Theorem fidomndrnglem 20685

Description: Lemma for fidomndrng 20686. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomndrng.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomndrng.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
fidomndrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
fidomndrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
fidomndrnglem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   ∥ (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomndrng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		eldifsni 4742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
6		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7		fidomndrng.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8		ovex 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
11	10	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12		fidomndrng.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17		fidomndrng.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18		fidomndrng.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	16, 17, 18	domneq0 20621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
20	13, 14, 15, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
21	11, 20	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
22	21	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 ))
23	22	ord 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0 → 𝐴 = 0 ))
24	23	necon1ad 2945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑦 = 0 ))
25	5, 24	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
26	25	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
27	26	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
28		domnring 20620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
29	12, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	16, 17	ringrghm 20229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
31	29, 2, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
32	7, 31	eqeltrid 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
33	16, 16, 18, 18	ghmf1 19156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
35	27, 34	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1→𝐵)
36		fidomndrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
37		enreffi 9092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≈ 𝐵)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≈ 𝐵)
39		f1finf1o 9157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
40	38, 36, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
41	35, 40	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
42		f1ocnv 6775	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
43		f1of 6763	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
45		fidomndrng.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
46	16, 45	ringidcl 20181	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
47	29, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
48	44, 47	ffvelcdmd 7018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵)
49		fidomndrng.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
50	16, 49, 17	dvdsrmul 20280	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
51	2, 48, 50	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
52		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘ 1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
53	6	cbvmptv 5195	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
54	7, 53	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55		ovex 7379	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) ∈ V
56	52, 54, 55	fvmpt 6929	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
57	48, 56	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
58		f1ocnvfv2 7211	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
59	41, 47, 58	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
60	57, 59	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) = 1 )
61	51, 60	breqtrd 5117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   ∖ cdif 3899  {csn 4576   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615  ⟶wf 6477  –1-1→wf1 6478  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ≈ cen 8866  Fincfn 8869  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159  0_gc0g 17340   GrpHom cghm 19122  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  ∥_rcdsr 20270  Domncdomn 20605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-ghm 19123  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-dvdsr 20273  df-nzr 20426  df-domn 20608

This theorem is referenced by:  fidomndrng  20686