MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrnglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidomndrnglem 21247
Description: Lemma for fidomndrng 21248. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fidomndrng.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
fidomndrng.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
fidomndrng.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
fidomndrng.d โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
fidomndrng.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
fidomndrng.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
fidomndrng.x (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
fidomndrng.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
fidomndrng.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
fidomndrnglem (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ 1 )
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   โˆฅ (๐‘ฅ)   1 (๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   0 (๐‘ฅ)

Proof of Theorem fidomndrnglem
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fidomndrng.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }))
21eldifad 3956 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
3 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ (๐ต โˆ– { 0 }) โ†’ ๐ด โ‰  0 )
41, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0 )
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ ๐ด โ‰  0 )
6 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
7 fidomndrng.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
8 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ ยท ๐ด) โˆˆ V
96, 7, 8fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
1110eqeq1d 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
12 fidomndrng.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Domn)
14 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
16 fidomndrng.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
17 fidomndrng.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
18 fidomndrng.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gโ€˜๐‘…)
1916, 17, 18domneq0 21233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ฆ = 0 โˆจ ๐ด = 0 )))
2013, 14, 15, 19syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ฆ = 0 โˆจ ๐ด = 0 )))
2111, 20bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐‘ฆ = 0 โˆจ ๐ด = 0 )))
2221biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ (๐‘ฆ = 0 โˆจ ๐ด = 0 ))
2322ord 863 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ (ยฌ ๐‘ฆ = 0 โ†’ ๐ด = 0 ))
2423necon1ad 2952 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ (๐ด โ‰  0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 ))
255, 24mpd 15 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†’ ๐‘ฆ = 0 )
2625ex 412 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 ))
2726ralrimiva 3141 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 ))
28 domnring 21232 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2912, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3016, 17ringrghm 20238 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
3129, 2, 30syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
327, 31eqeltrid 2832 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…))
3316, 16, 18, 18ghmf1 19191 . . . . . . . 8 (๐น โˆˆ (๐‘… GrpHom ๐‘…) โ†’ (๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 )))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†’ ๐‘ฆ = 0 )))
3527, 34mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต)
36 fidomndrng.x . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
37 enreffi 9202 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ ๐ต โ‰ˆ ๐ต)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ˆ ๐ต)
39 f1finf1o 9287 . . . . . . 7 ((๐ต โ‰ˆ ๐ต โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต โ†” ๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต))
4038, 36, 39syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐น:๐ตโ€“1-1โ†’๐ต โ†” ๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต))
4135, 40mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
42 f1ocnv 6845 . . . . 5 (๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต โ†’ โ—ก๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต)
43 f1of 6833 . . . . 5 (โ—ก๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ๐ต)
4441, 42, 433syl 18 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐น:๐ตโŸถ๐ต)
45 fidomndrng.o . . . . . 6 1 = (1rโ€˜๐‘…)
4616, 45ringidcl 20191 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
4729, 46syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ ๐ต)
4844, 47ffvelcdmd 7089 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต)
49 fidomndrng.d . . . 4 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
5016, 49, 17dvdsrmul 20292 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐ต โˆง (โ—ก๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ด โˆฅ ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
512, 48, 50syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
52 oveq1 7421 . . . . 5 (๐‘ฆ = (โ—ก๐นโ€˜ 1 ) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
536cbvmptv 5255 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฆ ยท ๐ด))
547, 53eqtri 2755 . . . . 5 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฆ ยท ๐ด))
55 ovex 7447 . . . . 5 ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด) โˆˆ V
5652, 54, 55fvmpt 6999 . . . 4 ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) โˆˆ ๐ต โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜ 1 )) = ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
5748, 56syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜ 1 )) = ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด))
58 f1ocnvfv2 7280 . . . 4 ((๐น:๐ตโ€“1-1-ontoโ†’๐ต โˆง 1 โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜ 1 )) = 1 )
5941, 47, 58syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(โ—ก๐นโ€˜ 1 )) = 1 )
6057, 59eqtr3d 2769 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โ—ก๐นโ€˜ 1 ) ยท ๐ด) = 1 )
6151, 60breqtrd 5168 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆฅ 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056   โˆ– cdif 3941  {csn 4624   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ—กccnv 5671  โŸถwf 6538  โ€“1-1โ†’wf1 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   โ‰ˆ cen 8952  Fincfn 8955  Basecbs 17171  .rcmulr 17225  0gc0g 17412   GrpHom cghm 19158  1rcur 20112  Ringcrg 20164  โˆฅrcdsr 20282  Domncdomn 21216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-dvdsr 20285  df-nzr 20441  df-domn 21220
This theorem is referenced by:  fidomndrng  21248
  Copyright terms: Public domain W3C validator