MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomndrnglem 20793
Description: Lemma for fidomndrng 20794. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fidomndrng.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
fidomndrng.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
fidomndrng.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
fidomndrng.d โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
fidomndrng.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
fidomndrng.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
fidomndrng.x (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
fidomndrng.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
fidomndrng.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
fidomndrnglem (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ 1 )
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   โˆฅ (๐‘ฅ)   1 (๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   0 (๐‘ฅ)

Proof of Theorem fidomndrnglem
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidomndrng.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
21eldifad 3923 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
3 eldifsni 4751 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐ด โ‰  0 )
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0 )
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ ๐ด โ‰  0 )
6 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
7 fidomndrng.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
8 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ V
96, 7, 8fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
109adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
1110eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
12 fidomndrng.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
14 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
152adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
16 fidomndrng.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
17 fidomndrng.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
18 fidomndrng.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gโ€˜๐‘…)
1916, 17, 18domneq0 20783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ฆ = 0 โˆจ ๐ด = 0 )))
2013, 14, 15, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ฆ = 0 โˆจ ๐ด = 0 )))
2111, 20bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐‘ฆ = 0 โˆจ ๐ด = 0 )))
2221biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ (๐‘ฆ = 0 โˆจ ๐ด = 0 ))
2322ord 863 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ (ยฌ ๐‘ฆ = 0 โ†’ ๐ด = 0 ))
2423necon1ad 2957 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 ))
255, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ ๐‘ฆ = 0 )
2625ex 414 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 ))
2726ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 ))
28 domnring 20782 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3016, 17ringrghm 20034 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
3129, 2, 30syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
327, 31eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
3316, 16, 18, 18ghmf1 19042 . . . . . . . 8 (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…) โ†’ (๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 )))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 )))
3527, 34mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต)
36 fidomndrng.x . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
37 enrefg 8927 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ ๐ต โ‰ˆ ๐ต)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ˆ ๐ต)
39 f1finf1o 9218 . . . . . . 7 ((๐ต โ‰ˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต โ†” ๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต))
4038, 36, 39syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต โ†” ๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต))
4135, 40mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
42 f1ocnv 6797 . . . . 5 (๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต โ†’ โ—ก๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
43 f1of 6785 . . . . 5 (โ—ก๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ๐ต)
4441, 42, 433syl 18 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ๐ต)
45 fidomndrng.o . . . . . 6 1 = (1rโ€˜๐‘…)
4616, 45ringidcl 19994 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
4729, 46syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
4844, 47ffvelcdmd 7037 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
49 fidomndrng.d . . . 4 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
5016, 49, 17dvdsrmul 20082 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (โ—ก๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆฅ ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
512, 48, 50syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
52 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘ฆ = (โ—ก๐นโ€˜ 1 ) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
536cbvmptv 5219 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฆ ยท ๐ด))
547, 53eqtri 2761 . . . . 5 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฆ ยท ๐ด))
55 ovex 7391 . . . . 5 ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด) โˆˆ V
5652, 54, 55fvmpt 6949 . . . 4 ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜ 1 )) = ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
5748, 56syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜ 1 )) = ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
58 f1ocnvfv2 7224 . . . 4 ((๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜ 1 )) = 1 )
5941, 47, 58syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜ 1 )) = 1 )
6057, 59eqtr3d 2775 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด) = 1 )
6151, 60breqtrd 5132 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061   โˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ—กccnv 5633  โŸถwf 6493  โ€“1-1โ†’wf1 6494  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6496  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โ‰ˆ cen 8883  Fincfn 8886  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326   GrpHom cghm 19010  1rcur 19918  Ringcrg 19969  โˆฅrcdsr 20072  Domncdomn 20766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-ghm 19011  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-dvdsr 20075  df-nzr 20744  df-domn 20770
This theorem is referenced by:  fidomndrng  20794
  Copyright terms: Public domain W3C validator