48, 50syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
52 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
536cbvmptv 5261 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
547, 53eqtri 2763 . . . . 5 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55 ovex 7464 . . . . 5 ((𝐹1 ) · 𝐴) ∈ V
5652, 54, 55fvmpt 7016 . . . 4 ((𝐹1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
5748, 56syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
58 f1ocnvfv2 7297 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵1𝐵) → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
5941, 47, 58syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
6057, 59eqtr3d 2777 . 2 (𝜑 → ((𝐹1 ) · 𝐴) = 1 )
6151, 60breqtrd 5174 1 (𝜑𝐴 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccnv 5688  wf 6559  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cen 8981  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   GrpHom cghm 19243  1rcur 20199  Ringcrg 20251  rcdsr 20371  Domncdomn 20709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-dvdsr 20374  df-nzr 20530  df-domn 20712
This theorem is referenced by:  fidomndrng  20791
  Copyright terms: Public domain W3C validator