MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomndrnglem 19794
Description: Lemma for fidomndrng 19795. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fidomndrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z 0 = (0g𝑅)
fidomndrng.o 1 = (1r𝑅)
fidomndrng.d = (∥r𝑅)
fidomndrng.t · = (.r𝑅)
fidomndrng.r (𝜑𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
fidomndrnglem (𝜑𝐴 1 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidomndrng.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
21eldifad 3835 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
3 eldifsni 4590 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴0 )
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴0 )
54ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝐴0 )
6 oveq1 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7 fidomndrng.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8 ovex 7002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 · 𝐴) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
109adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
1110eqeq1d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12 fidomndrng.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
1312adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
152adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐴𝐵)
16 fidomndrng.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝑅)
17 fidomndrng.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 · = (.r𝑅)
18 fidomndrng.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑅)
1916, 17, 18domneq0 19785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦𝐵𝐴𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2013, 14, 15, 19syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2111, 20bitrd 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0𝐴 = 0 )))
2221biimpa 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2322ord 850 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0𝐴 = 0 ))
2423necon1ad 2978 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → (𝐴0𝑦 = 0 ))
255, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ (𝐹𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
2625ex 405 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
2726ralrimiva 3126 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 ))
28 domnring 19784 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3016, 17ringrghm 19072 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3129, 2, 30syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
327, 31syl5eqel 2864 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
3316, 16, 18, 18ghmf1 18152 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ ∀𝑦𝐵 ((𝐹𝑦) = 0𝑦 = 0 )))
3527, 34mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵1-1𝐵)
36 fidomndrng.x . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
37 enrefg 8332 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵𝐵)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐵)
39 f1finf1o 8534 . . . . . . 7 ((𝐵𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4038, 36, 39syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝐵1-1𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵))
4135, 40mpbid 224 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
42 f1ocnv 6450 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
43 f1of 6438 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐵)
4441, 42, 433syl 18 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐵𝐵)
45 fidomndrng.o . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
4616, 45ringidcl 19035 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
4729, 46syl 17 . . . 4 (𝜑1𝐵)
4844, 47ffvelrnd 6671 . . 3 (𝜑 → (𝐹1 ) ∈ 𝐵)
49 fidomndrng.d . . . 4 = (∥r𝑅)
5016, 49, 17dvdsrmul 19115 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ (𝐹1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
512, 48, 50syl2anc 576 . 2 (𝜑𝐴 ((𝐹1 ) · 𝐴))
52 oveq1 6977 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
536cbvmptv 5022 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
547, 53eqtri 2796 . . . . 5 𝐹 = (𝑦𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55 ovex 7002 . . . . 5 ((𝐹1 ) · 𝐴) ∈ V
5652, 54, 55fvmpt 6589 . . . 4 ((𝐹1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
5748, 56syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = ((𝐹1 ) · 𝐴))
58 f1ocnvfv2 6853 . . . 4 ((𝐹:𝐵1-1-onto𝐵1𝐵) → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
5941, 47, 58syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹1 )) = 1 )
6057, 59eqtr3d 2810 . 2 (𝜑 → ((𝐹1 ) · 𝐴) = 1 )
6151, 60breqtrd 4949 1 (𝜑𝐴 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  wral 3082  cdif 3820  {csn 4435   class class class wbr 4923  cmpt 5002  ccnv 5400  wf 6178  1-1wf1 6179  1-1-ontowf1o 6181  cfv 6182  (class class class)co 6970  cen 8297  Fincfn 8300  Basecbs 16333  .rcmulr 16416  0gc0g 16563   GrpHom cghm 18120  1rcur 18968  Ringcrg 19014  rcdsr 19105  Domncdomn 19768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-plusg 16428  df-0g 16565  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-ghm 18121  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-dvdsr 19108  df-nzr 19746  df-domn 19772
This theorem is referenced by:  fidomndrng  19795
  Copyright terms: Public domain W3C validator