Theorem fidomndrnglem 20857

Description: Lemma for fidomndrng 20858. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomndrng.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomndrng.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
fidomndrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
fidomndrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
fidomndrnglem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   ∥ (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomndrng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3918	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		eldifsni 4759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
4	1, 3	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
5	4	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
6		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7		fidomndrng.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
10	9	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
11	10	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12		fidomndrng.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17		fidomndrng.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18		fidomndrng.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	16, 17, 18	domneq0 20794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
20	13, 14, 15, 19	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
21	11, 20	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
22	21	biimpa 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 ))
23	22	ord 877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0 → 𝐴 = 0 ))
24	23	necon1ad 2975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑦 = 0 ))
25	5, 24	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
26	25	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
27	26	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
28		domnring 20793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
29	12, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	16, 17	ringrghm 20397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
31	29, 2, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
32	7, 31	eqeltrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
33	16, 16, 18, 18	ghmf1 19317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
35	27, 34	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1→𝐵)
36		fidomndrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
37		enreffi 9168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≈ 𝐵)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≈ 𝐵)
39		f1finf1o 9234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
40	38, 36, 39	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
41	35, 40	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
42		f1ocnv 6835	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
43		f1of 6822	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
44	41, 42, 43	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
45		fidomndrng.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
46	16, 45	ringidcl 20349	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
47	29, 46	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
48	44, 47	ffvelcdmd 7082	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵)
49		fidomndrng.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
50	16, 49, 17	dvdsrmul 20447	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
51	2, 48, 50	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
52		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘ 1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
53	6	cbvmptv 5216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
54	7, 53	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) ∈ V
56	52, 54, 55	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
57	48, 56	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
58		f1ocnvfv2 7277	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
59	41, 47, 58	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
60	57, 59	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) = 1 )
61	51, 60	breqtrd 5138	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∖ cdif 3903  {csn 4590   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5662  ⟶wf 6534  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ≈ cen 8941  Fincfn 8944  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493   GrpHom cghm 19284  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  ∥_rcdsr 20437  Domncdomn 20778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-ghm 19285  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-dvdsr 20440  df-nzr 20597  df-domn 20781

This theorem is referenced by:  fidomndrng  20858