Theorem fidomndrnglem 19794

Description: Lemma for fidomndrng 19795. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidomndrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
fidomndrng.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
fidomndrng.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
fidomndrng.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
fidomndrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
fidomndrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
fidomndrng.x	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
fidomndrng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
fidomndrng.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
fidomndrnglem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   ∥ (𝑥)   1 (𝑥)   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem fidomndrnglem

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidomndrng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
2	1	eldifad 3835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
3		eldifsni 4590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝐴 ≠ 0 )
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0 )
5	4	ad2antrr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝐴 ≠ 0 )
6		oveq1 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
7		fidomndrng.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8		ovex 7002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 · 𝐴) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
10	9	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
11	10	eqeq1d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
12		fidomndrng.r	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
13	12	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Domn)
14		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	2	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		fidomndrng.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
17		fidomndrng.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18		fidomndrng.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	16, 17, 18	domneq0 19785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
20	13, 14, 15, 19	syl3anc 1351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
21	11, 20	bitrd 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 ↔ (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 )))
22	21	biimpa 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝑦 = 0 ∨ 𝐴 = 0 ))
23	22	ord 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (¬ 𝑦 = 0 → 𝐴 = 0 ))
24	23	necon1ad 2978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → (𝐴 ≠ 0 → 𝑦 = 0 ))
25	5, 24	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = 0 ) → 𝑦 = 0 )
26	25	ex 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
27	26	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 ))
28		domnring 19784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
29	12, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30	16, 17	ringrghm 19072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
31	29, 2, 30	syl2anc 576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
32	7, 31	syl5eqel 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅))
33	16, 16, 18, 18	ghmf1 18152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑅) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = 0 → 𝑦 = 0 )))
35	27, 34	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1→𝐵)
36		fidomndrng.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
37		enrefg 8332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≈ 𝐵)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≈ 𝐵)
39		f1finf1o 8534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
40	38, 36, 39	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐵–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵))
41	35, 40	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
42		f1ocnv 6450	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
43		f1of 6438	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵⟶𝐵)
45		fidomndrng.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
46	16, 45	ringidcl 19035	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
47	29, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
48	44, 47	ffvelrnd 6671	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵)
49		fidomndrng.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
50	16, 49, 17	dvdsrmul 19115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵) → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
51	2, 48, 50	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
52		oveq1 6977	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡𝐹‘ 1 ) → (𝑦 · 𝐴) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
53	6	cbvmptv 5022	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
54	7, 53	eqtri 2796	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑦 · 𝐴))
55		ovex 7002	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) ∈ V
56	52, 54, 55	fvmpt 6589	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
57	48, 56	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴))
58		f1ocnvfv2 6853	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
59	41, 47, 58	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(◡𝐹‘ 1 )) = 1 )
60	57, 59	eqtr3d 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹‘ 1 ) · 𝐴) = 1 )
61	51, 60	breqtrd 4949	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   ∖ cdif 3820  {csn 4435   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  ^◡ccnv 5400  ⟶wf 6178  –1-1→wf1 6179  –1-1-onto→wf1o 6181  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970   ≈ cen 8297  Fincfn 8300  Basecbs 16333  ._rcmulr 16416  0_gc0g 16563   GrpHom cghm 18120  1_rcur 18968  Ringcrg 19014  ∥_rcdsr 19105  Domncdomn 19768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-plusg 16428  df-0g 16565  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-ghm 18121  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-dvdsr 19108  df-nzr 19746  df-domn 19772

This theorem is referenced by:  fidomndrng  19795