Theorem fidomndrnglem 20072

Description: Lemma for fidomndrng 20073. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomndrng.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomndrng.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
fidomndrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
fidomndrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
fidomndrnglem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   ∥ (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomndrng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3893	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		eldifsni 4683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
5	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
6		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7		fidomndrng.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8		ovex 7168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
10	9	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
11	10	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12		fidomndrng.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
13	12	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17		fidomndrng.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18		fidomndrng.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	16, 17, 18	domneq0 20063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
20	13, 14, 15, 19	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
21	11, 20	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
22	21	biimpa 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 ))
23	22	ord 861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0 → 𝐴 = 0 ))
24	23	necon1ad 3004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑦 = 0 ))
25	5, 24	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
26	25	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
27	26	ralrimiva 3149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
28		domnring 20062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
29	12, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	16, 17	ringrghm 19351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
31	29, 2, 30	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
32	7, 31	eqeltrid 2894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
33	16, 16, 18, 18	ghmf1 18379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
35	27, 34	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1→𝐵)
36		fidomndrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
37		enrefg 8524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≈ 𝐵)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≈ 𝐵)
39		f1finf1o 8729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
40	38, 36, 39	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
41	35, 40	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
42		f1ocnv 6602	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
43		f1of 6590	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
45		fidomndrng.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
46	16, 45	ringidcl 19314	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
47	29, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
48	44, 47	ffvelrnd 6829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵)
49		fidomndrng.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
50	16, 49, 17	dvdsrmul 19394	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
51	2, 48, 50	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
52		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘ 1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
53	6	cbvmptv 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
54	7, 53	eqtri 2821	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55		ovex 7168	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) ∈ V
56	52, 54, 55	fvmpt 6745	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
57	48, 56	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
58		f1ocnvfv2 7012	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
59	41, 47, 58	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
60	57, 59	eqtr3d 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) = 1 )
61	51, 60	breqtrd 5056	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ∖ cdif 3878  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ≈ cen 8489  Fincfn 8492  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  0_gc0g 16705   GrpHom cghm 18347  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  ∥_rcdsr 19384  Domncdomn 20046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-ghm 18348  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-dvdsr 19387  df-nzr 20024  df-domn 20050

This theorem is referenced by:  fidomndrng  20073