Theorem fidomndrnglem 20845

Description: Lemma for fidomndrng 20846. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomndrng.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomndrng.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
fidomndrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
fidomndrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
fidomndrnglem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   ∥ (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomndrng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
4	1, 3	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
5	4	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
6		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7		fidomndrng.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8		ovex 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
10	9	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
11	10	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12		fidomndrng.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17		fidomndrng.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18		fidomndrng.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	16, 17, 18	domneq0 20784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
20	13, 14, 15, 19	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
21	11, 20	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
22	21	biimpa 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 ))
23	22	ord 877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0 → 𝐴 = 0 ))
24	23	necon1ad 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑦 = 0 ))
25	5, 24	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
26	25	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
27	26	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
28		domnring 20783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
29	12, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	16, 17	ringrghm 20387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
31	29, 2, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
32	7, 31	eqeltrid 2869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
33	16, 16, 18, 18	ghmf1 19307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
35	27, 34	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1→𝐵)
36		fidomndrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
37		enreffi 9155	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≈ 𝐵)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≈ 𝐵)
39		f1finf1o 9221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
40	38, 36, 39	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
41	35, 40	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
42		f1ocnv 6823	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
43		f1of 6810	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
44	41, 42, 43	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
45		fidomndrng.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
46	16, 45	ringidcl 20339	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
47	29, 46	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
48	44, 47	ffvelcdmd 7070	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵)
49		fidomndrng.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
50	16, 49, 17	dvdsrmul 20437	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
51	2, 48, 50	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
52		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘ 1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
53	6	cbvmptv 5209	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
54	7, 53	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55		ovex 7433	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) ∈ V
56	52, 54, 55	fvmpt 6979	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
57	48, 56	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
58		f1ocnvfv2 7265	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
59	41, 47, 58	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
60	57, 59	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) = 1 )
61	51, 60	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079   ∖ cdif 3904  {csn 4585   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5651  ⟶wf 6521  –1-1→wf1 6522  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ≈ cen 8928  Fincfn 8931  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  0_gc0g 17482   GrpHom cghm 19274  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  ∥_rcdsr 20427  Domncdomn 20768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-ghm 19275  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-dvdsr 20430  df-nzr 20587  df-domn 20771

This theorem is referenced by:  fidomndrng  20846